13. Общие свойства числовых пределов

В данном параграфе мы рассмотрим свойства пределов числовых сетей и их интерпритации для конкретных примеров. Изучение общих свойств пределов мы начнем со свойства единственности предела.

Теорема 13.1. Если предел числовой сети существует, то он единственен.

Доказательство. Предположим противное. Тогда существуют, по крайней мере, две различные точки ииз расширенной числовой прямой такие, чтои. По лемме Хаусдорфа (см. лемму 10.1) найдется такое число, что. Применяя теперь определение предела сети, найдем такие индексы, чтодля всехидля всех. По направленности вверх множестванайдется такой индекс, чтои. Тогда для всехбудети, чего быть не может, так как. #

Из этой теоремы вытекает единственность предела числовой последовательности, предела функции в точки, производной, нижнего и верхнего интегралов и интеграла Римана, если они существуют.

Семейство называется подсетью числовой сети , еслии для любогонайдется такой индекс, что. Если , то, поэтому найдется такой индекс, чтои. Далее найдется такой индекс, что. Следовательно,и, так чтомножество , наделенное тем же отношением предпорядка, что и, является предупорядоченным и направленным вверх множеством. Это означает, что подсеть также является сетью. Подсети играют в теории пределов роль, аналогичную подпоследовательностям.

Теорема 13.2. Пусть - некоторая числовая сеть, а- ее подсеть. Если существует, то .

Доказательство. Пусть . По определению предела числовой сети найдется такой индекс , чтодля всех индексовтаких, что. По определению подсети найдется такой индекс , что. Тогда для всех индексовтаких, что, так что. #

Если - некоторая последовательность действительных чисел, тодля построения ее подпоследовательностей используется та же идея, что и для построения подсетей. Для этого выбирается бесконечное подмножество в, которое наследует упорядоченность из множества натуральных чисел, а затем точкам множестваприписываются новые номера так, чтобы получаемый новый порядок индексов соответствовал прежнему порядку. Новые индексы обычно записываются в виде. При этомобозначает номер в исходной упорядоченности (т.е. во множестве), аобозначает новый номер. Согласованность порядков означает, чтонеравенство выполняется тогда и только тогда, когда .

Следствие. Пусть - некоторая последовательность действительных чисел, а- ее подпоследовательность. Если, то .

Замечание. 1) Существуют подсети числовых сетей со счетными множествами индексов, которые не могут быть представлены в виде последовательностей, являющихся подсетями заданных сетей. Действительно, пусть , где. Упорядочим множество естественным образом:тогда и только тогда, когда. Пусть, далее, - произвольная числовая сеть и - множество рациональных точек из. Тогда - подсеть со счетным множеством индексов , так как по свойству плотности множества рациональных чисел на числовой прямой для любого действительного числанайдется рациональное число, т.е. такое число, что. Занумеруем теперь все точки множествапроизвольным образом в виде последовательности. Пусть, например,. По плотности множествавнайдется рациональное число. Пусть. Тогдаи, так что не существует представления множествав виде последовательности, при котором было бы подсетью сети .

2) Существуют сети, у которых нет подсетей со счетными множествами индексов. Например, пусть - множество всех разбиений отрезка, упорядоченное по включению: тогда и только тогда, когда(см. пример 12.8). Предположим, что существует числовая сеть , имеющая подсетьсо счетным множеством индексов. Представим множествов виде последовательности, а каждое разбиениев виде конечного набораточек этого отрезка, удовлетворяющих условию:. По теореме 5.2 множествоявляется не более чем счетным, поэтому существует точка. Отметим, что, поэтому возьмем разбиение. Для любоготочка, поэтому не существует такого номера, что. Следовательно,не может быть подсетью сети.

Замечание. Обращение теоремы 13.2, вообще говоря, не верно уже для последовательностей.

Пусть - некоторая числовая сеть,и . Нетрудно проверить, что является подсетью исходной сети. По аналогии с остатком числового ряда эту подсеть будем называть остатком сети . Легко видеть, что справедливо следующее частичное обращение теоремы 13.2:

Теорема 13.3. Пусть - числовая сеть, а- некоторый ее остаток. Если существует, то .

Следствие. Пусть - числовая последовательность, а- некоторый ее остаток. Если, то .

В частности из следствия теоремы 13.3 следует, что на существование предела у числовой последовательности и его величину не влияет изменение первых ее членов.

Следующее утверждение часто называют теоремой о продолжении неравенств:

Теорема 13.4. Пусть - числовая сеть и. Если точкатакова, что(соотв. ), то существует такой индекс, что(соотв. ) для всех .

Доказательство. Пусть, например, . По лемме Хаусдорфа существует такое число, что. Из неравенстваи определенияокрестностей следует, чтодля всех. Применяя теперь определение предела сети к окрестности, получим, что найдется индекстакой, чтодля всех. #

Следствие. Пусть - числовая последовательность и. Еслитаково, что(соотв.), то существует такой номер, что(соотв.) для всех .

