1.4. Функции прикладной численной математики

1.4. Функции прикладной численной математики

1.4.1.Операции с полиномами

Всистеме MatLAB предусмотрены некоторые дополнительные возможности математического оперирования с полиномами.

Полином (многочлен) как функция определяется выражением:

P(x) = an xn +... + a2 x2 + a1 x + a0 .

В системе MatLAB полином задается и сохраняется в виде вектора, элементами которого являются коэффициенты полинома от an до a0 в указанном по-

рядке:

P =[an ... a2 a1 a0 ] .

Введение полинома в MatLAB осуществляется так же, как и ввод вектора длиной n+1, где n - порядок полинома.

Умножение полиномов. Произведением двух полиномов степеней n и m соответственно, как известно, называют полином степени n+m, коэффициенты которого определяют простым перемножением этих двух полиномов. Фактически операция умножения двух полиномов сводится к построению расширенного вектора коэффициентов по заданным векторам коэффициентов полиномовсомножителей. Эту операцию в математике называют сверткой векторов (а сам вектор, получаемый в результате такой процедуры - вектором-сверткой двух векторов). В MatLAB ее осуществляет функция conv(P1, P2).

Аналогично, функция deconv(P1, P2) осуществляет деление полинома P1 на полином P2, т. е. обратную свертку векторов P1 и P2. Она определяет коэффициенты полинома, который является частным от деления P1 на P2.

Пример:

»p1 = [1,2,3]; p2 = [1,2,3,4,5,6];

»p = conv(p1,p2)

В общем случае деление двух полиномов приводит к получению двух полиномов - полинома-результата (частного) и полинома-остатка. Чтобы получить оба этого полинома, следует оформить обращение к функции таким образом:

[Q,R] = deconv(B,A) .

Тогда результат будет выдан в виде вектора Q с остатком в виде вектора R таким образом, что будет выполненное соотношение

B = conv(A,Q) + R.

Система MatLAB имеет функцию roots(P), которая вычисляет вектор,

элементы которого являются корнями заданного полинома Р.

Пусть нужно найти корни полинома:

P(x) = x5 +8x4 +31x3 +80x2 +94x + 20 .

Ниже показано, как просто это сделать:

» p = [1,8,31,80,94,20];

» disp(roots(p))

-1.0000 + 3.0000i -1.0000 - 3.0000i -3.7321 -2. 0000 -0. 2679

Обратная операция - построение вектора р коэффициентов полинома по заданному вектору его корней - осуществляется функцией poly:

p = poly(r).

Здесь r - заданный вектор значений корней, p - вычисленный вектор коэффициентов полинома. Приведем пример:

» p = [1,8,31,80,94,20]

p = 1 8 31 80 94 20

» r = roots(p)

r=

-1.0000 + 3.0000i -1.0000 - 3.0000i -3.7321 -2. 0000 -0. 2679

» p1 = poly(r)

p1 =8. 0000 31. 0000 80. 0000 94. 0000 20. 0000

Заметим, что получаемый вектор не показывает старшего коэффициента, который по умолчанию полагается равным единице.

Эта же функция в случае, если аргументом ее является некоторая квадрат-

ная матрица А размером (n*n), строит вектор характеристического полинома этой матрицы. Обращение

p = poly(A)

формирует вектор p коэффициентов характеристического полинома p(s) = det(s*E - A) = p1*sn + ... + pn*s + pn+1,

где Е - обозначение единичной матрицы размером (n*n). Рассмотрим пример:

» A = [1 2 3; 5 6 0; -1 2 3]

» p = poly(A)

p=

1.0000 -10. 0000 20. 0000 -36. 0000

Для вычисления значения полинома по заданному значению его аргумен-

та в MatLAB предусмотрена функция polyval. Обращение к ней осуществляется по схеме:

y = polyval(p,x),

где p - заданный вектор коэффициентов полинома, а x - заданное значение аргумента. Пример:

