математика2_1вариант
.docВАРИАНТ 1,2
Часть 1.
1. Функция
уравнения
называется
A) частным интегралом дифференциального уравнения
В) дифференциальным уравнением
С) частным решением дифференциального уравнения
D) общим интегралом дифференциального уравнения
Е) характеристическим уравнением
2. Уравнение первого порядка
называется однородным, если
A) функция
есть известная функция от
,
линейная относительно искомой функции
B) функцию
можно представить как функцию только
одного отношения переменных
C) функция
разлагается на множители, зависящие
каждый только от одной переменной
D) функцию
можно представить как функцию
E) оно является характеристическим уравнением
3. Совокупность всех точек, в которых функция многих переменных имеет определенные действительные значения, называют
A) системой координат
B) областью определения (существования)
C) координатами функции
D) областью значений функции
E) множеством натуральных чисел
4. Полный дифференциал
функции
равен
A)
B)
C)
D)
E)
5.
Найти
A) 0
B)
C) 12
D) 2
E) 3
6. Найти полный дифференциал
функции
A)
B)
C)
D)
E)
7. Областью определения функции
,
заданной уравнением
,
является
A) вся плоскость
,
кроме точек
,
где
B) вся плоскость
,
кроме точки
C) вся плоскость
D) третий квадрант
E) четвертый квадрант
8. Расставив пределы
интегрирования в двойном интеграле
,
свести его к повторному
,
если область D
ограничена кривыми
,
,
при
.
A)
B)
C)
D)
E)
9. Найдите интеграл
.
A) -1
B) 1
C) -2
D) 2
E) -3
10. Вычислить
A) 3
B) 4
C) 7
D) 6
E) 5
Часть 2.
ЗАДАНИЕ 1. НАЙТИ ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ.
|
Вариант 1
А)
В)
|
Вариант 2
А)
В)
|
|
Вариант 3
А)
В)
|
Вариант 4
А)
В)
|
.
.
.
.
.
.
.
.
|
Указание. В пункте А), как видите,
аргументы
В пункте В) аргументы
|
и
сложной функции
являются функциями от одной переменной
,
поэтому производная сложной функции
от одной независимой переменной
называется полной производной и
определяется формулой:
.
и
сложной функции
являются функциями от двух переменных
и
,
поэтому частные производные сложной
функции
от двух независимых переменных
и
определяются формулами:
,
.
ЗАДАНИЕ 2. НАЙТИ ПРОИЗВОДНУЮ НЕЯВНОЙ
ФУНКЦИИ
,
ЗАДАННОЙ УРАВНЕНИЕМ.
|
Вариант 1
|
Вариант 2
|
|
Вариант 3
|
Вариант 4
|
.
.
.
.
|
Указание. Для неявной функции
|
от одной переменной
,
заданной уравнением
,
производная определяется следующим
образом
.
ЗАДАНИЕ 3. НАЙТИ ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
|
Вариант 1
|
Вариант 2
|
|
Вариант 3
|
Вариант 4
|
.
.
.
.
|
Указание. По определению, частные
производные от частных производных
первого порядка называются частными
производными второго порядка.
Аналогично определяются частные
производные высших порядков. Функция
двух переменных
И вообще, функция многих переменных
имеет
Частные производные высших порядков находятся путем последовательного нахождения одной производной вслед за другой по правилам дифференцирования функции одной переменной. |
имеет три различных частных производных
второго порядка
.
различных частных производных
го
порядка.
ЗАДАНИЕ 4. НАЙТИ НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ.
|
Вариант 1
|
Вариант 2
|
|
Вариант 3
|
Вариант 4
|
|
Указание. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, необходимо руководствоваться следующим правилом:
1. Определите (изобразите) геометрически
область
2. Найдите наибольшее и наименьшее
значения функции на границе области
Для этого рассмотрите каждую границу
по отдельности, например, если одна
из границ задается уравнением
Аналогично поступайте с остальными границами.
3. Сравните полученные значения функции:
самое большее (меньшее) из них и будет
наибольшим (наименьшим) значением
функции во всей области
|
.
Найдите критические точки, лежащие
внутри области
и вычислите значения функции в этих
точках.
.
,
то, подставив в функцию
вместо
значение 0 получаем уравнение от
одной переменной
(точнее, функцию
от переменной
).
Определите для полученной функции
новую область, соответствующую
основной области и найдите значение
полученной функции на границе
новой области. Затем найдите
критические точки полученной функции
в новой области и вычислите значение
полученной функции в критической
точке.
.
И, запишите вершины наибольшего и
наименьшего значений функции.