ным количеству измеренных величин, т. е. количеству столбцов матрицы измерений. Например, при применении к принятой матрице измерений она дает такой результат:

» cov(A)

На диагонали матрицы ковариаций размещены дисперсии измеренных ве-

личин, а вне ее - взаимные корреляционные моменты этих величин.

Функция corrcoeff(A) вычисляет матрицу коэффициентов корреляции при тех же условиях. Элементы матрицы S = corrcoef(A) связаны с элементами матрицы ковариаций C=cov(A) таким соотношением:

Пример:

» corrcoef(A) ans =

1.4.3. Функции линейной алгебры

Традиционно к линейной алгебре относят такие задачи, как обращение и псевдообращение матрицы, спектральное и сингулярное разложения матриц, вычисление собственных значений и векторов, сингулярных чисел матриц, вычисление функций от матриц. Ознакомимся с некоторыми основными функциями MatLAB в этой области.

Функция k = cond(A) вычисляет и выдает число обусловленности матрицы относительно операции обращения, которое равняется отношению максимального сингулярного числа матрицы к минимальному.

Функция k = norm(v,p) вычисляет р-норму вектора v по формуле: k = sum(abs(v) . p)(1/p),

где р - целое положительное число. Если аргумент р при обращении к функции не указан, вычисляется 2-норма.

Функция k = norm(А,p) вычисляет р-норму матрицы, где р = 1,2, 'fro' или inf. Если аргумент р не указан, вычисляется 2-норма. При этом справедливы такие соотношения:

norm(A,1) = max(sum(abs(A))); norm(A,inf) = max(sum(abs(A'))); norm(A,’fro') = sqrt(sum(diag(A'*A))); norm(A) = norm(A,2) = σ max(A).

Функция rd = rcond(А) вычисляет величину, обратную значению числа обусловленности матрицы А относительно 1-нормы. Если матрица А хорошо обу-

словлена, значение rd близко к единице. Если же она плохо обусловленная, rd приближается к нулю.

Функция r = rank(A) вычисляет ранг матрицы, который определяется как количество сингулярных чисел матрицы, превышающие порог

max(size(A))*norm(A)*eps.

Приведем примеры применения этих функций:

»disp(cond(A))

13.8032

»disp(norm(A,1))

9

»disp(norm(A))

8.6950

»disp(rcond(A))

0.0692

»disp(rank(A))

3

Процедура d = det(A) вычисляет определитель квадратной матрицы на ос-

нове треугольного разложения методом исключения Гаусса.

Функция t = trace(A) вычисляет след матрицы А, равный сумме ее диагональных элементов.

Q = null(A) вычисляет ортонормированный базис нуль-пространства матрицы А.

Q = orth(A) выдает ортонормированный базис матрицы А.

Процедура R = rref(A) осуществляет приведение матрицы к треугольному виду на основе метода исключения Гаусса с частичным выбором ведущего эле-

мента. Примеры:

» disp(det(A))

30

» disp(trace(A))

3

»disp(null(A))

»disp(orth(A))

» disp(rref(A))

Функция R=chol(A) осуществляет разложение Холецького для действительных симметричных и комплексных эрмитовых матриц. Например:

» A = [ 1 2 3; 2 15 8; 3 8 400]

Функция lu(A) осуществляет LU-разложение матрицы А в виде произведения нижней треугольной матрицы L (возможно, с перестановками) и верхней треугольной матрицы U, так что A = L * U.

Обращение к этой функции вида

[ L, U, P ] = lu(A)

позволяет получить три составляющие этого разложения - нижнюю треугольную матрицу L, верхнюю треугольную U и матрицу перестановок P такие, что

P * A =L * U.

Приведем пример: A =

38 400

»disp(lu(A))

3.0000 8.0000 400.0000 -0. 6667 9. 6667 -258. 6667 -0. 3333 0. 0690 -148. 1724

»[ L, U, P] = lu(A);

»L

» U

U =

3.0000 8.0000 400.0000

0 9. 6667 -258. 6667

0 0 -148. 1724

» P

Процедура pinv(А) находит матрицу, псевдообратную матрице А, которая

0.1408 -0. 0704

»A*P*A, % проверка 1

Для квадратных матриц эта операция равнозначна обычному обращению. Процедура [ Q, R, P ] = qr(A) осуществляет разложение матрицы А на три -

унитарную матрицу Q, верхнюю треугольную R с диагональными элементами, уменьшающимися по модулю, и матрицу перестановок P - такие что

A * P = Q * R.