» y = polyval(p,2) y = 936

Если в качестве аргумента полинома указана матрица Х, то функция polyval(p,X) вычисляет матрицу Y, каждый элемент которой является значением

указанного полинома при значении аргумента, равном соответствующему элементу матрицы Х, например:

p = 1 8 31 80 94 20

» X = [1 2 3; 0 -1 3; 2 2 -1]

X =

1 2 3

0 -1 3

22 -1

»disp(polyval(p,X))

В этом случае функция вычисляет значение полинома для каждого элемента матрицы Х, и поэтому размеры исходной и конечной матриц одинаковы size(Y) = size(X).

Вычисление производной от полинома осуществляется функцией polyder.

Эта функция создает вектор коэффициентов полинома, представляющего собой производную от заданного полинома. Она имеет три вида обращений:

dp = polyder(p) по заданному полиному р вычисляет вектор dp, элементы которого являются коэффициентами полинома-производной от заданного:

» dp = polyder(p)

dp = 5 32 93 160 94;

dp = polyder(p1,p2) вычисляет вектор dp, элементы которого являются коэффициентами полинома-производной от произведения двух полиномов р1 и р2:

»p1 = [1,8,31,80,94,20];

»p2 = [1,2,16];

»p = conv(p1,p2)

[q,p] = polyder(p1,p2) вычисляет производную от отношения (p1/p2) двух полиномов р1 и р2 и выдает результат в виде отношения (q/p) полиномов q и p:

»p1 = [1,8,31,80,94,20];

»p2 = [1,2,16];

»[q,p] = polyder(p1,p2)

» z = deconv (q,p) z = 3 12 3

» y = deconv(p1,p2) y = 1 6 3 -22

» z1 = polyder(y) z1 = 3 12 3.

1.4.2. Обработка данных измерений

Система MatLAB дает пользователю дополнительные возможности для обработки данных, которые заданы в векторной или матричной форме.

На примере этой зависимости рассмотрим основные средства для обработки данных.

Функция size(xydata) предназначена для определения числа строк и столбцов матрицы xydata. Она формирует вектор [n, p], содержащий эти величины:

>> size(xydata) ans =

2 5

Обращение к ней вида

>> [n, p] = size(xydata);

позволяет сохранить в памяти машины и использовать потом при дальнейших вычислениях данные о числе строк n и столбцов p этой матрицы:

>> n, p

С помощью этой функции можно установить длину и тип (строка или столбец) вектора:

» v = xydata(:)

v=

2.0000

5.5000

4.0000

6.3000

6.0000

6.8000

8.0000

8.0000

10.0000

8. 6000

» n = size(v) n = 10 1

» v1 = v'

v1 = 2. 0000 5. 5000 4. 0000 6. 3000 6. 0000 6. 8000 8. 0000 8. 0000 10. 0000 8. 6000

» size(v') ans = 1 10

Функция max(V), где V - некоторый вектор, выдает значение максимального элемента этого вектора. Аналогично, функция min(V) извлекает минимальный элемент вектора V. Функции mean(V) и std(V) определяют, соответственно, среднее значение и среднеквадратичное отклонение от него значений элементов вектора V.

Функция сортировки sort(V) формирует вектор, элементы которого расположены в порядке возрастания их значений.

Функция sum(V) вычисляет сумму элементов вектора V. Функция prod(V) выдает произведение всех элементов вектора V.

Функция cumsum(V) формирует вектор того же типа и размера, любой элемент которого является суммой всех предшествующих элементов вектора V (вектор кумулятивной суммы).

Функция cumprod(V) создает вектор, элементы которого являются произведением всех предшествующих элементов вектора V.

Функция diff(V) создает вектор, который имеет размер на единицу меньший размера вектора V, элементы которого являются разностью между соседними элементами вектора V.

Применение описанных функций проиллюстрировано ниже.

