Modelirovanie_EHkscel1kurs

Тема №3

ПОНЯТИЕ О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ. МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭЛЕКТРОННОЙ ТАБЛИЦЕ EXCEL

Цели работы

1.Получить представление о моделях и моделировании.

2.Научиться использовать электронные таблицы для автоматизации расчетов и подбора входных параметров, определяющих конечный заданный результат.

I.Контрольные вопросы

1.Что такое модель?

2.Приведите примеры биологической модели.

3.Какая модель способна выполнять функцию управления?

4.В чем заключается корректировка модели?

5.Приведите примеры физической модели.

6.К каким типам моделей относятся рисунки, графики, схемы, таблицы?

7.Что такое компьютерная модель?

8.Что такое материальная модель?

9.Что такое тестирование модели?

10.Перечислите этапы моделирования?

II. Теоретическая часть

1. Понятие модели

Метод моделирования – это способ познания действительности, состоящий в отображении или воспроизведении явления при помощи системы, искусственно построенной человеком. Наиболее общим считают определение В.А. Штоффа: "Под моделью понимается такая мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает нам новую информацию об этом объекте". При помощи модели исследователь вычленяет из общей действительности ту область, которая является предметом изучения. Ю.К. Бабанский отмечал, что "моделирование помогает систематизировать знания об изучаемом явлении или процессе, подсказывает пути их более целостного описания, намечает более полные связи между компонентами, открывает возможности для создания более целостных классификаций и т.п. Благодаря моделированию обнаруживаются "белые пятна" в анализе связей внутреннего и внешнего характера, а это ведет к более глубокому раскрытию сущности изучаемых явлений.

Модель − это некоторое упрощенное подобие реального объекта, явления или процесса.

Модель − это такой материальный или мысленно представляемый объект, который замещает объект-оригинал с целью его исследования, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные черты и свойства оригинала.

Хорошо построенная модель, как правило, доступнее для исследования, чем

26

реальный объект (например, такой, как экономика страны, Солнечная система и т.п.). Другое, не менее важное назначение модели состоит в том, что с ее помощью выявляются наиболее существенные факторы, формирующие те или иные свойства объекта. Модель также позволяет учиться управлять объектом, что важно в тех случаях, когда экспериментировать с объектом бывает неудобно, трудно или невозможно (например, когда эксперимент имеет большую продолжительность или когда существует риск привести объект в нежелательное или необратимое состояние).

Таким образом, можно сделать вывод, что модель необходима для того, чтобы:

•понять, как устроен конкретный объект − каковы его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром;

•научиться управлять объектом или процессом и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (оптимизация);

•прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект, процесс.

Структура − это определенный способ объединения элементов, составляющих единый сложный объект.

Система − это сложный объект, представляющий собой совокупность взаимосвязанных элементов, объединенных в некоторую структуру.

2. Классификации моделей

Классификация по области использования

Н.В.Макаровой предложена следующая классификация моделей.

Рис. 1

Учебные: наглядные пособия, различные тренажеры, обучающие программы. Опытные: уменьшенные или увеличенные копии исследуемого объекта для дальнейшего его изучения (модели корабля, автомобиля, самолета, гидростанции). Научно-технические модели создают для исследования процессов и явлений

(стенд для проверки телевизоров; синхротрон – ускоритель электронов и др.). Игровые: военные, экономические, спортивные, деловые игры. Имитационные: отражают реальность с той или иной степенью точности (ис-

пытание нового лекарственного средства в ряде опытах на мышах; эксперименты по внедрению в производство новой технологии).

Классификация с учетом фактора времени

27

Рис. 2

Статическая модель − модель объекта в данный момент времени. Динамическая модель позволяет увидеть изменения объекта во времени.

Классификация по способу представления

Рис. 3

Материальная модель − это физическое подобие объекта. Они воспроизводят геометрические и физические свойства оригинала (чучела птиц, муляжи животных, внутренних органов человеческого организма, географические и исторические карты, схема солнечной системы).

Информационная модель − это совокупность информации, характеризующая свойства и состояния объекта, процесса, явления, а также взаимосвязь с внешним миром.

