Модуль 8. Математическая обработка и формы представления результатов измерений

В ходе решения различных измерительных задач часто встречается необходимость математической обработки результатов измерений. В литературных источниках описание математической обработки результатов измерений часто сведено к статистической обработке некоторых абстрактных данных, свободных от систематической составляющей, что фактически отражает только одну сторону проблемы.

Анализ математической обработки результатов измерений позволяет выделить следующие типовые задачи:

• обработка результатов прямых многократных измерений одной и той же физической величины (серии измерений);

• расчет результатов косвенных измерений физической величины, в том числе при многократных прямых измерениях каждой из величин, входящих в формулу для расчета результатов косвенных измерений;

• обработка результатов измерений массива номинально одинаковых величин;

• обработка результатов измерений разных величин или изменяющейся физической величины.

Третий и четвертый случаи выходят за рамки чистой метрологии, поскольку относятся к более широкому классу задач, решаемых в ходе проведения экспериментальных исследований.

В метрологии для повышения достоверности и представительности результатов достаточно часто прибегают к многократным повторениям операции измерений одной и той же физической величины. При этом каждый единичный результат называют наблюдением при измерении, а результат измерений получают как интегральную оценку всего массива наблюдений. Поэтому в метрологии под математической обработкой результатов измерений традиционно понимают обработку результатов многократных прямых или косвенных измерений одной и той же физической величины.

Математическая обработка включает два принципиально разных направления: детерминированную обработкурезультатов измерений истатистическуюобработку. Детерминированная математическая обработка результатов измерений в обязательном порядке применяется при получении результатов косвенных измерений. Например, для определения плотности некоторого вещества измеряют массу и объем одного и того же образца, после чего рассчитывают его плотность. В линейно-угловых измерениях часто рассчитывают угол по результатам измерений длин, межосевые расстояния отверстий по координатам осей и т.д.

При наличии систематических тенденций изменения результатов многократных измерений одной и той же величины также можно применить детерминированную математическую обработку результатов. В ходе этой обработки стремятся получить аналитическое описание систематической составляющей погрешности измерений. Такое описание позволяет исключить из дальнейшего рассмотрения переменные систематические погрешности. Результаты измерений, из которых исключены систематические погрешности, в метрологии называют «исправленными». Данные после полного или частичного «исправления» можно подвергать статистической обработке. Под «частичным исправлением» мы понимаем исключение переменной систематической составляющей погрешности. В таком случае математическая обработка позволяет получить неискаженные оценки вида распределения и его моментов, кроме оценки математического ожидания (она может оказаться смещенной из-за неисключенной постоянной составляющей систематической погрешности).

Задача обработки массива результатов измерений номинально одинаковых величин может появиться в ходе измерительного контроля неидеального объекта с множеством однородных физических величин, заданных одним параметром. Если расхождения результатов в предыдущих группах задач были обусловлены только погрешностями измерений, то в рассматриваемой задаче сами измеряемые величины могут существенно различаться. Например, шарик для подшипника качения не является идеальной сферой и имеет бесконечное число толщин, которые нормированы как один диаметральный размер. Еще более сложные задачи возникают при контроле партии однородной продукции по одному из параметров, при измерениях номинально одинаковых физических величин, многократно воспроизводимых в ходе экспериментальных исследований технологических процессов и т.д.

Последняя задача – обработка результатов измерений разных величин или изменяющейся физической величины – характерна для экспериментальных исследований, связанных с выявлением характера изменения исследуемой величины (параметра) при контролируемом изменении одного или нескольких аргументов. В метрологии такие задачи характерны для поверки и калибровки средств измерений, а также для метрологической аттестации средств измерений и методик выполнения измерений.

Отсутствие четкой постановки задачи обработки результатов измерений часто приводит к недоразумениям, в том числе к искажению получаемых результатов за счет перемешиванияслучайных (стохастических) результатов воспроизведения измеряемых величин и случайных погрешностей измерений этих величин. Дополнительные искажения могут внести неисключенные систематические составляющие, вне зависимости от источников их появления (возможны систематические изменения при многократном воспроизведении номинально одинаковых измеряемых величин и/или систематические погрешности измерений одной физической величины).

Статистическая обработка некоторых произвольных «исправленных» результатов (любых стохастически изменяющихся значений, будь то результаты измерений или результаты многократного воспроизведения номинально одинаковых величин) рассмотрена во многих литературных источниках. Корректно выполненная статистическая обработка «исправленных» результатов измерений отличается строгой постановкой задачи и соблюдением требований метрологической нормативной документации (ГОСТ 8.207-76, МИ 1317-86 и др.).

Статистическая обработка исправленных результатов прямых измерений

Подготовка массива результатов измерений к статистической обработке заключается в «исправлении результатов измерений». Задача-максимум состоит в исключении из результатов измерений всех систематических составляющих, задача минимум – в исключении переменных систематических составляющих. Следует признать, что любое исключение погрешностей не бывает абсолютным; в результатах могут содержаться невыявленные систематические составляющие, а также всегда остаются неисключенные остатки систематических погрешностей. Методы выявления, оценки и исключения систематических погрешностей и методы оценки неисключенных остатков систематических погрешностей рассмотрены в соответствующем модуле.

Рассмотрим порядок статистической обработки исправленных результатов прямых равнорассеянных измерений одной и той же физической величины.

1. Расчет среднего арифметического значения X_ср (получение точечной оценки результата измерения)

_n

X_ср = Σ X_i.