Например:

» [Q,R,P] = qr(A)

Определение характеристического полинома матрицы A можно осуще-

ствить с помощью функции poly(A). Обращение к ней вида p=poly(A) дает возможность найти вектор-строку p коэффициентов характеристического полинома

p(s) = det(s*E - A) = p1*sn + ... + pn*s + pn+1,

где Е - обозначение единичной матрицы размером (n*n). Например :

» A = [1 2 3; 5 6 0; -1 2 3]

» p = poly(A)

p=

1.0000 -10. 0000 20. 0000 -36. 0000

Вычисление собственных значений и собственных векторов матрицы

осуществляет процедура eig(А). Обычное обращение к ней позволяет получить вектор собственных значений матрицы А, т. е. корней характеристического полинома матрицы. Если же обращение имеет вид:

[ R, D ] = eig(A),

то в результате получают диагональную матрицу D собственных значений и матрицу R правых собственных векторов, которые удовлетворяют условию

A*R = R * D.

Эти векторы являются нормированными так, что норма любого из них равна единице. Приведем пример:

» disp(eig(A))

1.2234

45. 2658 -34. 4893

» [ R,D] = eig(A)

Сингулярное разложение матрицы осуществляет процедура svd(А). Уп-

рощенное обращение к ней позволяет получить сингулярные числа матрицы А. Более сложное обращение вида:

[ U, S, V ] = svd(A)

позволяет получить три матрицы - U, которая состоит из ортонормированных собственных векторов, отвечающих наибольшим собственным значениям матрицы А*АT; V - из ортонормированных собственных векторов матрицы АT*А и S - диагональную матрицу, которая содержит неотрицательные значения квадрат-

ных корней из собственных значений матрицы АT*А (их называют сингулярными числами). Эти матрицы удовлетворяют соотношению:

A = U * S * VT.

Рассмотрим пример:

» disp(svd(A))

100.5617

15. 9665

1.1896

»[U,S,V] = svd(A)

U =

-0.0207 0.1806 -0.9833 -0.0869 0.9795 0.1817 -0.9960 -0.0892 0.0045

S =

100.5617 0 0

0 15.9665 0

0 0 1.1896

V=

0.0502 -0. 0221 -0. 9985

Приведение матрицы к форме Гессенберга осуществляется процедурой hess(А). Например:

» disp(hess(A))

Более развернутое обращение [P,H] = hess(A) дает возможность получить, кроме матрицы Н в верхней форме Гессенберга, также унитарную матрицу преобразований Р, которая удовлетворяет условиям:

A = P * H * P; P' * P = eye(size(A)).

Пример:

» [P,H] = hess(A)

Процедура schur (А) предназначена для приведения матрицы к форме Шура. Упрощенное обращение к ней приводит к получению матрицы в форме Шура.

Комплексная форма Шура - это верхняя треугольная матрица с собственными значениями на диагонали. Действительная форма Шура сохраняет на диагонали только действительные собственные значения, а комплексные изо-

бражаются в виде блоков (2*2), частично занимая нижнюю поддиагональ. Обращение [U,T] = schur(A) позволяет, кроме матрицы Т Шура, получить

также унитарную матрицу U, удовлетворяющую условиям: A = U * H * U'; U' * U = eye(size(A)).

Если начальная матрица А является действительной, то результатом будет действительная форма Шура, если же комплексной, то результат выдается в виде

комплексной формы Шура.

Приведем пример:

» disp(schur(A))

00. 0000 -34. 4893

»[U,T] = hess(A)

U =

1.0000 0 0

0 -0.1961 -0.9806

0 -0.9806 0.1961

Процедура [AA, BB, Q, Z, V] = qz(A,B) приводит пару матриц А и В к обобщенной форме Шура. При этом АА и ВВ являются комплексными верхними треугольными матрицами, Q, Z - матрицами приведения, а V - вектором обобщенных собственных векторов такими, что

Q * A * Z = AA; Q * B * Z = BB.

Обобщенные собственные значения могут быть найдены, исходя из такого условия:

A * V * diag(BB) = B * V * diag(AA).

Необходимость в одновременном приведении пара матриц к форме Шура возникает во многих задачах линейной алгебры - решении матричных уравнений Сильвестра и Риккати, смешанных систем дифференциальных и линейных алгебраических уравнений.

Пример.

Пусть задана система обычных дифференциальных уравнений в неявной форме Коши с одним входом u и одним выходом y такого вида:

Q x& + R x = b u; y = c x + d u

причем матрицы Q, R и векторы b, c и d равны соответственно

Q=

1. 0000 0

R=

1.1190 -1. 0000

36.4800 1. 5380

b=

31.0960

0. 1284

c=

0.6299 0 d = -0. 0723

Необходимо вычислить значения полюсов и нулей соответствующей передаточной функции.

Эта задача сводится к отысканию собственных значений λ, которые удовлетворяют матричным уравнениям:

позволяет решить полную проблему собственных значений для матричного полинома степени р вида

(A0 + λ*A1 + ... + λp *Ap)*r = 0.