Любая информационная модель содержит лишь существенные сведения об объекте с учетом той цели, для которой она создается. Информационные модели одного и того же объекта, предназначенные для разных целей, могут быть совершенно разными.

Вербальная модель − информационная модель в мысленной или разговорной форме.

Знаковая модель − информационная модель, выраженная специальными знаками, т.е. средствами любого формального языка. Знаковые модели − это рисунки, тексты, графики, схемы, таблицы.

Компьютерная модель − модель, реализованная средствами программной сре-

ды.

Прежде чем построить модель объекта (явления, процесса), необходимо выделить составляющие его элементы и связи между ними (провести системный анализ) и “перевести” полученную структуру в какую-либо заранее определенную форму −

28

формализовать информацию.

Формализация − это процесс выделения и перевода внутренней структуры предмета, явления или процесса в определенную информационную структуру − форму.

Процесс построения модели называется моделированием.

Использование компьютерной техники в моделировании позволило выйти на качественно более высокий уровень в использовании моделей, в том числе и в образовании. "Всякий изучаемый нами объект (например, некая профессиональная деятельность) допускает вычленение своего формализуемого компонента, который можно адекватно описать в системно-информационных терминах и, следовательно, моделировать на компьютере.

3. Этапы построения компьютерных моделей

Основные этапы моделирования

Постановка задачи

Под задачей в самом общем смысле этого слова понимается некая проблема, которую надо решить. На этапе постановки задачи необходимо отразить три основ-

ных момента: описание задачи, определение целей моделирования и анализ объекта или процесса

Описание задачи

По характеру постановки все задачи можно разделить на две основные группы: первая группа - как изменятся характеристики объекта или процесса, при некотором воздействии на него (задачи типа что будет, если...) и вторая группа – какое воздействие нужно произвести, чтобы произвести изменение характеристик объекта или процесса до определенных значений (как сделать, чтобы...).

Цель моделирования

Познание окружающего мира, создание объектов с заданными свойствами, определение последствий воздействия на объект, эффективность управления объектом или процессом.

Анализ объекта

Результат анализа объекта появляется в процессе выявления его составляющих (элементарных объектов) и связей между ними.

29

Разработка модели

Информационная модель Выбор наиболее существенной информации при создании информационной

модели и ее сложность обусловлены целью моделирования. Построение информаци-

онной модели является отправным пунктом разработки модели. Все входные параметры объектов, выделенные при анализе, располагают в порядке убывания значимости и проводят упрощение модели в соответствии с целью моделирования. При этом отбрасываются факторы, несущественные с точки зрения того, кто определяет модель. Если отбросить существенные факторы, то модель может оказаться неверной. Все элементарные объекты, выделенные при анализе, должны быть показаны во взаимосвязи. В информационной модели отображаются только бесспорные связи и очевидные действия. Такая модель дает первичную идею, определяющую дальнейший ход моделирования.

Знаковая модель

Информационная модель, как правило, представляется в той или иной знаковой форме, которая может быть компьютерной или некомпьютерной.

Компьютерная модель Компьютерная модель – модель, реализованная средствами программной сре-

ды. При моделировании на компьютере необходимо иметь представление о классах программных средств, их назначении, инструментарии и приемах работы. Тогда легко можно преобразовать информационную знаковую модель в компьютерную и провести соответствующий эксперимент между ними.

В современных условиях компьютерная модель не сводится просто к математической модели, реализованной на компьютере. По мнению В.В.Лаптева: ”Компьютерная модель – это программная среда для вычислительного эксперимента, объединяющая в себе на основе математической модели явления или процесса средства интерактивного взаимодействия с объектом эксперимента и развитые средства отображения информации”. С развитием компьютерной техники и расширением возможностей самого компьютера понятие компьютерной модели неизбежно изменяется. Устоявшегося определения компьютерной модели пока еще нет, этому понятию наиболее близким можно считать следующее: "Под компьютерной моделью физического процесса или явления понимается созданный за счет ресурсов компьютера виртуальный образ, качественно и количественно отражающий свойства и внутренние связи моделируемого объекта, а в лучшем случае передающий и его внешние характеристики (облик, звучание и т.д.)". При этом подчеркивается, что "создание компьютерной модели предполагает предварительное проведение физического и математического моделирования".

