umk-teoriya-mehanizmov

6.ДИНАМИКА МАШИН

Вразделе рассматриваем методики:

1.Исследования движения машин под действием приложенных сил.

2.Определения масс, при которых обеспечивается динамическая ус- тойчивость выполнения заданного машинного техпроцесса.

3.Определения реакций в кинематических парах и потерь на трение

вних, позволяющих спрогнозировать износ.

6.1.Исследование движения машинного агрегата

6.1.1.Силы, действующие в машинах

В машинах действуют внешние и внутренние силы. К ним относят:

1.Движущие силы.

2.Силы полезного сопротивления.

3.Силы вредного сопротивления.

4.Силы тяжести.

5.Силы упругости звеньев и пружин.

Движущие силы. Их основным источником является приводной дви- гатель. На тех или иных участках движения ими могут быть потенциаль- ные силы: веса, упругости, силы со стороны сжатого газа и т.п. Работа этих сил положительна. Силы полезного сопротивления – силы со стороны об- рабатываемых объектов, сопротивляющихся их изменениям инструмента- ми. Эти силы приложены к обрабатывающим инструментам. Машины предназначены для их преодоления. Работа этих сил отрицательна. Силы вредного сопротивления – в основном силы трения. Возникают в реальных кинематических парах, благодаря действию в них внутренних сил – реак- ций. Работа сил трения также является отрицательной. В кинематических парах реакции проявляются как действие и противодействие. В машинах с идеальными связями работа реакций равна нулю. Силы веса и упругости являются потенциальными силами, совершающими как положительную, так и отрицательную работу. На замкнутых траекториях работа этих сил также равна нулю.

6.1.2. Уравнения движения машин. Приведение масс

Для исследования движения главного вала машинного агрегата при- меняются дифференциальные уравнения движения механической системы. В случае агрегата со многими степенями свободы (например, манипулято-

91

ра) дифференциальные уравнения составляют в виде известных уравнений Лагранжа II рода. Составляют столько уравнений, сколько обобщенных координат имеет агрегат. Если машинный агрегат имеет одну степень сво- боды, а силы – функции перемещений, то наиболее рациональным аппара- том исследования является уравнение изменения кинетической энергии системы.

где ∑ А(е) – сумма работ внешних сил (движущих Aдв , полезных Ап.с. и

вредных Ав.с. сопротивлений, веса Ав и упругости Аупр. ).

Машина – сложная механическая система, в которой скорости точек подвижных звеньев имеют различные значения, однако при W = 1 они за- висят от обобщенной координаты, поэтому левую часть уравнения (6.1) преобразуют. Обозначив k – количество подвижных звеньев машины, и считая, что в общем случае каждое звено совершает плоскопараллельное движение, будем иметь:

где Vsi ,ωi – скорости центров масс и угловые скорости i-тых звеньев; mi , Jsi – массы и моменты инерции масс относительно центров масс.

представляет собой обобщенную инертность машинного агрегата в функции обобщенной координаты q . Величина A(q) имеет размерность, зависящую от выбора q : если q – угол, то qɺ – угловая скорость, а A(q) имеет размер-

ность момента инерции ( кг × м2 ). В этом случае A(q) называют приведен-

ным к обобщенной координате ϕ моментом инерции Jпр(ϕ) . Если q – ли-

нейное перемещение, то qɺ – линейная скорость, A(q) имеет размерность

92

Рис. 6.1. Динамическая схема кривошипно-ползунного механизма

Для трех подвижных звеньев записываем сумму трех похожих друг

кривошипа ОА и ползуна В можно существенно упростить. Окончательно получаем:

то выражение обобщенной инертности по формуле (6.3) может оказаться

весьма сложным из-за сложности передаточных функций VSi и ωi . Вы- qɺ qɺ

числение A(q) можно упростить, осуществив приведение масс предвари-

тельно в каждом из n механизмов, которые составляют машину, а затем

93

переприведя их к обобщенной координате машины. В самом деле, пред- ставив кинетическую энергию машины как:

где Ti – кинетическая энергия звеньев i-того механизма, вычисляемая по

(6.2), обобщенную координату машины обозначив через q, а i-того меха- низма через qi, из (6.4) получаем [19]:

