векторная и аналитическая геометрия ЗАДАЧИ

иВАС.

3.Доказать, что четырехугольник с вершинами А (1; 2; 0), В (4; -4; 2),

С(4; -3; 5), D (1; 3; 3) является прямоугольником. Будет ли он квадратом?

4.Параллелограмм построен на векторах ar =3 j +4k и b =4i −3 j +k. Вычис-

лить длину его высоты, опущенной из конца вектора b .

5. Объем параллелепипеда, построенного на векторах a ={1; 2; -3},

b ={x; 1; -2} и c = {4; -1; 3}, равен 6. Найти первую координату вектора b .

пендикулярно к плоскости 2x −3y +4z −1 = 0 .

9.Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС заданы cоответственно уравнениями x −4y +5 =0, 2x + y −8 =0 , x − y +2 =0. Составить уравнение вы-

соты треугольника, опущенной из вершины А.

10. Установить, какие линии определяются уравнениями:

а)3y2 +12y −x +9 =0,

b) y =2 − 3−x2 −2x . Изобразить эти линии на чертеже.

Вариант 10

1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

3. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах

a = {2; 5; -4} и b ={0; 3;r -12}.

4. Проверить, что векторы a = {1; 4; 8}, b ={4; 7; -4} могут быть взяты за ребра куба. Найти координаты вектора c , совпадающего с третьим ребром куба.

5.На оси OX найти точку А такую, чтобы точки А, В (-2; -3; 4), С (-1; 2; -5)

иD (1; -4; 3) лежали в одной плоскости.

6.Составить уравнения прямой, проходящей через точку Р (-1; 2; -3) парал-

x −3y +4z −1=0

лельно прямой 5x + y −2z +3 =0.

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки М1 (1;-3; 2),

x =2t +3

М2(2; 0; 3) параллельно прямой y =3t −4 .

z =−4t

3x −6y −2z +12 =0

8. Вычислить расстояние между плоскостями 9x −18y −6z +1 =0 .

9. Дана одна из вершин параллелограмма А (2; 3) и уравнения двух его сторон 3x − y +1 =0 , x + y +3 =0. Составить уравнения двух других сторон па-

раллелограмма и уравнение диагонали, проходящей через точку А.

10.Установить, какие линии определяются уравнениями:

а)3x2 − y2 +6x +6y −9 =0 ,

b)y =1+ 2 −x . Изобразить эти линии на чертеже.

Вариант 11

1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

2x + y +2z =−4

x −3y +2z =2 .

3x − y +4z =−3

А(В+2С).

3. Доказать, что четырехугольник АВСD является трапецией, если

AB ={-1; 3; 0}, BC ={4; -2; 6}, CD ={-1; -2; -3}.

4.Даны точки А (-1; 3; 2), В (2; 7; 5), С (3; -7; 1). На оси OY найти точку D

такую, чтобы векторы AB и CD были перпендикулярны.

11

5.Даны вершины треугольной пирамиды А (5; -6; 1), В (8; 0; 3), С (6; 1; 5), D (9; 5; 3). Вычислить ее объем и площадь грани BCD.

6.Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям 4x − y +8z −5 =0 , 2x + y +3z −1 =0.

3x −5y +z −3 =0

7. Составить канонические уравнения прямой 2x +6y +3z +5 =0.

8. Найти проекцию точки Р (-3; -2; 3) на прямую, проходящую через точки

А(1; 3; -2) и В(-1; 2; 1).

9.Даны уравнения двух сторон прямоугольника 3x +4y −4 =0, 4x −3y +3 =0

иодна из его вершин А (2; -3). Вычислить площадь прямоугольника.

10.Установить, какие линии определяются уравнениями:

а) x2 +4y2 +10x −8y +13 =0 ,

b) y = 2 − x2 −9 . Изобразить эти линии на чертеже.

Вариант 12

1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

x − y −2z =−4x +2y −z =−3.

2x + y +z =5

3.Найти вектор xr, коллинеарный вектору a = i − j +2k и удовлетворяющий условию (xrar)=−9.

4.Даны вершины треугольника А (1; -2; -3), В (3; 1; 1), С (4; -2; -7). Вы-

числить длину его высоты, опущенной из вершины В.

лярны?

12

8. Дана одна из вершин прямоугольного параллелепипеда А (1; -1; 2), три грани которого лежат на плоскостях −5y +2z +7 =0, 2x +10y +11z +1=0,

x +2y −2z −4 =0. Вычислить объем параллелепипеда.

9. Даны уравнения двух сторон параллелограмма 3x − y −6 =0, x +2y +5 =0 и

точка М (4; 2) пересечения его диагоналей. Составить уравнения двух других сторон параллелограмма.

10. Установить, какие линии определяются уравнениями:

а) −5x2 +4y2 +10x +24y +11=0,

b) x =2 + 4 − y . Изобразить эти линии на чертеже.

Вариант 13

1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

2x +6y −7z =0

x −3y +5z =−1 .5x −3y +z =−3

3. Даны две силы f1={1; -4; 5}, f2={3; 2; -2}, приложенные к одной точке.

Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения

М1(2; -3; 0) в положение М2(5; -1; 1).

4. Доказать, что четырехугольник с вершинами А (-3; 1; 0), В (2; -1; 14),

С (0; 1; 15), D(-5; 3; 1) является параллелограммом. Вычислить его площадь.

5.Объем треугольной пирамиды равен 5. Три ее вершины находятся в точках

А(1; -1; 1), В (-2; -3; 2), С (5; 0; 1). Найти координаты четвертой вер-

шины D, если известно, что она лежит на оси OZ.

8. Найти точку Q, симметричную точке Р (-2; 5; -4) относительно плоскости

4x − y +3z −1=0.

9. Даны уравнения двух сторон ромба 2x + y −11=0, 3x −4y −11=0 и точка

М (6;-1) пересечения его диагоналей. Составить уравнения диагоналей ромба.

10. Установить, какие линии определяются уравнениями:

а)9x2 + y2 +36x −8y +43 =0 ,

b) y =1− x2 +4 . Изобразить эти линии на чертеже.

Вариант 14

1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

x +3y −2z =1

x −6y +2z =−3 .

2x −3y −4z =−1

Найти (2А-В)С.

3.Даны два вектора AB ={-10; 8; 4} и AC ={-4; 8; 1}, совпадающие со сторонами треугольника АВС. Найти угол между стороной АС и медианой, проведенной из вершины С. Вычислить площадь треугольника АВС.

4.Вектор x , коллинеарный вектору a ={-5; 14; 2}, образует с осью OY тупой угол. Зная, что x =6, найти его координаты.

5.Объем треугольной пирамиды с вершинами в точках А (2; 1; -3),

В (0; 4; 1), С(7; 9; 1), D(x; 2; -3) равен 2. Найти первую координату точки D.

Ax −3y −z −5 =0?

x =3t +2

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую y =4t −2 пер-

z =−2t −3

пендикулярно к плоскости 2x +6y −z +2 =0.

8.На оси OХ найти точку, отстоящую от плоскости 20x −9y −12z +20 =0 на расстоянии d = 4.

14

9.Найти точку Q, симметричную точке Р(4; 3) относительно прямой, проходящей через точки М1(3; -2) и М2(5; -5).

10.Установить, какие линии определяются уравнениями:

а) x2 −3y2 +6x +12y −15 =0,

b) y =−3− 1−x . Изобразить эти линии на чертеже.

Вариант 15

1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

ВАС.

3. Доказать, что четырехугольник ABCD является трапецией, если

AB ={0; -1; 2}, BC ={3;-6;3},CD ={-2; 5; -4}.

4.Параллелограмм построен на векторах ar =3i −4 j и b =5 j −4k . Вычислить его площадь и прbr ar.

5.Даны вершины пирамиды А (2; -5;1), В (1; 1; 0), С (3; -1; 1), D (2; 3; 2).

Вычислить ее объем и длину высоты, опущенной из вершины А.

6. Даны вершины треугольника А (1; -2; 1), В (3; 0; 5), С (3; 1; 2). Составить уравнения его медианы, проведенной из вершины С.