»v = [ 1, 0.1, 0.5, 0.1, 0.1,0.4 ];

»disp(size(v))

16

»disp(max(v))

1

»disp(min(v))

0.1000

»disp(mean(v))

0.3667

»disp(std(v))

0.3559

»disp(sort(v))

»disp(sum(v))

2.2000

»disp(prod(v))

2.0000e-004

»disp(cumsum(v))

» disp(cumprod(v))

Если указать второй выходной параметр, то можно получить дополнительную информацию об индексе первого элемента, значение которого является максимальным или минимальным:

>> [M,n]=max(v)

>> [N,m]=min(v)

Интегрирование методом трапеций осуществляет процедура trapz. Об-

ращение к ней вида trapz(x,y) приводит к вычислению площади под графиком функции y(x), в котором соседние точки, заданные векторами х і у, соединены отрезками прямых. Если первый вектор х не указан в обращении, по умолчанию допускается, что шаг интегрирования равняется единице (т. е. вектор х представляет собой вектор из номеров элементов вектора у).

Пример. Вычислим интеграл от функции y = sin(x) в диапазоне от 0 до π . Его точное значение равно 2. Возьмем равномерную сетку из 100 элементов. Тогда вычисления сведутся к совокупности операций:

»x = 0 : pi/100 : pi;

»y = sin(x);

»disp(trapz(x,y))

1.9998

Те же функции size, max, min, mean, std, sort, sum, prod, cumsum, cumprod, diff могут быть применены и к матрицам. Основным отличием использования в качестве аргументов этих функций именно матриц является то, что соответствующие описанные выше операции ведутся не по отношению к строкам матриц, а к каждому из столбцов заданной матрицы. Т. е. каждый столбец матрицы А рассматривается как переменная, а каждая строка - как отдельное наблюдение. Так, в результате применения функций max, min, mean, std получаются векторы-строки с количеством элементов, которое равняется количеству столбцов заданной матрицы. Каждый элемент содержит, соответственно, максимальные, минимальное, среднее или среднеквадратичное значения элементов соответствующего столбца заданной матрицы.

Приведем примеры. Пусть имеем 3 величины y1, y2 и y3, измеренные при некоторых пяти значениях аргумента (они не указаны). Тогда данные измерений образуют 3 вектора по 5 элементов:

>>y1 = [ 5.5 6.3 6.8 8 8.6];

>>y2 = [-1. 2 0.5 -0. 6 1 0.1];

>>y3 = [ 3.4 5.6 0 8.4 10.3] ; .

Сформируем из них матрицу измерений так, чтобы векторы y1, y2 и y3 образовывали столбцы этой матрицы:

» A = [ y1', y2', y3']

Применим к этой матрице измерений описанные функции. Получим

» size(A)

Если при обращении к функциям max и min указать второй выходной параметр, то он даст информацию о номерах строк, где находятся в соответствующем столбце первые элементы с максимальным (или минимальным) значе-

нием. Например:

>> [M,n]=max(A)

Функция sort сортирует элементы любого из столбцов матрицы. Результатом является матрица того же размера.

Функция sum и prod формируют вектор-строку, каждый элемент которого является суммой или произведением элементов соответствующего столбца исходной матрицы.

Функции cumsum, cumprod образуют матрицы того же размера, элементы каждого столбца которых являются суммой или произведением элементов этого же столбца начальной матрицы, начиная с соответствующего элемента и выше.

Наконец, функция diff создает из заданной матрицы размером (m*n) матрицу размером ((m-1)*n), элементы которой являются разностью между элементами соседних строк начальной матрицы.

Применяя эти процедуры к принятой матрице измерений, получим:

» sort(A)

» sum(A)

ans = 35. 2000 -0. 2000 27. 7000

» prod(A)

» cumsum(A)

» cumprod(A)

» diff(A)

Рассмотрим некоторые другие функции, предоставляемые пользователю системой MatLAB.

Функция cov(A) вычисляет матрицу ковариаций измерений. При этом получают квадратную симметричную матрицу с количеством строк и столбцов, рав-