янная.

Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений также называют методом вариации произвольной постоянной. Первый шаг данного метода состоит в решении соответствующего однородного уравнения

y P(x) y 0 ,

общее решение которого имеет вид:

y C1e P(x)dx .

Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную C1 некоторой функ-

цией, зависящей от x .

Тогда по правилам дифференцирования произведения функций полу-

чаем:

y dy dC1(x) e P(x)dx C1(x)e P(x)dx ( P(x)); dx dx

Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение

dC1(x) e P(x)dx C1(x)P(x)e P(x)dx P(x)C1(x)e P(x)dx Q(x) ; dx

dC1(x) e P(x)dx Q(x). dx

Из этого уравнения определим функцию C1(x) :

dC1(x) Q(x)e P(x)dxdx;

Интегрируя, получаем:

C1 Q(x)e P(x)dxdx C;

Подставляя это значение в исходное уравнение:

y e P(x)dx Q(x)e P(x)dxdx C .

28

Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий с результатом решения уравнения по методу Бернулли.

Уравнением Бернулли называется уравнение вида y P(x) y Q(x) yn ,

где n – число, не равное 0 и 1.

Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку z y1 n , с

помощью которой уравнение Бернулли приводится к линейному относительно z :

z (1 n)P(x) z (1 n)Q(x) .

Решив полученное уравнение одним из описанных выше методов, найдём z z(x, C) , а затем и y z1(1 n) . Однако уравнение Бернулли, как и ли-

нейное, можно решить подстановкой Бернулли y u(x) v(x) .

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде

F(x, y, y , y ) 0

или, если это возможно, в виде, разрешённом относительно старшей производной

C1 и C2 - произвольные постоянные, удовлетворяющая следующим условиям:

1) y (x, C1,C2 ) является решением ДУ при любых значениях C1 и

C2 ;

2) при заданных начальных условиях

29

Решения ДУ, записанные в виде (x, y, C1,C2 ) 0 и (x, y, C10 ,C20 ) 0 называются соответственно, общим и частным интегралом соответственно.

Как и в случае уравнения первого порядка задача нахождения частного решения ДУ, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется

задачей Коши.

Теорема Коши (теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения 2- го порядка).

ловиям (12.10).

Аналогичные понятия и определения имеют место для дифференци-

ального уравнения n – го порядка, которое записывается в виде:

y (x, C1, C2 ,...,Cn ) , содержащая n произвольных постоянных.

Уравнения, допускающие понижение порядка

1. Уравнения вида y(n) f (x) .

Если f (x) – функция непрерывная на некотором промежутке a,b , то решение может быть найдено последовательным интегрированием.

y(n 1) f (x)dx C1;

y(n 2) f (x)dx C1 dx C2 dx f (x)dx C1x C2;

…………………………………………………………….

Пример 5. Решить уравнение y e2x с начальными условиями

30

2. Уравнения, не содержащие явно искомой функции

Произведя обратную замену, получаем:

y C1x; y C1xdx C21 x2 C2.

31

Порядок таких уравнений может быть понижен с помощью замены y p( y). Тогда

y dy dy dy dp p; dx dy dx dy

Подставляем эти значения в исходное дифференциальное уравнение:

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка называется уравнение первой степени относительно функции у и ее производных y , y ,..., y(n) :

y(n) p1y(n 1) p2 y(n 2) ... pn 1y pn y f (x) ,

где p1, p2 , ..., pn – функции, зависящие от х или постоянные величины. Левую часть этого уравнения обозначим L( y) :

32

стоянные числа, то уравнение L( y) f (x) называется линейным дифферен-

циальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами.

вается линейным дифференциальным оператором.

Линейный дифференциальный оператор обладает следующими свойст-

вами: 1) L(Cy) CL( y);

2) L( y1 y2 ) L( y1) L( y2 );

Решения линейного однородного уравнения (12.14) обладают следующими свойствами:

1)Если функция y является решением уравнения, то функция Cy , где

С– постоянное число, также является его решением.

2)Если функции y1 и y2 являются решениями уравнения, то y1 y2 также является его решением.

Фундаментальной системой решений линейного однородного диффе-

ренциального уравнения n –го порядка на интервале (a,b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения.

то этот определитель называется определителем Вронского.

Теорема. Если функции y1, y2 ,..., yn линейно зависимы, то составленный из них определитель Вронского равен нулю.

Теорема. Если функции y1, y2 ,..., yn линейно независимы, то составлен-

ный из них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке интервала (a,b) .

33

Теорема. Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения y1, y2 ,..., yn была фундаментальной, необхо-

димо и достаточно, чтобы составленный из них определитель Вронского был

не равен нулю.

Теорема. Если y1, y2 ,..., yn - фундаментальная система решений на интервале (a,b) , то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений

y C1y1 C2 y2 ... Cn yn ,

где C1,C2 ,...,Cn – произвольные постоянные.

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

ренциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы

L(ekx ) 0; т.е. ekx F(k) 0.

Так как ekx 0 , то F(k) 0 - это уравнение называется характеристи-

ческим уравнением.

Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое уравнение kn a1kn 1 ... an 0 имеет n корней. Каждому корню характеристического уравнения ki соответствует решение дифференциального урав-

нения. Характеристическое уравнение может иметь либо n различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные.

Сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

34

1)Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.

2)Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:

a)каждому действительному корню соответствует решение ekx ;

б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m решений:

ekx ; xekx ; ... xm 1ekx.

в) каждой паре комплексно – сопряженных корней i характеристического уравнение ставится в соответствие два решения:

e x cos x и e x sin x .

г) каждой паре m – кратных комплексно – сопряженных корнейi характеристического уравнения ставится в соответствие 2m решений:

3) Составляем линейную комбинацию найденных решений.

Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Дискриминант отрицательный, следовательно, уравнение имеет комплексные

Пример 11. Решить уравнение yIV y 0.

Решение. Составим характеристическое уравнение: k4 1 0. Разложим левую часть уравнения на множители и найдём его корни

35