Т.о., если имеется машинный агрегат, включающий, например, дви- гатель (Дв) (рис. 6.2), планетарную передачу (Пл), открытую ступень зуб- чатых колес (Ст), рычажный механизм (Р.М.) с закрепленным на нем ра- бочим органом (Р.О.), динамические характеристики которого известны,

Рис. 6.2. Динамическая схема машинного агрегата

то для него момент инерции всех масс, приведенный к кривошипу рычаж- ного механизма (главному валу с обобщенной координатой ϕ ) будет:

Jϕ = Jϕ.дв. + Jϕ.пл. + Jϕ.ст. + Jϕ. р.м. + Jϕ. р.о. ,

веденных к его оси вращения, масс планетарного механизма, включая ве- дущее колесо открытой передачи, приведенных к оси вращения водила Н и масс рычажного механизма, включая ведомое зубчатое колесо открытой

94

Уравнение (6.6) представляет форму интеграла энергии, им пользу- ются, когда силы зависят от положения механизма. При запусках машин на их звенья действуют лишь движущие силы, зависящие от угловой скоро- сти, силы полезного сопротивления отключают, а потенциальными пре- небрегают. В этих случаях удобнее пользоваться дифференциальным уравнением движения машины, которое получают из уравнения кинетиче- ской энергии в дифференциальной форме:

теристики двигателя (рис. 2.2) в период запуска, а Uдв−г.в. – передаточное отношение от двигателя к главному валу, имеем в соответствии с уравне-

нием (6.7):

d (Jnр × w22) = M г.в.dj,

отсюда после дифференцирования по углу поворота φ получаем диффе- ренциальное уравнение движения машины:

здесь e = dw – угловое ускорение главного вала. dt

6.1.3. Аналитический метод исследования движения главного вала. Расшифровка тахограмм

Если движение изучать от его начала (нажатие пусковой кнопки), то w0 = 0 . Тогда из (6.8) получим:

e j = Мпуск ×Uдв− гв.

0 ( ) Jп(j0 ) ,

где Мпуск – пусковой момент двигателя.

При достаточно малых приращениях времени t для вычисления ω1 и φ1, т.е. следующей точки функции φ(t) применяют [10] формулы равно-

ускоренного либо равнозамедленного движения: w1 = e0 (j) × Dt;

j1 = j0 + 0,5e0 (j) × (Dt)2.

95

Подставляя в (1), получают:

Достигнув положения, когда величина ωi изменяется незначительно, в рассмотрение вводят силы полезного сопротивления, а момент двигателя приравнивают к номинальному Mд = Mnom. Расчет ведут при помощи

уравнения (6.6), в котором:

Адв = MnomΔϕ; Aп.с. = ∑∫Fn.c.i dSi ,

где Si – перемещения инструмента, а Fn.c.i – силы производственных со-

противлений с учетом обнуления ∑ A(е) в каждом кинематическом цикле.

Последовательно получают:

результаты заносят в таблицу 6.1.

По окончании процесса обработки изделия машину выключают, стано- вится Адв = 0, Ап.с. = 0, включают тормоза, и в формулу (6.9) подставляют:

∑ Ае = Атр = ∑МтрΔϕ.

Расчет ведут, пока станет ωi = 0 – выбег окончен.

96

По результатам расчетов можно построить график ω = ω(ϕ) –

тахограмму вращения главного вала машины (рис. 6.3).

ωср ωmin ωmax

t

Рис. 6.3. Тахограмма движения главного вала машины

На тахограмме в общем случае можно выделить 3 стадии движения машины: разбег, установившееся движение, выбег.

1. Разбег. Как указывалось, при этом T0 = 0 . Кроме того: Aпс = 0 , и ± Ag ± Aупр ≈ 0 (можно пренебречь)

Тогда:

Aдв = T + Aвс .

Т.е. при разбеге работа двигателя затрачивается на преодоление сил вредного сопротивления и на создание запаса кинетической энергии дви- жущихся звеньях.

2. Установившееся движение. Оно характеризуется периодическим изменением обобщенной скорости относительно некоторого постоянного (среднего) значения.

ωср = 0,5(ωmax + ωmin ).

В начале и в конце цикла установившегося движения обобщенная скорость и положения звеньев одинаковы. При этом и кинетическая энер- гия машины также одинакова (Т = Т0 ) .

За цикл силы упругости и тяжести совершают работу, равную нулю Ав = Аупр = 0 . Тогда за один полный цикл установившегося движения из

(6.1) получим:

0 = Aдв − Aпс − Aвс ,

97

т.е.

Таким образом, при установившемся движении работа двигателя расходуется на преодоление сил полезного и вредного сопротивлений.

Если уравнение (6.10) разделить на Aдв , то будем иметь:

1 = Aпс / Aдв + Aвс / Aдв ,

где ( Aпс / Aдв ) = η – цикловой кпд, а ( Aвс / Aдв ) = ψ – цикловой коэффициент потерь.

Величина η < 1, а η = 0 у машин на холостом ходу, когда Ап.с. = 0 .

Если Aвс > Aдв , т.е. силы вредного сопротивления больше движущих сил, то ψ > 1. При этом движение невозможно, т.к. η < 0 .

3. Выбег. Отключают двигатель, отключают полезную нагрузку. В конце стадии выбега Т = 0. Тогда:

Aдв = 0 , Т = 0, Aпс = 0

и уравнение (6.1) имеет вид:

−T0 = − Aвс ± Ag ± Aупр .

Если пренебречь двумя последними слагаемыми, то T0 = Aвс : энергия,

запасенная машиной при разбеге, расходуется на потери в тормозных уст- ройствах. Экономичная форма тормозных устройств – рекуператор – устрой- ство для возвращения запасенной энергии в питающую сеть (для ее повтор- ного использования, например, в трамвае), для последующего разбега (махо- вик), для обогрева помещения (обогреватель) и т.п.

6.1.4. Определение закона движения главного вала при помощи диаграммы энергомасс

Диаграмма энергомасс – кривая движения машины в осях Т (кинети- ческая энергия) Jпр (приведенный момент инерции) ее звеньев. Для каж-

дого момента движения машины по формулам (6.1) и (6.5) можно опреде- лить Т и Jпр , а, следовательно, построить диаграмму энергомасс (рис. 6.4).

Для некоторого i-того положения машины из выражения кинетиче- ской энергии ее звеньев имеем:

98

клона луча, проведенного из начала О диаграммы к i-той точке на диа- грамме.

Т

ψi

Диаграмма энергомасс позволяет легко и просто определить экстре- мальные значения угловой скорости ωmax и ωmin : они соответствуют уг-

лам наклона касательных к диаграмме ψmax и ψmin , проведенным из нача- ла координат (на рис. 6.4 ψmin = 0 ).

6.2. Регулирование движения машинного агрегата. Постановка задачи и ее решение

Чтобы обеспечить динамическую устойчивость выполнения задан- ной технологии и, следовательно, обеспечить требуемое качество выпус- каемой продукции, предохранить электропривод от возможных перегру- зок, предотвратить перегревание его обмоток, тем самым повысив кпд, не- обходимо создать запас кинетической энергии в звеньях, который обеспе-

99

чит приводному двигателю успешное преодоление пиковых нагрузок, и удержат его угловую скорость в пределах устойчивой ветви механической характеристики.

При тех же скоростных режимах машины необходимый запас можно создать за счет инертности звеньев и передаточных функций, т.е. соответ- ствующим подбором приведенного момента инерции маховых масс.

При динамическом синтезе машин колебания угловой скорости главного вала ограничивают коэффициентом неравномерности δ , который выбирают из таблиц в зависимости от вида машины и выполняемого ею технологического процесса. По определению:

d = wmax - wmin , (6.13)

wcp

где

причем nг.в – частота вращения главного вала машины (мин-1).

Величина δ в зависимости от типа машины и выполняемого техно- логического процесса регламентируется: δ = 0,1 ÷ 0,01 [3].

В отрегулированном машинном агрегате диаграмма энергомасс в цикле установившегося движения должна размещаться в створе касатель- ных, проведенных из ее начала под углами ψmax и ψmin ; углы должны со-

ответствовать выбранному коэффициенту δ и заданной производительно- сти (nг.в. – см. соотношение 1.1). Выражая из системы уравнений (6.13) ве- личины ωmax и ωmin , подставляя их в формулу (6.12) и пренебрегая малой

Чтобы построить «петлю» Виттенбауэра (диаграмма энергомасс за один полный цикл установившегося движения) представим приведенный момент инерции звеньев машины Jпр.i как:

Jпр.i. = Jпр.i + Jпр.о,

а кинетическую энергию Тi как:

Тi = Ti + T0 ,

где i – номер положения машины в цикле установившегося движения;

100