^{i =1}

2. Расчет отклонений V_i результатов наблюдений от среднего арифметического

V_i = X_ср – X_i .

2a. Проверка правильности расчетов значений отклонений и среднего арифметического

_n

Σ V_i ≈ 0.

^{i =1}

Если сумма значимо отличается от нуля, то либо неправильно рассчитаны отклонения, либо среднее арифметическое значение и отклонения. Несущественные отклонения от нуля возможны из-за округления среднего арифметического.

3. Расчет оценки с к о результатов наблюдений

_________________________

˜ / _n

σ_X = √ [1/(n-1)] ∙ Σ (Xср – Xi) ²

^{i =1}

4. Проверка гипотезы о сходимости эмпирического и теоретического распределений по критериям согласия.

При n > 50 для проверки принадлежности распределения к нормальному предпочтительно использование критериев Пирсона ² (рекомендуется использовать при n > 100) или Мизеса-Смирнова ². При 15 < n < 50 для проверки принадлежности распределения к нормальному предпочтительным является составной критерий (W).

Проверки по критериям согласия проводят при уровне значимости qот 10 % до 2 %. Принятые значения уровней значимости приводят в описании методики выполнения измерений или обработки результатов измерений.

При n ≤ 15 проверку принадлежности распределения к нормальному не проводят, а качественную оценку формируют на основе априорной информации о виде (законе) распределения случайной величины, что позволяет затем перейти к соответствующей количественной оценке.

5. Статистическая проверка наличия результатов с грубыми погрешностями.

При наличии результатов, подозрительных на наличие грубой погрешности, определяют критерий ν для статистического отбраковывания экстремальных результатов X_extr и сравнивают его с критическим значением ν'

ν = ( |X_extr – X_ср| / σ) > ν'.

При нормальном распределении погрешностей можно применять упрощенную процедуру отбраковывания экстремальных отклонений, например, по критерию 3σ

|V_extr| > 3σ.

Соблюдение неравенства позволяет утверждать, что проверяемый результат содержит грубую погрешность и должен исключаться из рассмотрения. Если отбракован хотя бы один результат с грубой погрешностью обработка повторяется с п.1.

6. Расчет оценки среднего квадратического отклонения результата измерения (оценки с к о среднего арифметического значения)

_{˜ ˜} __

σ_Xср = σ_X /√ n

7. Расчет значения границы погрешности результата измерения Δ (по модулю)

Δ = t σ_Xср;

где t – коэффициент Стьюдента, зависящий от числа результатов наблюдений n и принятой доверительной вероятности Р;

Р – доверительная вероятность.

Обычно принимают Р= 0,95 или (в особых случаях) 0,99 и выше. Особые случаи – те, в которых результаты измерений связаны со здоровьем и безопасностью жизни людей, с возможными значительными экономическими потерями, либо существенно затруднены возможности повторения измерительного эксперимента и т.д.

При наличии известных оценокчастных неисключенных систематических составляющих погрешностей Θ_iрассчитывают границы неисключенной систематической составляющей погрешности

_{_________}

/ _m

Θ = k √ Σ Θ_i² ,

^{i =1}

причем k принимают равным 1,1 при Р = 0,95 или 1,4 при Р = 0,99, если m > 4; при m < 4 k = f(m, l) – см. таблицу 1 или графики в ГОСТ 8.207-76, а

l = Θ₁/Θ₂,

где Θ₁– максимальная систематическая составляющая погрешности,

Θ₂– ближайшая к максимальной систематическая составляющая погрешности.

Таблица 1 – Значения kдля различныхlиm

l	m
	1	2	3
0,5 1,0 2,0...4,0 5,0...7,0	1,20 1,28 1,18 1,06	1,35 1,37 1,25 1,12	1,40 1,42 1,28 1,15

Пренебрежимо малыми по сравнению со случайной составляющей систематические погрешности считают при их значении менее 0,8σ_Xср. Случайной погрешностью пренебрегают по сравнению с неисключеной систематической составляющей при Θ > 8,0σ_Xср.

В случае промежуточных значений 0,8σ_Xср ≤ Θ ≤ 8,0σ_Xср в качестве границы погрешности результата измерения принимают значение Δ, определяемое как результат компонирования распределений случайной и систематической погрешностей. В этом случае считают, что неисключенные систематические погрешности в результате их самопроизвольной рандомизации имеют равновероятное распределение (худший из возможных вариантов), а границу определяют из выражения

Δ = Кσ_u ,

где К– коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешностей.

________

_{˜ ˜ / m}

К = (t σ_Xср + Θ)/(σ_Xср + √ Σ Θ_i² /3 ) ,

^{i =1}

σ_u– оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения, который вычисляют с использованием зависимости

_____________

_{/ ˜ m}

σ_u = ( √ σ²_Xср + Σ Θ_i² /3 ) .

^{i =1}

8. Запись результата измерения A в установленной форме

Q = X_ср ± Δ, Р,

где X_ср – точечная оценка результата измерений, рассчитанная как среднее арифметическое значение для всей серии наблюдений;

Δ – доверительная граница результата измерений, которую рассчитывают с использованием зависимостей ˜ ˜

Δ = t σ_Xср; или Δ = Кσ_u,

где t – коэффициент Стьюдента;

К – коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешностей;

σ_u – оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения при наличии случайной и неисключенной систематической погрешностей;

Р – доверительная вероятность.