11

Министерство высшего и среднего специального образования Российской Федерации

Тверской государственный университет

Кафедра общей физики

Лаборатория механики

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1.

ИЗМЕРЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗМЕРОВ И ПЛОТНОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ

Тверь

2002

I МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ФИЗИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

1. Основные понятия и определения

Измерение – нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств.

Результат измерения физической величины всегда отличаются от истинного значенияx. Абсолютной погрешностью ∆x результата измерений называется его отклонение от истинного значения х:

Поскольку истинное значение неизвестно, на практике погрешность измерения можно лишь оценить, т.е. найти ее приближенное значение.

Измерения в зависимости от способа обработки экспериментальных данных для нахождения результата подразделяются на прямые и косвенные. При прямых измерениях значение величины непосредственно находится из опытных данных в результате выполнения измерения. Измеряемая величина при этом сравнивается с единицей измерения (эталоном или копией) непосредственно или с помощью приборов.

Примеры прямых измерений: измерение времени секундомером, измерение напряжения вольтметром.

Косвенное измерение – это измерение, при котором искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямыми прямым измерениям. Таким образом, при косвенных измерениях значение измеряемой величины:

является функцией результатов прямых измерений: х, у, z,… и рассчитывается по некоторой формуле.

Примеры косвенных измерений: скорость при равномерном движении находится по результатам прямых измерений путиs и времени движения t; сопротивление резистора рассчитывается по напряжениюU и силы тока I.

2. Математическая справка: производная, дифференциал, частная производная

Пустьf(x) – функция переменной x. Производная характеризует скорость изменение функции в зависимости от изменения аргументах.

Величину ,называемую дифференциалом, можно рассматривать, как элементарное (бесконечно малое) изменение функции, отвечающее элементарному изменению аргумента dx, Дифференциал независимой переменной dx берется столь малым, что на участке от x до функцию f(x) можно приближенно считать линейной.

Однако на практике часто приходится сталкиваться с функциями нескольких переменных:

(1)

Например, скорость v при равномерном движении является функцией двух переменных – s и t:

Элементарное изменение (дифференциал) df функции нескольких переменных находится по формуле:

(2)

где - так называемыечастные производные.

Частные производные находятся по тем же правилам, что и обычные производные. Нужно только иметь в виду, что при нахождении переменныеy и z рассматриваются как постоянные (константы), при взятии константами считаютx и y и т.д.

Пример: ;;;;

3. Оценка погрешностей прямых измерений

Поскольку не существует абсолютно точных приборов и методов измерений, то результат измерения всегда в той или иной степени отличается от истинного значениях.

Абсолютной погрешностью (ошибкой) измерения ∆х называют, как уже отмечалось, разность между измерениями и истинным значением физической величины:

Результаты измерения должны быть представлены в виде:

(3)

Запись (3) означает, что истинное значение измеренной величины с высокой вероятностью заключено в интервале

Примеры: ,.

Относительной погрешностью измерений называется отношение абсолютной погрешности к измеряемой величине:

Относительную погрешность часто выражают в процентах

Без указания погрешности результаты измерений имеют малую ценность.

Пример. Испытания на прочность стальной проволоки сечением 1 мм показали, что разрыв происходит под действием силы Н для сорта А и Н для сорта Б. Можно ли считать, что сталь А прочнее, чем Б? На этот вопрос нельзя ответить обоснованно, не зная погрешности измерений. Пусть они достаточно малые, например, ∆F=10 Н. Тогда прочность стали А лежит в интервале Н, а стали Б – Н. Таким образом, с учетом погрешности измерения, , т.е. сталь А прочнее. Иная ситуация возникает при больших погрешностях, например, ∆F=200 Н. В этом случае, сравнивая интервалы Н и Н, мы видим, что они сильно перекрываются, и поэтому мы не можем утверждать, что материалы отличаются по прочности.

Точность, с которой следует проводить измерения, должна быть согласована с целями измерений. Неоправданное повышение требований к точности измерений может привести к неоправданной трате времени и средств, к увеличению процента брака на производстве. Если на чертеже детали неграмотный инженер укажет размер 20.00 см вместо 20.0 см, то от рабочего может потребоваться другая технология обработки детали.

Как правило, достаточно дать хотя бы приближенную оценку погрешности. Так, при прочности на разрыв F=1400 Н не принципиальна, будет погрешность ∆F=10 Н или 20 Н. Однако эта оценка должна быть достоверной.

По характеру появления погрешности прямых измерений можно подразделить на три класса: 1) систематические погрешности; 2) случайные ошибки; 3) промахи.

Промахи – это грубые погрешности, являющиеся результатом низкой квалификации экспериментатора, его небрежности или неожиданных сильных внешних воздействий ( подземные толчки, посторонние магнитные поля и т. д. ). Промахи приводят к неоправданно высоким погрешностям, поэтому их следует исключать. Для этого нужно соблюдать аккуратность и тщательность в проведении опыта, записях результатов и т. д. Теория выявления промахов посредством анализа числовых результатов эксперимента сложна, но, как правило, промахи можно выявить простым путем: если какое-либо значение измеряемой величины резко отличается от остальных, то это явный промах. Промахи исключаются из таблицы исходных данных и не учитываются при дальнейшей обработке результатов наблюдений.

Пример. Пусть получена серия из 10 значений напряжения в сети: 220 В, 200 В, 180 В, 240 В, 200 В, 205 В, 190 В, 220 В, 400 В, 200 В. Из этих результатов видно, что мы имеем дело с однофазной сетью напряжения 220 В. Напряжение колеблется в зависимости от включаемой нагрузки. Однако девятое значение U=400 В явно обусловлено или неверной записью, или неверным измерением, или временными неполадками в сети (перепутаны фазы трехфазной линии, от которой проведена однофазная сеть). Поэтому это значение будем считать промахом, при расчете среднего напряжения в сети положим, что число измерений n=9. Тогда:

В дальнейшем мы будем считать, что промахи в рассматриваемых измерениях отсутствуют.

Систематические погрешности – это погрешности, которые остаются постоянными или закономерно изменяются при повторных измерениях одной и той же величины. Например, погрешность измерения длины штангенциркулем постоянна и равна 0.1 мм. Если часы спешат, то длительности будут на постоянную или закономерно меняющуюся величину.

Основные причины систематических погрешностей:

1. Приборная ( инструментальная ) погрешность.

2. Неправильный метод измерения.

3. Неисправность или неправильная установка прибора.

Приборная погрешность существует всегда и обусловлена многими причинами, связанными с конструкцией прибора, качеством изготовления и т. д. Эта погрешность имеет как систематическую, так и случайную составляющую, однако, как правило, преобладает систематическая погрешность.

В простейших случаях (например, при измерении длины с помощью линейки) приборную погрешность полагают равной цене деления шкалы или половине цены деления. Выбор должен делаться применительно к конкретному случаю измерения. Так, при измерении длины предметов в диапазоне 1 см – 50 см деревянной линейкой целесообразно положить ∆l=1 мм. На инструментальной металлической линейке штрихи нанесены с большей точностью, и можно положить ∆l=0.5 мм. Точно так же неразумно полагать ∆l=0.5 мм при измерении длинных предметов (l~1 м). Для большинства средств измерения инструментальная погрешность указывается изготовителем. Для штангенциркуля ∆l=0.1 мм, для микрометра ∆l=0.01 мм. Для хорошо проверенного микрометра можно положить ∆l=0.005 мм, т.е. половине цены деления шкалы.