векторная и аналитическая геометрия ЗАДАЧИ
.pdf
Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения
Кафедра «Высшая математика»
А. И. Недвецкая
Г. А. Тимофеева Е. Г. Чеснокова
Векторная алгебра и аналитическая геометрия
Екатеринбург
2007
0
Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения
Кафедра «Высшая математика»
А. И. Недвецкая
Г. А. Тимофеева Е. Г. Чеснокова
Сборникконтрольныхзаданий повекторнойалгебре
ианалитическойгеометрии
длястудентоввсехспециальностейдневногоотделения
Екатеринбург
2007
1
УДК 51(07) Н 42
Недвецкая А.И., Тимофеева Г.А., Чеснокова Е.Г, Векторная алгебра и аналитическая геометрия: сборник контрольных заданий. – Екатеринбург:
УрГУПС, 2007. -32 с.
Сборник контрольных заданий по векторной алгебре и аналитической геометрии предназначен для студентов первого курса технических и экономических специальностей. Оно содержит 30 вариантов по 10 заданий в каждом по всем темам разделов векторная алгебра и аналитическая геометрия курса «математика».
Сборник может быть использован в качестве заданий для типового расчета, а также для самостоятельной работы студентов.
Сборник контрольных заданий по векторной алгебре и аналитической геометрии рекомендован к изданию на заседании кафедры «Высшая математика» 12 января 2007г., протокол №1.
Авторы: А.И. Недвецкая, старший преподаватель каф. «Высшая математика», УрГУПС,
Е.Г. Чеснокова, ассистент каф. «Высшая математика», УрГУПС,
Г.А. Тимофеева, зав. каф. «Высшая математика», д-р физ. мат. наук, УрГУПС.
Рецензент: А.Н. Сесекин, зав. каф. «Прикладная математика» УГТУ-УПИ, проф., д-р физ. мат. наук
© Уральский государственный университет путей сообщения (УрГУПС), 2007
2
Вариант 1
1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x +4y +8z =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −5y +2z =0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + y +6z =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Даны матрицы A= |
|
2 |
−1 |
, B= |
|
1 |
−3 4 |
|
, C= |
|
7 |
1 0 . |
Найти AB – C. |
0 3 |
|
2 |
1 −1 |
|
2 |
−2 3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Даны вершины треугольника А(8, -1, -1), В(-2, -1, 4), С(1, -1, 0). Найти |
|
его внутренний угол при вершине С. |
4. |
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах ar =5i − j |
|
и br =ir+2 rj −2kr. Найти прbr a . |
5. |
Объем параллелепипеда, построенного на векторах a ={2; y;−4}, br ={0;2;5}и |
|
cr ={1;1;−2}, равен 5. Найти вторую координату вектора a . |
6. |
Составить уравнения прямой, проходящей через точку М(1,-3, 4) параллель- |
|
|
|
но прямой 3x +2y −z +1=0 . |
5x −2y +3z =0
7.Составить уравнение плоскости, которая проходит через ось OZ перпендикулярно к плоскости 2x +3y+4z-2=0.
8. Вычислить расстояние между плоскостями α:2x-3y+6z-10=0 и
β: 4x-6y+12z+15=0.
9.Даны уравнения двух сторон ромба 3x-y+1=0, 4x+y-8=0 и точка М(2,-3) пересечения его диагоналей. Составить уравнения диагоналей ромба.
10.Установить, какие линии определяются уравнениями:
a)9x2-16y2+36x+32y-124=0
b)y = 4 - 
2 − x . Изобразить эти линии на чертеже.
Вариант 2
1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом
3x + y −2z =−1
6x +5y −4z =−5.3x −3y +4z =6
3
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 2 |
|
2. Даны матрицы А = |
|
|
, В |
|
|
|
|||||
0 |
3 |
= 1 |
3 |
−2 |
, С = |
|
0 |
. |
|||
|
4 |
|
|
1 |
2 |
0 |
|
1 |
1 −1 |
||
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти А(В – 2С).
3.Даны вершины треугольника А(1; -1; 3), В(1; 1; 2), С(-3; 0; 3). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины А.
4.Доказать, что четырехугольник АВСD является трапецией, если
AB ={1; -2; 3}, BC = {2; -1; -3}, CD ={1; 1; -6}.
5. |
На оси OY найти точку D такую, чтобы векторы |
a={4; -1; 3}, |
||||||||
|
b ={2; 0; -1} и AD , где А(2; -6; 4), лежали в одной плоскости. |
|||||||||
6. |
Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую |
|||||||||
|
|
x −1 |
|
y |
|
z +2 |
|
|
|
|
|
|
= |
= |
x − y +3z −1=0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
параллельно прямой |
|
. |
||
|
2 |
|
3 |
−1 |
|
|||||
|
|
|
|
x + y +z +2 =0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.Найти проекцию точки Р(0; -5; 10) на плоскость 2x – 3y + 4z +3 = 0.
8.На оси OX найти точку, отстоящую от плоскости 9x – 2y +6z – 3 = 0 на расстоянии d=3.
9.Составить уравнения сторон прямоугольника ABCD с вершинами в точках
А(3; -1), В(2;0), С(-2;-4).
10.Установить, какие линии определяются уравнениями:
a)5x2 + 9y2 – 30x + 72y+144=0,
b)y = -3+ 
x2 + 4 . Сделать чертеж.
Вариант 3
1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом
3x +4y −z =−6
2x − y +5z =7 .
x +2y +z =−4
|
|
|
|
3 |
−4 |
|
|
−1 |
3 |
|
|
|
|
, B= 2 |
−3 . Найти АВ и ВА. |
|||||
2. Даны матрицы A= |
2 |
|||||
|
4 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
3.Найти единичный вектор, составляющий с осью OY острый угол, перпендикулярный векторам ar={2; -2; 1}и b ={0; 2; 1}.
4.Вычислить площадь четырехугольника АВСD, если А(2; 0; 1),
В(3; -15; 9), С(3; 0; 1), D(2; 15; -7).
4
5. |
Вычислитьnpcrb и объем |
параллелепипеда, построенного на |
векторах |
|
|
a ,b , cr , если a ={2; -3; 3}, b ={4; 1; 5}, c ={0; 3; -4}. |
|
||
6. |
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Р(-1; 2; 0) пер- |
|||
|
пендикулярно к двум плоскостям: 5x + y −4z +1 =0, 2x + y −6z −3 =0. |
|||
|
|
|
|
|
7. Составить канонические уравнения прямой 2x −4y +3z +3 =0 |
|
|||
|
|
|
x +3y −z +4 =0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x =1+3t |
|
8. |
При каком значении b |
прямая |
y =2 −4t параллельна |
плоскости |
|
|
|
|
|
|
|
|
z =3+t |
|
|
|
|
|
|
5x +by −3z +1 =0?
9.Найти проекцию точки А(0; 9) на прямую, проходящую через точки В(-1; 2)
иС(3; 0).
10.Установить, какие линии определяются уравнениями:
а) 8x2 − y2 +64x +6y +127 =0 , b) y =−3−
4 −x . Сделать чертеж.
Вариант 4
1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом
2x +3y −z =2
4x −5y +2z =7 .
2x + y +z =0
|
3 |
4 |
|
2 |
−3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
2. Даны матрицы А= |
−2 |
5 |
|
, В= |
−4 |
1 |
|
||||
|
, С= |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−3 |
|
|
1 |
0 |
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
Найти (2А – В)С.
3.Определить угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах ar =4 j −3k и b =−2 j −k .
4.Вектор xr, коллинеарный вектору a ={1; -4; 8}, образует с осью OZ тупой угол. Зная, что x =6, найти его координаты.
5.Даны вершины треугольной пирамиды А(-2; 0; 1), В(4; -1; 3), С(-2; 1; 4),
D(1; 1; 1). Вычислить ее объем и площадь грани АВD.
6. |
|
Составить |
|
уравнение плоскости, проходящей через прямую |
|||||
|
x +1 |
= |
y −2 |
= |
z |
|
|
перпендикулярно к плоскости x − y +2z −4 =0 . |
|
|
|
|
−3 |
||||||
2 |
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
x −2 |
|
y +1 z −5 |
x |
−4y +5z −1 |
=0 |
|
|||
|
|
= |
|
= |
|
|
|
|
|
|
7. Будут ли прямые |
|
|
|
и |
|
|
|
перпендикуляр- |
||
5 |
1 |
−2 |
|
=0 |
|
|||||
|
|
|
2x − y +z |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ными?
x =t +1
8. Найти проекцию точки Р(1; 2; 1) на прямую y =−t .
z =2t −3
9.Составить уравнения высоты АН и медианы АМ треугольника с вершинами
вточках А(1; -4), В(-1; 3), С(5;7). Сделать чертеж.
10.Установить, какие линии определяются уравнениями:
а) y2 −4y +2x +6 =0,
b) y =5 +2
6x −x2 . Сделать чертеж.
Вариант 5
1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом
x −3y −3z =0
3x +3y −4z =−1.
2x +6y +z =−3
|
|
|
1 −3 2 |
2 |
−3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Даны матрицы А= |
2 |
1 |
0 , В= 4 |
2 . Найти АВ. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 3 5 |
7 |
−1 |
|
|
||
3. |
Вычислить площадь треугольника АВС, если AB = {5; 1; 1}, |
|
|||||||
|
AC ={2; 2; 0}. Найти координаты вектора BC . |
|
|
||||||
4. |
Доказать, что четырехугольник с вершинами А(1; 0; 1), В(4; -6; 7), |
|
|||||||
|
С(8; 1; 3), D(5; 7; -3) является ромбом. Будет ли он квадратом? |
|
|||||||
5. |
Объем параллелепипеда, построенного на векторах a = { -3; 3; z} |
|
|||||||
|
b ={2; 1; 0}и cr ={4; 5; 2}, равен 6. Найти третью координату вектора a . |
||||||||
6. |
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0(2; -1; 3) пер- |
||||||||
|
|
|
|
|
+2y |
−3z −1 |
=0 . |
|
|
|
пендикулярно к прямой x |
|
|
||||||
|
|
|
|
2x + y +z =0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Составить |
уравнение |
плоскости, |
проходящей |
через |
прямые |
|||
x =−2t +3 x2−1 = 3y = z−+12, y =−3t +1 .
z =t −1
6
8. На оси OY найти точку, отстоящую от плоскости 2x −10y −11z +5 =0 на расстоянии d = 1.
9.Точки А(-1; 3) и В(3;-5) являются противоположными вершинами квадрата. Составить уравнения его диагоналей.
10.Установить, какие линии определяются уравнениями:
а) x2 −3y2 −6x −6y −6 =0,
b) y =1−
3−x. Изобразить эти линии на чертеже.
Вариант 6
1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом
3x + y −z =0x − y +3z =2 .
2x +2y −z =7
2.Даны матрицы А= 2
4
|
2 |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
||||
−1 3 , В= |
−1 , С= |
−2 . Найти АВС. |
|||||
2 0 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
2 |
|
||||
|
4 |
|
|
|
|
||
3.Даны два вектора AB ={-4; 8; -1} и BC = {-2; 16; 1}, совпадающие со сторонами треугольника АВС. Найти угол между стороной АВ и медианой, проведенной из вершины В.
4.Даны три последовательные вершины параллелограмма A (2; -1;3),
B (1; -3; 3), C (4; 1; 6). Вычислить его площадь и найти координаты четвертой вершины D.
5. Векторы a ={-3; 5; 1}, b ={4; -7; 2} и c ={5; -9; z} лежат в одной плос-
кости. Найти третью координату вектора c.
x −3y −2z −5 =0
6. Лежит ли прямая 2x −4y −z −4 =0 в плоскости x − y +z +1=0?
7. Составить |
уравнение |
плоскости, |
проходящей |
через |
прямую |
|||||
|
x +2 |
= |
y −4 |
= |
z +5 |
параллельно к оси OZ. |
|
|
|
|
3 |
|
−3 |
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
8.Две грани куба лежат на плоскостях 4x + y −8z −13 =0, 4x + y −8z +5 =0. Вычислить объем куба.
9.Даны уравнения высот треугольника АВС: x +2y +4 =0, 3x − y −9 =0 и
координаты его вершины А (1; 3). Составить уравнения сторон АВи АС.
10. Установить, какие линии определяются уравнениями:
а) x2 +4x + y +7 =0 ,
7
b) y =1+
4x −x2 . Изобразить эти линии на чертеже.
Вариант 7
1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом
x +4y +z =6x +3y +2z =1 .
3x +4y −z =2
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
2. Даны матрицы А= |
−3 |
2 |
, |
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
0 |
|
В= |
−1 , С= |
. Найти АВС. |
||||
5 |
3 |
−1 3 |
||||
3. Доказать, что диагонали четырехугольника АВСD перпендикулярны, если
AB =2i − j +3k , BC =3i +4 j +k , CD =−i −6 j .
4.Вектор xr, коллинеарный вектору a ={10; -2; -11}, образует с осью OХ тупой угол. Зная, что x =3, найти его координаты.
5.Даны вершины треугольной пирамиды А (1; 4; -1), В (4; 4; -3), С (1; 8; 2),
D (1; 5; 4). Найти длину ее высоты, опущенной из вершины D.
6. Даны вершины треугольника А (1; -2; -3), В (4; 0; -1), С (3; 4; 1). Составить уравнения его медианы, проведенной из вершины В.
7. Будет ли прямая |
|
|
|
=0 |
перпендикулярна к плоскости |
4x +2y −3z +1 |
|||||
|
x |
− y −z +2 |
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5x − y +6z −4 =0 ?
8. Составить уравнение плоскости, которая проходит через ось OY параллельно
x =2t −1
прямой y =t +3 .
z =−t +1
9.Вычислить расстояние между прямыми 2x + y +3 =0, 2x + y −7 =0.
10.Установить, какие линии определяются уравнениями:
а) x2 −8y2 −6x −16y +9 =0 ,
b) y =3+
x +2. Изобразить эти линии на чертеже.
8
Вариант 8
1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом
3x −2y +z =6
x +4y −z =−7 .
5x −8y +z =9
2. Даны матрицы А=
|
|
|
|
|
1 |
4 |
−5 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
0 |
1 |
. Найти АВ. |
||||
|
−3 , В= |
|||||||
1 |
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
3.Даны вершины треугольника А (2; -5; 1), В (2; -4; -1), С (2; -7; 0). Опре-
делить его внешний угол при вершине В.
4.Три последовательные вершины трапеции находятся в точках А (1; -3; 1),
В(-1; 1; 5), С (0; 1; 1). Найти координаты четвертой вершины D, если
длина основания АВ в два раза больше длины основания DC. Вычислить
npAB AD .
5. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах
ar={2; 2; -3} и b ={4; 2; 0}. Лежат ли векторы a , b и cr ={0; -1; 3} в
одной плоскости?
6.Найти проекцию точки Р (1; -2; 1) на плоскость x −3y +2z +5 =0.
7.На оси OZ найти точку, отстоящую от плоскости 8x −9y +12z −2 =0 на
расстоянии d =2.
8. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
x −3y +z +1=0
и точку М (4; 0; -1).3x −2y −z −5 =0
9. Даны две вершины треугольника АВС В (-1; 2) и С (2; 1); его высоты пе-
ресекаются в точке N (0; 3). Составить уравнение высоты АН.
10. Установить, какие линии определяются уравнениями:
а) x2 + y2 +4x −6y +4 =0 ,
b) y =1+
x2 +2x . Изобразить эти линии на чертеже.
Вариант 9
1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом
3x
2x
2x
+5y −2z =1
−y −3z =4 .
+ y −z =0
9