Практикум по элементарной математике (цвет)

13) ; 14) ; 15)

2) Во второй части задания приведены задачи по стереометрии.

Пример 3. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат со стороной . Высота пирамиды равна диагонали этого квадрата. Пирамида рассечена плоскостью параллельной ее высоте и двум противоположным сторонам основания. Найти периметр сечения, если известно, что в него можно вписать окружность.

Решение. Выполним чертеж:

Как видно из чертежа, возможны два случая: когда секущая плоскость проходит через высоту пирамиды (на правом чертеже) и когда она отстоит от нее на некоторое расстояние (на левом чертеже). Первый случай проще, с него и начнем решение задачи.

1) По условию задачи . Обозначим . Тогда , а . Поэтому . Так как в сечении получился равнобедренный , то его периметр .

2) Во втором случае в сечении получается равнобедренная трапеция , которая получается из «обрезанием» его вершины. Из теоремы о касательных к окружности, проведенных из одной точки, следует, что периметр трапеции . Так как , то . Далее имеем:

,

поэтому . Теперь из получаем . Но , поэтому

и . #

Решить задачи:

16) Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды со стороной основания в 5 раз больше площади основания. Найти объем конуса, вписанного в эту пирамиду.

17) Найдите наибольший объем прямоугольного параллелепипеда, если его высота равна длине одной из сторон основания, а периметр основания равен 6см.

18) Сумма апофемы и высоты правильной четырехугольной пирамиды равна 4см. При какой длине высоты объем пирамиды будет наибольшим?

19) Высота прямой призмы равна 1, ее основанием служит ромб со стороной 2 и острым углом . Через сторону основания проведена секущая плоскость под углом к основанию призмы. Найдите площадь сечения.

23 задание

1) Первая часть задания предполагает решение систем уравнений и неравенств.

Решить системы уравнений и неравенств:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

2) Во второй части задания предлагается решить уравнения с параметрами.

Пример 1. Для каких значений уравнения и имеют хотя бы один общий действительный корень?

Решение. Пусть - общий корень обоих уравнений. Тогда и , поэтому и . Рассмотрим теперь два случая.

1) Пусть . Тогда исходные уравнения примут одинаковый вид: . Это уравнение действительных решений не имеет. Поэтому .

2) При получим значение , и исходные уравнения примут вид: и . Оба уравнения имеют корни, поэтому только при заданные уравнения имеют общий действительный корень. #

Для каких действительных чисел уравнение имеет: а) 2 различных корня; б) равные корни; в) не имеет действительных корней?

9) ; 10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ;

16) ; 17) ; 18) .

Найти наибольшее (наименьшее) целое положительное число , при котором уравнение имеет два различных действительных корня?

19) ; 20) .

24 задание

1) Первая часть задания предполагает решение неравенств.

Решить неравенства:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ; 10) .

2) Во второй части задания предлагаются решения уравнений с параметрами.

Пример 1. Для каких действительные корни уравнения удовлетворяют неравенству .

Решение. При уравнение примет вид . Это уравнение имеет лишь один корень, и неравенство для него не выполняется. Поэтому . Вычислим корни исходного уравнения:

.

По условию задачи , поэтому . Решая уравнение , находим , так что . Теперь решим ограничительное неравенство:

Окончательно получаем:

. #

Для каких действительных чисел числа являются действителдьными корнями соответствующего уравнения и удовлетворяют условию:

11) , ; 12) , ;

13) , ; 14) , ;

15) , ; 16) , ;

17) , ; 18) , ;

19) , ; 20) , .

25 задание

1) Первая часть задания предполагает решение уравнений с параметрами.

Пример 1. Для каждого решить уравнение: .

Решение. Найдем сначала область определения уравнения (точнее, ограничения на нее):

Далее, учитывая область определения, имеем:

Осталось учесть найденные выше ограничения:

и записать ответ: #

Для каждого действительного числа решить уравнение:

1) 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) .

Для каких целых чисел уравнение не имеет дйствительных корней?

9) ; 10) .

Для каких действительных значений уравнение имеет только положительные (только отрицательные) действительные корни?

11) ; 12) .

13) При каких корни уравнения будут неотрицательными (неположительными) действительными числами?

14) Для каких один из действительных корней уравнения равен удвоенному действительному корню уравнения ?

15) Для каких действительных чисел действительные корни уравнения лежат между действительными корнями уравнения ?

2) Во второй части задания приведены задачи по стереометрии.

Пример 2. Центр сферы совпадает с центром основания кругового конуса, а ее радиус равен радиусу основания конуса. Длина образующей конуса равна , а угол его осевого сечения равен . Найти расстояние от вершины конуса до плоскости окружности, по которой сфера пересекает конус. Указать возможные значения для .

Решение. На последний вопрос, как видно из чертежа, ответ достаточно прост: необходимо, чтобы , откуда вытекает ограничение на величину угола : .

Вычислим радиус сферы: . Так как - равнобедренный, то , поэтому . Следовательно,

,

и искомое расстояние . #

Решить задачи:

16) Высота конуса в 4 раза больше радиуса шара, вписанного в этот конус. Образующая конуса равна . Найти боковую поверхность конуса.

17) Отношение боковой поверхности усеченного конуса, описанного около шара, к сумме площадей его оснований равно . Найти угол между образующей и плоскостью основания и допустимые значения .

18) Центр сферы совпадает с центром основания кругового конуса, а ее радиус равен радиусу основания конуса. Длина образующей конуса равна , а угол его осевого сечения равен . Найти радиус окружности, по которой сфера пересекает конус. Указать возможные значения для .

26 задание

1) Первая часть задания предполагает решение уравнений с двумя неизвестными.

Пример 1. Решить уравнение: .

Решение. Заметим, что , ибо в противном случае, получаем уравнение , которое не имеет решений, так , а . Это замечание позволяет преобразовать заданное уравнение:

Найдем наибольшее значение функции на отрезке - области определения этой функции. Имеем: , поэтому в точке . Знаки производной показывают, что имеет в точке локальный максимум. Следовательно, . Найдем теперь наименьшее значение функции на промежутке , где . Имеем:

,

поэтому

.

Условию удовлетворяет только корень . Знаки производной показывают, что имеет в этой точке локальный минимум. Следовательно, . Таким образом, для всех допустимых значений и имеем: , откуда следует, что решение исходного уравнения возможно лишь в одном случае:

#

Решить уравнения:

1) ;

2) ;

3) .

2) Во второй части задания предлагается решение задач, связанных с уравнениями и системами уравнений с параметрами.

Пример 2. При каких значениях параметра уравнение имеет два решения?

Решение. Имеем:

Так как функция является строго возрастающей, т.е. биективной, а уравнение имеет корни , то условие задачи будет выполнено в том и только том случае, когда , т.е. , и для меньшего корня выполняется система неравенств: