12. Общее определение числового предела

Нашей непосредственной целью является введение общего понятия числового предела, которое включало бы в себя как частные случаи такие, казалось бы, различные понятия, как предел последовательности, пределы функций в точке и на бесконечности, односторонние пределы функций, пределы интегральных сумм и т.д. Реализация подобного замысла позволит с одной стороны с единых позиций взглянуть на возникающие в математическом анализе понятия пределов и проследить их родство, а с другой стороны даст возможность выделить общие свойства предельных соотношений (таких, как единственность предела, свойства монотонности, алгебраические соотношения при предельных переходах).

Рассмотрим некоторое непустое множество произвольной природы.Бинарное отношение , определенное для некоторых парэлементов множествабудем называть отношением предпорядка на , если оно обладает следующим свойством:

1) если , а, то (свойство транзитивности).

Соотношение можно читать так: точка предшествует точке илиследует за , илименьше , илибольше .

Если для некоторых точек выполняется соотношениеили, то такие точки называются сравнимыми. Соответственно, точки называются несравнимыми, если для них ни одно из соотношений ине выполняется. Отметим, что если для точек выполняются оба соотношенияи, то отсюда не следует, что .Если для любых двух различных точек ипредупорядоченного множествавыполняется соотношениеили (т.е. любые два различных элемента всравнимы между собой),то такой предпорядок называется полным или линейным; в противном случае он называется частичным. Примерами линейного предупорядочения служат отношения сравнения чисел ина расширенной числовой прямой. Отметим, что большинство рассматриваемых ниже отношений предпорядка будут частичными, а не линейными.

Предупорядоченное множество называется направленным вверх, если для любых двух точек существует такая точка, чтои . Применяя метод математической индукции, нетрудно убедиться в том, что справедлива

Лемма 12.1. Пусть - предупорядоченное направленное вверх множество и- некоторые его точки. Тогда существует такая точка, что , …,.

Элемент предупорядоченного множестваназывается его наибольшим элементом, если для любой точки . Из леммы 12.1 вытекает

Следствие. Если предупорядоченное направленное вверх множество является конечным, то оно имеет наибольший элемент (их может быть несколько).

Пусть - некоторое предупорядоченное множество. Любую функциюбудем в дальнейшем называть числовой сетью и обозначать в виде .Точки при этомбудем называть индексами сети, а само множество -множеством индексов сети .Точку будем называтьпределом числовой сети ,если для любого действительного числа найдется такой индекс, чтодля всех индексовтаких, что .Для предела числовой сети будем использовать обозначение: .

Замечание. Если множество индексов числовой сети имеет единственный наибольший элемент, то такая сеть имеет предел, причем, как нетрудно догадаться,. Если наибольших элементов будет несколько, то такая сеть предела может не иметь. Забегая вперед, отметим, что множества индексов всех значимых для математического анализа числовых сетей не имеют наибольших элементов.

Учитывая то обстоятельство, что точки могут быть как обычными действительными числами, так и символамии, аокрестности этих точек отличаются по форме записи (см. (37) – (38)), видим, чтоопределение предела числовой сети допускает 3 различные расшифровки:

1) Число называется пределом числовой сети ,если для любого действительного числа найдется такой индекс, чтодля всех индексов, .

2) Числовая сеть имеет своим пределом ,если для любого числа найдется такой индекс, чтодля всех индексовтаких, что .

3) Сеть стремится к ,если для любого найдется такой индекс, чтодля всех индексовтаких, что .

Сеть называетсясходящейся, если ее предел существует и конечен, т.е. .

Как видим, определение предела числовой сети имеет очевидное сходство с классическим определением предела числовой последовательности. Это далеко не случайно:

Пример 12.1. (Предел числовой последовательности). Рассмотрим числовую последовательность как функциюнатурального ряда чисел. Множествоявляется направленным вверх предупорядоченным множеством при своем естественном отношении порядка:тогда и только тогда, когда . Поэтому последовательностьможно рассматривать в качестве числовой сети. Введенное выше определение предела числовой сети совпадает при этом со стандартным определением предела числовой последовательности:является пределом последовательности , если для любогонайдется такой номер, чтодля всех номеров .

Замечание. Отметим, что в приведенном определении предела отношение порядка можно заменить на отношение предпорядка ; определение предела числовой последовательности при этом будет выглядеть следующим образом:является пределом последовательности , если для любогонайдется такой номер, чтодля всех номеров . Очевидно,оба эти определения равносильны.

Заменяя в определении предела соотношение неравенствами, получим три определения предела последовательности:

1) Число называется пределом последовательности ,если для любого найдется такой номер, чтодля всех номеров .

2) Последовательность стремится к ,если для любого найдется такой номер, чтодля всех .

3) , если для любогонайдется такой номер, чтодля всех .

Замечание. По причине родства числовых последовательностей с числовыми сетями последние иногда называют обобщенными последовательностями (впрочем, их также называют направлениями и направленностями).

В математике часто возникает вопрос о поведении функции (где) в непосредственной близости к точке . Если- внешняя точка множества, то. Следовательно, функцияне определена в точке. Более того, она не определена и в некоторойокрестности точки, а, значит, она не определена и в любойокрестности точки, где(это следует из включения). Следовательно, вопрос о поведении функциивблизи точкиимеет смысл лишь в том случае, когда. Однако, этот вопрос представляет интерес отнюдь не для всех точек прикосновения. Если- изолированная точка множества, то функция определена в точке и не определена ни в какой другой точке некоторойокрестности точки, а поэтомуне определена ни в какой точкелюбойокрестности точки, где. Поэтомувопрос о поведении функции вблизи точкиимеет смысл только для предельной точкимножества .

Пример 12.2. (Левый предел функции в точке). Пусть -предельная слева точка множества и - некоторая функция. Отметим, что .Положим .Предупорядочим множество следующим образом: тогда и только тогда, когда .Множество при этомоказывается предупорядоченным и направленным вверх, поэтому мы имеем числовую сеть , где для любого .Предел построенной сети называется левым пределом функции в точке (илипределом функции в точке слева) и обозначается . Таким образом,в том и только том случае, когда для любого действительного числа найдется такая точка, чтодля всех точектаких, что . Положив здесь, если, и, если , получим расшифровку данного определения (на геометрической языке): точка называется пределом функции в точке слева, если для любого найдется такое число, чтодля всех точек, . Поскольку , а может быть какдействительным числом, так и , видим, что данное определение допускает 6 различных расшифровок. Приведем 3 из них:

1) Число называется пределом функциив точке слева, если для любого найдется такое, что неравенствовыполняется для всех точек, удовлетворяющих неравенству .

2) Точка называется левым пределом функции в точке ,если для любого найдется такое, что неравенствовыполняется для всех точек, удовлетворяющих неравенству .

3) Точка называется пределом функции при, стремящимся к ,если для любого найдется такое, что неравенствовыполняется для всех точекудовлетворяющих неравенству .

Замечание. Отметим, что в последнем определении употребляется фраза «называется пределом функции при , стремящимся к » вместо положенной «называется левым пределом функции при , стремящимся к ». Это не случайно. Причина заключается том, что точка не может быть предельной справа точкой множества , поэтому такой предел может быть только левым пределом.

Пример 12.3. (Правый предел функции в точке). Пусть -предельная справа точка множества . Ясно, что .Положим .Предупорядочим множество , положив тогда и только тогда, когда .Множество при этом оказывается предупорядоченным и направленным вверх, поэтому мы можем каждой функции сопоставить числовую сеть, положив для любого .Предел этой сети называется правым пределом функции в точке (илипределом функции в точке справа) и обозначается . Расшифровка данного определения приводит к (геометрическому) определению: точка называется пределом функции в точке справа, если для любого найдется такое, чтодля всех точек, . Как и в случае с левым пределом, данное определение допускает 6 различных расшифровок. Приведем две из них:

1) Число называется пределом функциив точке справа, если для любого найдется такое, что неравенствовыполняется для всех точек, удовлетворяющих неравенству .

2) Точка называется пределом функции при, стремящимся к ,если для любого найдется такое , что неравенство выполняется для всех точек , .

Замечание. Как и в случае с левым пределом в последнем определении термин «правый предел» заменяется на «предел», так как левым пределом он быть не может.

Полезно отметить, что отношения предпорядков в примерах 12.2 и 12.3 вводятся таким образом, что большей оказывается та точка, которая находится «ближе» к точке .

Пример 12.4. (Предел функции в точке). Пусть - двухсторонне предельная точка множества (т.е. является и предельной слева и предельной справа точкой множества ) и - некоторая функция. Введем на множестве следующее отношение частичного предпорядка: положим , тогда и только тогда, когда . Нетрудно понять, что, как и в предыдущих двух примерах,большей объявляется та точка, которая находится «ближе» к точке .Множество при этом будет направленным вверх. Положив теперь для любой точки , мы получим числовую сеть , определение предела которой будет следующим: , если для любогонайдется такая точка, чтодля всех точектаких, что .Предел полученной числовой сети обозначают в виде илии называют пределом функции в точке .Положив ,получим геометрическое определение предела функции в точке: точка называется пределом функции в точке , если для любогонайдется такое, чтодля всех ,.

Замечание. Если точка является предельной слева, но не справа, точкой множества, то определение предела функции в двухсторонне предельной точке совпадает с приведенным в примере 11.2 определением предела функции в точке слева, т.е. в этом случае пределом функции в точке будет его левый предел. Так будет всегда в случае .Если точка является предельной справа, но не слева, то это определение совпадает с приведенным в примере 12.3 определением предела функции в точке справа, т.е. в этом случае пределом функции в точке будет его правый предел. Так будет всегда в случае .