Числовую сеть будем называть возрастающей (соотв. убывающей), если (соотв.)для всех таких, что .Возрастающие и убывающие числовые сети называются монотонными. Докажем теорему о пределе монотонных числовых сетей:

Теорема 13.5. Любая убывающая числовая сеть имеети любая возрастающая числовая сетьимеет .

Доказательство. Пусть - убывающая сеть,и. По критерию нижней грани (см. теорему 11.1)является точкой прикосновения для множества, поэтому существует такой индекс, что. Тогдадля всех и, значит, . Это доказывает, что . Утверждение для возрастающей сети доказывается аналогично.Замечание. Рассмотрим в качестве числовых сетей нижние и верхние суммы Дарбу. В примере 12.8 равенствами

,

нами были введены нижний и верхний интегралы Дарбу. В стандартных курсах математического анализа доказывается (применительно к используемой здесь терминологии), что нижние суммы Дарбу являются возрастающими сетями, а верхние суммы Дарбу – убывающими. Поэтому на основании теоремы 13.5 можно заключить, что нижний и верхний интегралы Дарбу существуют для любой ограниченной функции , причем

,. (51)

Именно так (с помощью формул (51)) обычно и вводятся в классическом математическом анализе определения нижнего и верхнего интегралов Дарбу. При этом, как нетрудно заметить, для любого разбиения и подчиненной ему выборкевыполняется неравенство:

, (52)

где - интегральная сумма (см. пример 12.9). Более сложные соотношения устанавливает результат, известный в литературе под названием леммы Дарбу: для любого числа существует такое число, что для любого разбиения отрезка с шагом выполняются неравенства:

. (53)

Из соотношений (52) и (53) вытекает важнейший результат, известный под названием второго критерия интегрируемости: для того чтобы для ограниченной функции существовал конечный , необходимо и достаточно, чтобы . При этом, . В соответствии с данным критерием под интегралом Римана часто понимают общее значение верхнего и нижнего интегралов.

Следствие. Любая убывающая числовая последовательность имеет, любая возрастающая числовая последовательностьимеет .

Установим теперь свойство сохранения неравенств при предельном переходе.

Теорема 13.6. Пусть и- две числовые сети, причемдля всех. Если существуюти, то .

Доказательство проведем от противного. Пусть . Возьмем произвольное числотак, чтобы, и применим теорему 13.4. Тогда найдутся такие индексы , чтодля всехидля всех. Найдем индекстак, чтобыи. Тогда, что противоречит условию теоремы.#

Следствие 1. Пусть и- числовые последовательности, причемдля всех номеров. Если существуюти, то .

В качестве другого элементарного применения теоремы 13.6 приведем свойство монотонности интеграла Римана:

Следствие 2. Пусть функции интегрируемы по Риману идля любого. Тогда .

Отметим, что строгие неравенства при предельном переходе могут не сохраняться.

Следующее утверждение называется теоремой о пределе промежуточной переменной.

Теорема 13.7. Пусть ,и- такие числовые сети, чтодля любого, и. Тогда существует .

Доказательство. Применяя определение предела к сетям и, получим, что для любого найдется такой индекс, чтодля всех. Из определенийокрестностей и неравенств следует, что для всех. Это и означает, что . #

Следствие. Пусть ,и- числовые последовательности, причемдля всех номеров, и. Тогда существует .

Пусть и. Из неравенствиследует, что

; (54)

из неравенств ,следует, что, откуда вытекает включение:

, (55)

а из неравенств ,,следует включение:

. (56)

Далее, если , тои, поэтому из неравенств

,,

очевидно, получается включение:

, (57)

а из неравенств

,,

вытекает включение:

. (58)

Соотношения (54) - (58) будут использованы ниже.

Следующее утверждение называется теоремой о пределе суммы:

Теорема 13.8. Пусть и- числовые сети,и. Тогда

, (59)

если операция определена в расширенной числовой прямой.

Доказательство. Пусть точки итаковы, что суммаопределена (см. (35)). Зададим(если, аили, то будем считать, что). По определению предела числовой сети существует такой индекс, чтоидля всех. Для указанных значений индексовиз соотношений (54) - (58) вытекает, что. #

Замечание. 1) Из доказанной теоремы, в частности, следует, что

, (60)

т.е. производная суммы двух функций равна сумме их производных, и

, (61)

т.е. интеграл Римана от суммы двух функций равен сумме их интегралов, если суммы в правых частях равенств (60) и (61) определены.

2) Если для любого индексаи, то, поэтому из теоремы 13.8 следует, что

, (62)

где операция сложения в правой части равенства (62) осуществляется в соответствии с формулами (31) - (32). Исходя из формулы (62), часто говорят, что «константу можно выносить из-под знака предела».