Компьютерный эксперимент

План моделирования

С развитием вычислительной техники появился новый уникальный метод ис-

30

следования – компьютерный эксперимент. В помощь, а иногда и на смену экспериментальным образцам и испытательным стендам во многих случаях пришли компьютерные исследования моделей. Этап проведения компьютерного эксперимента включает две стадии: составление плана моделирования и технологию моделирования. План моделирования должен четко отражать последовательность работы с моделью. Первым пунктом плана часто является разработка теста, а вторым – тестиро-

вание модели. Тестирование – проверка правильности модели. Тест – набор исходных данных, для которых заранее известен результат.

Технология моделирования

После тестирования, когда есть уверенность в правильности функционирования модели, можно переходить непосредственно к технологии моделирования. Тех-

нология моделирования – совокупность целенаправленных действий пользователя над компьютерной моделью. Каждый эксперимент должен сопровождаться осмыслением результатов моделирования, которые станут основой анализа результатов моделирования.

Анализ результатов моделирования

Конечная цель моделирования – принятие решения, которое должно быть выработано на основе всестороннего анализа полученных результатов. Этот этап решающий – либо вы продолжаете исследования, либо заканчиваете. Если известен результат, то можно сравнить его с полученным результатом моделирования. Полученные выводы часто способствуют проведению дополнительной серии экспериментов, а иногда и к изменению модели. Основой для выработки решения служат результаты тестирования и экспериментов. Если результаты не соответствуют целям моделирования, значит, допущены ошибки на предыдущих этапах.

Общая схема процесса решения задачи методом математического моделиро-

вания

Выделение существенных свойств объекта – ранжирование – разделение входных параметров по степени важности их влияния на выходные. Отбрасывание (по крайней мере, при первом подходе) менее значимых факторов огрубляет объект моделирования и способствует пониманию его главных свойств и закономерностей.

Поиск математического описания – переход от абстрактной формулировки модели к формулировке, имеющей конкретное математическое наполнение.

Метод исследования – если выбранный метод использует компьютер, то подбирают уже имеющуюся программу или разрабатывается новая программа.

Проведение исследования – сначала тестирование, а затем собственно численный эксперимент.

Анализ результатов. Выясняется соответствует ли модель реальному объекту или процессу. Модель адекватна реальному процессу, если изучаемые характеристики процесса, полученные в ходе моделирования, совпадают с экспериментальными, с заданной степенью точности. В случае несоответствия модели реальному процессу возвращаемся к одному из предыдущих этапов.

4. Моделирование в электронных таблицах

31

Громадные возможности для моделирования несет в себе среда электронной таблицы (табличного процессора). Тому есть несколько причин. Во-первых, электронная таблица (ЭТ) – это одна из самых распространенных программных сред общего назначения и владение технологией работы в ней является одним из показателей информационной культуры человека. Во-вторых, существует большое разнообразие задач, которые достаточно просто решать в этой среде. В-третьих, технология работы в ЭТ проста и результаты моделирования появляются практически мгновенно.

Моделирование в ЭТ проводится по общей схеме, включающей этапы: постановка задачи, разработка модели, компьютерный эксперимент, анализ результатов моделирования.

Рассмотрим особенности проведения моделирования в ЭТ по каждому этапу.

I ЭТАП. Постановка задачи

Описание задачи

По характеру постановки задачи все многообразие математических моделей можно разделить на две основные группы " что будет, если... " и "как сделать, чтобы...". Например, задача с формулировкой "что будет, если...": рассчитать характеристики модели при изменении исходных данных в заданном диапазоне с некоторым шагом. Такие расчеты позволяют проследить зависимость расчетных параметров модели от исходных данных. Подобную зависимость часто оформляют в виде графиков и диаграмм.

Другая группа задач часто называется "как сделать, чтобы...". Какое количество реактивного топлива надо загрузить в космическую ракету, чтобы вывести ее на орбиту с первой космической скоростью? Для расчета этой задачи используются сложные математические формулы реактивного движения.

