математика3_4вариант
.docВАРИАНТ 3,4
Часть 1.
1. Если в дифференциальном уравнении неизвестная функция зависит от нескольких аргументов, то дифференциальное уравнение называется
A) характеристическим уравнением
B) обыкновенным дифференциальным уравнением
C) линейным дифференциальными уравнением
D) уравнением в полных дифференциалах
E) уравнением с частными производными
2. Укажите правильный метод решения
однородного уравнения первого порядка
вида
A) Однородное уравнение
приводится к уравнению с разделяющими
переменными и решается посредством
замены функции
(или
)
новой функцией
по формуле
(или
)
B) Однородное уравнение
решается посредством замены функции
,
откуда
C) Однородное уравнение
приводится к уравнению с разделяющими
переменными и решается посредством
замены функции
(или
)
новой функцией
по формуле
(или
)
D) Однородное уравнение
решается посредством замены функции
,
откуда
E) Решается методом произвольных постоянных
3. Если для функции двух переменных
в точке
величина
,
то это означает
A) в точке
наблюдается минимум
B) в точке
нет экстремума
C) в точке
наблюдается максимум
D) требуется дополнительное исследование
E) точка
является точкой разрыва
4. Областью определения функции
,
заданной уравнением
,
является
A) третий квадрант
B) первый квадрант
C) второй квадрант
D) вся плоскость
E) четвертый квадрант
5.
Найти
A)
В)
С)
D)
Е) 0
6. Определить экстремум функции
A)
B)
C)
D)
E) экстремум отсутствует
7. Найти полный дифференциал
функции
A)
B)
C)
D)
E)
8. Областью определения функции
,
заданной уравнением
,
является
A)
B)
C) вся плоскость
D) третий квадрант
E) четвертый квадрант
9. Вычислите
величину интеграла
.
A) -3
B) 2
C) -2
D) 1
E) -1
10. Вычислить
A) 9
B) 12
C) 7
D) 6
E) 5
Часть 2.
ЗАДАНИЕ 1. НАЙТИ ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ.
|
Вариант 1
А)
В)
|
Вариант 2
А)
В)
|
|
Вариант 3
А)
В)
|
Вариант 4
А)
В)
|
.
.
.
.
.
.
.
.
|
Указание. В пункте А), как видите,
аргументы
В пункте В) аргументы
|
и
сложной функции
являются функциями от одной переменной
,
поэтому производная сложной функции
от одной независимой переменной
называется полной производной и
определяется формулой:
.
и
сложной функции
являются функциями от двух переменных
и
,
поэтому частные производные сложной
функции
от двух независимых переменных
и
определяются формулами:
,
.
ЗАДАНИЕ 2. НАЙТИ ПРОИЗВОДНУЮ НЕЯВНОЙ
ФУНКЦИИ
,
ЗАДАННОЙ УРАВНЕНИЕМ.
|
Вариант 1
|
Вариант 2
|
|
Вариант 3
|
Вариант 4
|
.
.
.
.
|
Указание. Для неявной функции
|
от одной переменной
,
заданной уравнением
,
производная определяется следующим
образом
.
ЗАДАНИЕ 3. НАЙТИ ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
|
Вариант 1
|
Вариант 2
|
|
Вариант 3
|
Вариант 4
|
.
.
.
.
|
Указание. По определению, частные
производные от частных производных
первого порядка называются частными
производными второго порядка.
Аналогично определяются частные
производные высших порядков. Функция
двух переменных
И вообще, функция многих переменных
имеет
Частные производные высших порядков находятся путем последовательного нахождения одной производной вслед за другой по правилам дифференцирования функции одной переменной. |
имеет три различных частных производных
второго порядка
.
различных частных производных
го
порядка.
ЗАДАНИЕ 4. НАЙТИ НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ.
|
Вариант 1
|
Вариант 2
|
|
Вариант 3
|
Вариант 4
|
|
Указание. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, необходимо руководствоваться следующим правилом:
1. Определите (изобразите) геометрически
область
2. Найдите наибольшее и наименьшее
значения функции на границе области
Для этого рассмотрите каждую границу
по отдельности, например, если одна
из границ задается уравнением
Аналогично поступайте с остальными границами.
3. Сравните полученные значения функции:
самое большее (меньшее) из них и будет
наибольшим (наименьшим) значением
функции во всей области
|
.
Найдите критические точки, лежащие
внутри области
и вычислите значения функции в этих
точках.
.
,
то, подставив в функцию
вместо
значение 0 получаем уравнение от
одной переменной
(точнее, функцию
от переменной
).
Определите для полученной функции
новую область, соответствующую
основной области и найдите значение
полученной функции на границе
новой области. Затем найдите
критические точки полученной функции
в новой области и вычислите значение
полученной функции в критической
точке.
.
И, запишите вершины наибольшего и
наименьшего значений функции.