ной плоскости и составить уравнение этой плоскости.

x +2y +4z −13 =0

8. Найти проекцию точки Р (3; 2; 0) на прямую x + y +3z −9 =0.

9. Даны уравнения двух сторон прямоугольника x +3y −11=0, 3x − y −8 =0и

одна из его вершин А (4; -1). Вычислить площадь этого прямоугольника. 10. Установить, какие линии определяются уравнениями:

а)16x2 −9y2 −32x −54y −209 =0,

b) y =2 + 9 −x2 . Изобразить эти линии на чертеже.

15

Вариант 16

1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

AB ={0;6;−2}, BC ={−5;−3;1}, CD ={−1;−6;2}.

4.Вершины пирамиды находятся в точках А (1; 2; 0), В (2; 2; 4), С (8; 2; 8), D (3; 0; -3). Вычислить площадь сечения, проходящего через середину ребра ВС и две вершины пирамиды АВСD.

5.Лежат ли точки А1(3; 5; 1), А2(2; 4; 7), А3(1; 5; 3), А4(4; 4; 5) в одной

плоскости?

6.Составить уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые

x3−3 = 1y = z 2−1 и x3+1 = y1−1 = 2z .

7.Найти проекцию точки М (-2; 0; 3) на прямую x −2 4 = y−+15 = z 2+1.

кулярны?

9.Даны вершины треугольника А (1; 2), В (3; 7), С (5; -3). Вычислить длину перпендикуляра, опущенного из вершины В на медиану, проведенную из вершины А.

10.Установить, какие линии определяются уравнениями:

а) 25x2 +16y2 −50x −96y −231=0,

1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

2x +3y +5z =8

x + y +z =4 .

−x +3y −z =8

16

4. Даны векторы: a ={2; 2; 1},b ={6; 3; -2}, c ={1; -2; 2}. Найти

прar (b ×cr).

5.Даны вершины пирамиды А (-5; -4; 8), В (2; 3; 1), С (4; 1; -2),

D (6; 3; 7). Найти длину высоты, опущенную на грань BCD.

6. Составить уравнения сторон AD и CD параллелограмма ABCD, если из-

вестны координаты вершин А (3; 0; -1), В (1; 2; -4), С (0, 7, -2).

7. Найти точку, симметричную точке М (7; -1; 2) относительно прямой

x =t

y =−2t −3

z =2t −1.

8. В треугольнике АВС даны уравнение стороны АВ: 4x + y −12 =0, уравнения высот ВН: 5x −4y −15 =0 и АН1: 2x +2y −9 =0. Составить уравнения

двух других сторон треугольника.

9. Найти расстояние между плоскостями 16x +12y −15z +50 =0 и 16x +12y −15z +25 =0

10. Установить, какие линии определяются уравнениями:

а)16x2 −9y2 −64x +18y −89 =0,

b) y =3−4 x −1. Изобразить эти линии на чертеже.

Вариант 19

1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

2x − y +3z =8

x + y −z =9 .

−x + y +z =1

3. Даны силы f1 = i − j +k , f2 = 2i + j +3k , приложенные к одной точке. Вы-

числить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда её точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из начала коор-

динат вrточку М (2; -1; -1).

4. Вектор x , перпендикулярный к оси OZ и к вектору a ={5; -12; 7}, образует острый угол с осью OX . Зная, что x =26, найти координаты вектора x .

18

8.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А (0; -5; 0) и В(0; 0; 2), перпендикулярно к плоскости x +5y +2z −10 =0.

9.Составить уравнения диагоналей квадрата, если две смежные стороны приняты за оси координат так, что весь квадрат расположен в третьем коорди-

натном угле. Сторона квадрата равна 3.

10. Установить, какие линии определяются уравнениями:

а)9x2 −25y2 −18x −100y −316 =0,

b) x =−4 +3 y +5 . Изобразить эти линии на чертеже.

Вариант 20

1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

2x − y +3z =16

y +z =2 .x − y −z =1

3. Даны вершины треугольника АВС А (-1; -2; 4), В (-4; -2; 0), С (3; -2; 1).

Найти его внешний угол при вершине В.

19