Большинство задач моделирования, как правило, комплексные. В них на основе математических формул сначала строится модель расчета для одного набора исходных данных. Затем строятся расчетные таблицы по аналогичным формулам с изменением исходных данных в некотором диапазоне. По таблицам проводится анализ зависимости параметров модели от исходных данных. И, в результате анализа, производится подбор исходных данных с тем, чтобы модель удовлетворяла некоторым проектируемым свойствам.

Цель моделирования

Цели моделирования определяются расчетными параметрами модели. Чаще всего это поиск ответа на вопрос, поставленный в формулировке задачи.

Далее переходят к описанию объекта или процесса. На этой стадии выявляются факторы, от которых зависит поведение модели. По, сути, это входные параметры. Их может быть довольно много, причем некоторые невозможно описать количественными соотношениями. При моделировании в электронных таблицах учитывать можно только те параметры, которые имеют количественные характеристики. Иногда задача может быть уже сформулирована в упрощенном виде, и в ней четко поставлены цели и определены параметры модели, которые надо учесть.

32

Анализ объекта

После описания задачи и определения цели исследования вы оказываетесь в положении человека, который хорошо понимает, что он хочет получить. Далее необходимо приступить к анализу объекта. Здесь следует задать себе несколько вопросов и попытаться ответить на них.

1 вопрос. Исследуемый объект или процесс надо рассматривать как единое целое или как систему из более простых объектов?

Если это единое целое, то можно перейти к построению информационной модели. Если система - надо перейти к анализу объектов, ее составляющих.

2 вопрос. Из каких простых объектов состоит исследуемый объект, если он рассматривается как система, и какие между его составляющими существуют связи?

Как только представите себе систему, состоящую из простых объектов, и определите их связи, можно приступить к разработке информационной модели.

II ЭТАП. Разработка модели

Информационная модель

По результатам анализа объекта составляется информационная модель. Напомним, что это не что иное, как совокупность сведений об объекте. В ней детально описываются все свойства объекта, их параметры, действия и взаимосвязи. Все входные параметры располагаются в порядке убывания значимости, и проводится упрощение информационной модели. Во многих исследованиях проводится прием, когда сначала строится модель для упрощенного объекта с минимальным набором входных параметров, с постепенным уточнением путем введения некоторых из отброшенных ранее характеристик.

Математическая модель

Далее информационная модель должна быть выражена в одной из знаковых форм. Учитывая, что мы ограничили себя средой ЭТ, предназначенной для автоматизации вычислений, то информационную модель необходимо преобразовать в математическую. Составление такой модели заключается в выводе математических формул, связывающих ее параметры, по которым в дальнейшем будет производиться расчет.

Компьютерная модель

На основе информационной и математической моделей составляется компьютерная модель. Она непосредственно связана с прикладной программой, с помощью которой производится моделирование. При разработке компьютерной модели в форме таблиц надо четко выделить три основные области данных: исходные данные, промежуточные расчеты, результаты. Исходные данные вводятся "вручную". Расчеты, как промежуточные, так и окончательные, проводятся по формулам, составленным на основе математической модели и записанным по правилам ЭТ. В формулах используются абсолютные и относительные ссылки на исходные и промежуточные данные.

33

III ЭТАП. Компьютерный эксперимент

После составления компьютерной модели проводится тестирование по заранее составленной задаче. В ней всегда известны значения выходных параметров, которые определяются вручную. Очень важно предусмотреть в тесте все возможные варианты получения результатов.

Затем надо продумать план проведения экспериментов при моделировании. В нем должны найти отражение все интересующие вас вопросы.

IV ЭТАП. Анализ результатов моделирования

Заключительный этап моделирования - анализ модели. По полученным расчетным данным проверяется, насколько расчеты отвечают нашему представлению и целям моделирования. И тут очень важно, чтобы исследователь умел увидеть реальный объект или процесс в числах. На этом этапе определяются рекомендации по совершенствованию принятой модели и, если возможно, объекта или процесса.