Следующее утверждение называется теоремой о пределе произведения:

Теорема 13.9. Пусть и- числовые сети,и. Тогда

, (63)

если операция определена.

Доказательство. Зададим и рассмотрим различные варианты значенийи.

Пусть . Выберем числотак, чтобы, и найдем такой индекс, что, адля всех. Тогда из неравенств,и

следует, что

для всех , т.е.при. Это доказывает формулу (63).

Пусть ,. Выберемтак, чтобы. Тогда по определениям пределов сетей найдется такой индекс, чтоидля всех. Теперь из неравенстваследует, чтодля всех, так что.

Если ,, то длянайдется такой индекс, чтоидля всех. Тогдаи поэтому. Следовательно,для всех, т.е..

Пусть теперь ,. Для любогонайдем индекстак, чтобыидля всех. Тогдапри, так что.

Если ,, то для любогонайдется такое, чтоидля всех. Тогда, адля всех, так что.

Все оставшиеся варианты значений точек илегко сводятся к рассмотренным выше.#

Замечание. Из теоремы 13.9 следует, что для любого

, (64)

если правая часть равенства (64) определена (она не определена, когда и). Отметим, что умножение справа в равенстве (64) осуществляется в соответствии с правилами (33) – (34). Исходя из формулы (64), часто говорят, что “постоянный множитель можно выносить из-под знака предела”.

Замечание. Теоремы 13.8 и 13.9 можно доказать и для любого конечного числа числовых сетей. При этом следует лишь избегать появления “запрещеных” операций: ,и.

Числовую сеть будем называть локально ограниченной, если существует такое число и индекс, чтодля всех индексов . Нетрудно заметить, чтодля числовой последовательности понятие локальной ограниченности совпадает с хорошо известным понятием ограниченной последовательности: последовательность называется ограниченной, если существует такое число , чтодля всех номеров . Применительно к числовым сетям, построенным по функциям (см. примеры 12.2, 12.3 и 12.4), это понятие приводит к известному из курса математического анализа определению локально ограниченной функции:функция называется локально ограниченной в предельной точке множества ,если существуют такие числа и, чтодля всех, . Отметим, что, как следует из определения предела числовой сети,всякая числовая сеть, имеющая конечный предел, является локально ограниченной. В соответствии с распространенными в математике традициями числовую сеть будем называть бесконечно малой, если она имеет предел и . Имеет место

Теорема 13.10. Произведение бесконечно малой числовой сети на локально ограниченную числовую сетьявляется бесконечно малой числовой сетью.

Доказательство. Пусть число и индекстаковы, чтодля всех индексов. Возьмеми найдем индекстак, чтобыдля всех индексов. Выберем теперь индекстак, чтобыи. Тогда для всех индексоввыполняется неравенство, которое и означает, что . #

В заключение параграфа приведем теорему о пределе частного.

Теорема 13.11. Пусть и- числовые сети,и. Тогда

, (65)

если операция определена.

Доказательство. Предположим сначала, что и . По определению предела числовой сети найдется такой индекс, что неравенствобудет выполняться для всех индексов. Для указанных индексоввыполняется:

. (66)

Положим ,и для любого числав соответствии с определениями пределов найдем такие индексыи, чтодля всех, идля всех. Выберем индекстак, чтобы,и. Используя неравенства (66), теперь для всех индексов, имеем:

что и доказывает формулу (65).

Пусть теперь ,,. Для любого числапо определениям пределов числовых сетей найдется такой индекс, чтоидля всех индексов. Тогдадля всехи, значит, для всех таких индексов выполняется неравенство, что вновь доказывает формулу (65).

Случаи ,, а также,и,доказываются аналогично.

Предположим, наконец, что ,. Возьмем числои найдем такой индекс, чтоидля всех индексов. Тогдаи поэтомудля всех. Тем самым, вновь установлена формула (65).

Случай ,доказывается аналогично. #

Рассмотрим теперь вопрос о “делении на нуль”.

Теорема 13.12. Пусть и- числовые сети,, причем,. Тогда:

1. если существует такой индекс , чтодля всех индексов, то, если, и, если ;

2. если существует такой индекс , чтодля всех индексов, тоесли, и, если .

Доказательство. Пусть идля всех. По определению предела для любого числанайдется такой индекс, чтоидля всех. Возьмем индекстак, чтобыи. Тогда для всех индексовбудети, откуда, так что . Остальные случаи доказываются аналогично. #

В заключение приведем наиболее часто встречающийся случай применения данного результата, относящийся к вычислению пределов функций:

Следствие. Пусть - некоторые функции,- предельная точка множества,, причем,. Тогда:

1) если существует такое , чтодля всех, тоесли, иесли ;

2) если существует такое , чтодля всех, тоесли, иесли

Упражнения. 1) Пользуясь определением предела доказать, что:

а) ; б)в);

г) ; д); е);

ж) ; з); и); к).

53