Поскольку , а, то определение предела функции в точке допускает 3 расшифровки:

1) Число называется пределом функциив точке ,если для любого найдется такое, что неравенствовыполняется для всех, удовлетворяющих неравенству .

2) называется пределом функции в точке , если для любого найдется такое , что неравенство выполняется для всех , удовлетворяющих неравенству .

3) Говорят, что стремится к при , стремящимся к точке ,если для любого найдется такое, чтодля всех точек, удовлетворяющих неравенству .

Приведенные только что определения принято называть определениями предела функции по Коши.

Замечание. Таким образом, можно утверждать, что конструкция предела функции в точке по Коши включает в себя 15 различных формулировок (12 определений односторонних пределов и 3 определения для пределов функций в двухсторонне предельных точках).

Для двухсторонне предельных точек, имеет место следующее соотношение между пределами:

Лемма 12.2. Пусть - двухсторонне предельная точка множества. Точкаявляется пределом функциив точкетогда и только тогда, когда .

Доказательство. Если , тои. Обратно, пусть. По определениям односторонних пределов для любого действительного числанайдутся такие действительные числа числа, чтодля всехи всех. Положим. Тогдадля всех, так что. #

Пример 12.5. Рассмотрим функцию: для всех. Имеем:,, апо лемме 12.2 не существует.

Пример 12.6. (Производная функции в точке). Рассмотрим некоторую функцию , где .Производной функции в предельной точкемножества называется

,(44)

т.е. производная – это предел функции специального вида (предел разностного отношения). В соответствии с общей концепцией предела вводятся в рассмотрение односторонние производные:

(45)

называется производной функции в точке слева, а

- (46)

производной функции в точке справа. Из леммы 12.2 вытекает

Лемма 12.3. Если - двухсторонне предельная точка множества, тосуществует тогда и только тогда, когда существуюти, причем . При этом.

Пример 12.7. Пусть . Тогда, если, и, если, ане существует, так как,.

Пример 12.8. (Нижний и верхний интегралы Дарбу). Рассмотрим ограниченную функцию . Напомним, чторазбиением отрезка называется произвольный конечный набор точек этого отрезка, удовлетворяющих условию: .На множестве всех разбиений отрезкавведем следующее отношение частичного предпорядка: для двух разбиенийи положим тогда и только тогда, когда (т.е. когда все точки разбиенияявляются точками разбиения). Нетрудно заметить, чтомножество является направленным вверх (действительно, если , тои).Для разбиения определим нижние суммы Дарбу и верхние суммы Дарбу ,где ,,а . Для фиксированной функциинижние и верхние суммы Дарбу представляют собою функциии, поэтому являются сетямии.Пределы этих сетей называются соответственно нижним и верхним интегралом Дарбу и обозначаются

,. (47)

Пример 12.9. (Предел интегральных сумм). Вновь рассмотрим ограниченную функцию и некоторое разбиениеотрезка.Величина называется шагом разбиения .Совокупность точек отрезкабудем называть выборкой, подчиненной разбиению ,если для любого .Интегральной суммой, соответствующей разбиению и подчиненной ему выборке, называется величина

, (48)

где, как и обычно, . Как видим,является числовой функцией двух переменных: и .Введем на множестве всех пар отношение частичного предпорядка: будем считать, что тогда и только тогда, когда . Отметим, чтовведенное предупорядочение зависит лишь от разбиений и не зависит от выборок. Далее, отметим, что множество всех пар направлено вверх. Чтобы убедиться в этом, достаточно взять . Тогдаи, поэтому для любых двух парибудети. Следовательно,совокупность интегральных сумм мы можем рассматривать как числовую сеть , гдедля любой пары .Предел построенной числовой сети называется пределом интегральных сумм. Таким образом, точка называется пределом интегральных сумм, если для любогонайдется такой индекс, чтодля всех индексовтаких, что .Если положить , то получим расшифровку определения предела интегральных сумм: точка называется пределом интегральных сумм, если для любогонайдется такое, чтодля любого разбиенияотрезкас шагоми любых точектаких, чтодля любого. Для предела интегральных сумм используется обозначение: .

В случае, когда , мы получаемклассическое определение предела интегральных сумм: действительное число называется пределом интегральных сумм, если для любого найдется такое, что

(49)

для любого разбиения отрезкас шагоми любых точектаких, чтодля всех. Если существует конечный предел интегральных сумм, то он называется интегралом Римана и обозначается . Таким образом,

. (50)

Соотношения между верхним и нижним интегралами и интегралом Римана мы изучим ниже.