III.Практическая часть

Моделирование в электронной таблице Excel

1. Моделирование скорости распространения пульсовой волны

Скорость распространения пульсовой волны (СРПВ) V является клиникофизиологическим показателем, по которому оценивают состояние сосудистой стенки. Известна математическая модель расчета СРПВ, в которой в качестве входных параметров используют значения модуля упругости сосудистой стенки E, плотности вещества стенки ρ, толщины стенки h и диаметра сосуда d.

Для расчета СРПВ произведите следующие действия.

А. Запустите программу Excel (Пуск – Программы - Microsoft Office - Microsoft Excel).

Б. Заполните электронную таблицу: в ячейки А1 – А3 введите ФИО пациентов; в ячейки В1, С1, D1, E1, F1 введите обозначения E, h, ρ, d и V. Далее в ячейки В2, С2, D2, E2 введите соответствующие значения входных параметров пациента Иванова из таблицы:

В. В ячейку F2 введите формулу. Для этого с помощью мастера функций выберите функцию Корень. В строке формул появится запись =КОРЕНЬ(). В скобках

34

введите подкоренное выражение (B2*C2)/(D2*E2). Нажмите Enter. Произойдет автоматический расчет СРПВ по введенной формуле.

Г. Ниже с помощью автозаполнения рассчитайте СРПВ пациентов Воронова и Сомовой.

Д. Для проверки работоспособности полученной математической модели сравните расчетные значения с эмпирическими данными, полученными при функциональном исследовании ЭКГ-сфигмографическим методом. Нормальные значения СРПВ, измеренные данным методом, равны 5-10 м/с.

Е. Смоделируйте, чему должна равняться плотность сосудистой стенки у пациентки Сомовой, чтобы ее СРПВ была равна 7,5 м/с. Для этого подберите необходимое значение плотности стенки сосуда.

2. Моделирование распределения фонда заработной платы больницы

Использование Excel для моделирования процессов облегчает решение задачи, в которой много учитываемых факторов. Рассмотрим это на примере распределения фонда заработной платы больницы, когда заведующему хозрасчетной больницей нужно определить, сколько сотрудников, на каких должностях и с каким окладом он должен принять на работу.

Пусть общий месячный фонд заработной платы составляет 500000 рублей. Заведующему известно, что для нормальной работы больницы нужно 5-7 санитарок, 8- 10 медсестер, 10-12 врачей, 1 заведующий аптекой, 3 заведующих отделениями, 1 главный врач, 1 заведующий хозяйством, 1 заведующий больницей. На некоторых должностях число людей может меняться. Например, руководитель может принять решение о сокращении числа санитарок, чтобы увеличить оклад каждой из них.

Пусть за основу берется оклад санитарки С (минимальная зарплата), а все остальные вычисляются, исходя из него, с использованием двух коэффициентов: А - во столько-то раз и В - на столько-то рублей больше. Таким образом, оклад каждого сотрудника К является линейной функцией от оклада санитарки: К=АС+В. Где С - оклад санитарки, А и В – коэффициенты, которые для каждой должности определятся решением совета трудового коллектива.

Допустим, совет решил использовать следующие коэффициенты:

-санитарка – минимальная зарплата (А=1; В=0);

-медсестра должна получать в 1,5 раза больше санитарки (А=1,5; В=0);

-врач в три раза больше санитарки (А=3; В=0);

-заведующий отделением на 1000 рублей больше, чем врач (А=3; В=1000);

-заведующий аптекой в два раза больше санитарки (А=2; В=0);

-заведующий хозяйством на 1500 рублей больше медсестры (А=1,5; В=1500);

-главный врач в 4 раза больше санитарки (А=4; В=0);

-заведующий больницей на 1000 рублей больше главного врача (А=4; В=1000). Задав количество человек в каждой должности, можно составить уравнение:

N1(A1C+B1)+N2(A2C+B2)+N3(A3C+B3)+……..= 500000,

где N1…N8 – число сотрудников каждой должности.

Вэтом уравнении нам известны коэффициенты для каждого сотрудника А и

В, но неизвестны C, а также N1…N8, которые нужно найти путем подбора так, чтобы общая сумма равнялась заданной - 500000 рублей.

35