umm_4235
.pdfМетодические указания к решению задачи 2 |
|
||
Упруго-пластический материал ха- |
σ |
|
|
рактеризуется зависимостью между на- |
|
|
|
пряжением и удлинением, которая изо- |
|
|
|
бражается диаграммой Прандтля. По |
σm |
|
|
этой диаграмме напряжение изменяет- |
|
|
|
ся от нуля до предела текучести по на- |
|
|
|
клонной прямой (закон Гука: σ = Е · ε), |
|
|
|
а дальше – по горизонтальной прямой |
|
|
|
(рис. 3). |
0 |
ε |
|
По п. 2 задания следует решить ста- |
|||
|
|||
тически неопределимую задачу. Для ее |
|
Рис. 3 |
|
решения кроме уравнений равновесия |
|
|
необходимо составить дополнительное уравнение совместности перемещений всей системы.
С увеличением внешней нагрузки напряжение в одной из тяг достигнет предела текучести. Это значение нагрузки будет предельным для расчета по методу допускаемых напряжений.
При дальнейшем увеличении внешней нагрузки напряжение в этой тяге не изменится (см. рис. 3), а в другой тяге будет расти и тоже достигнет предела текучести. В этот момент несущая способность всей системы будет исчерпана, а значение нагрузки будет предельным при расчете по методу разрушающих нагрузок.
Задача 3
Поперечное сечение бруса (рис. 4) состоит из двух частей, соединенных в одно целое.
Требуется:
1.Вычертить схему сечения в масштабе 1:2, на которой указать положение всех осей и все размеры.
2.Найти общую площадь сечения.
11
1 |
2 |
3 |
4 |
|
h/2 |
|
h/2 |
|
h/2 |
|
h/2 |
5 |
6 |
|
7 |
8 |
9 |
0 |
Рис. 4
3.Определить положение центра тяжести всего сечения.
4.Определить осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно осей, проходящих через центр тяжести параллельно полкам.
5.Найти положение главных центральных осей, значения главных центральных моментов инерции, главных радиусов инерции и проверить правильность вычисления моментов инерции.
Исходные данные взять из табл. 5.
|
|
|
|
|
Таблица 5 |
|
|
|
|
|
|
|
Номер |
Равнобокий уголок |
Швеллер (ГОСТ |
Полоса |
|
стро- |
|
Схемы |
(ГОСТ 8509-93) |
8240-89) |
|
ки |
|
(см. рис. 4) |
|
||
|
|
|
|
||
1 |
|
1 |
80×80×7 |
12 |
140×8 |
2 |
|
2 |
90×90×8 |
14 |
160×8 |
3 |
|
3 |
90×90×6 |
16 |
160×10 |
12
|
|
|
|
|
Окончание табл. 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер |
Равнобокий уголок |
Швеллер (ГОСТ |
|
Полоса |
|
стро- |
|
Схемы |
(ГОСТ 8509-93) |
8240-89) |
|
|
ки |
|
(см. рис. 4) |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
4 |
|
4 |
100×100×8 |
16 |
|
180×10 |
5 |
|
5 |
100×100×10 |
18 |
|
200×8 |
6 |
|
6 |
100×100×12 |
18 |
|
200×10 |
7 |
|
7 |
100×100×10 |
20 |
|
200×12 |
8 |
|
8 |
110×110×8 |
22 |
|
220×10 |
9 |
|
9 |
125×125×10 |
24 |
|
250×10 |
0 |
|
0 |
125×125×12 |
27 |
|
250×12 |
|
|
е |
а |
д |
|
б |
Методические указания к решению задачи 3
При решении необходимо пользоваться данными сортамента и не заменять части профилей прямоугольниками.
Центробежный момент
инерции уголка может быть |
а |
|
y |
|
y |
J |
|||
вычислен по формуле |
||||
|
max |
|
J xy |
= |
J max −J min |
sin 2α. |
|
2 |
||||
|
|
|
Центробежный момент инерции равнобокого уголка относительно центральных осей, параллельных полкам, равен абсолютной величине полуразности главных моментов инерции, так как в формуле α = 45°. Знак центробежного момента уголка зависит от расположения его относительно осей и может быть либо положительным (рис. 5, а), либо отрицательным (рис. 5, б).
|
|
x |
|
x |
|
α=45° |
|
|
|
|
|
|
α=45° |
|
|
J |
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
Jxy>0 |
|
|
Jxy>0 |
|
б |
|
|
y |
|
y |
|
|
α=45° |
|
α=45° |
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
J |
max |
J |
max |
|
|
|
|
Jxy<0 |
|
|
Jxy<0 |
Рис. 5
13
Задача 4
Стальной валик (рис. 6) закручивается двумя парами сил, действующими в крайних сечениях. Момент каждой пары сил – М.
D |
d |
D |
D |
0,8D
M
M
a |
a |
c |
Рис. 6
Требуется:
1.Построить эпюру крутящих моментов.
2.Определить моменты сопротивления при кручении для сечений I , II, III и по наиболее опасному сечению найти допускаемую величину момента М.
3.Построить эпюры распределения касательных напряжений в сечениях I , II, III, отметив на сечениях опасные точки.
4.Построить эпюру углов закручивания, приняв начало отсчета на левом торце валика.
Модуль упругости при сдвиге для материала валика G = 8 · 104 МПа. Примечание: сечение III можно приближенно считать квадратным
со стороной 0,8 D, так как срезы углов весьма незначительны.
Исходные данные взять из табл. 6.
14
|
|
|
|
|
Таблица 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер |
D, мм |
d/D |
a, см |
c, см |
Rср, Мпа |
|
строки |
||||||
|
|
|
|
|
||
1 |
110 |
0,3 |
30 |
80 |
90,0 |
|
2 |
120 |
0,4 |
35 |
90 |
95,0 |
|
3 |
130 |
0,5 |
40 |
100 |
100,0 |
|
4 |
40 |
0,6 |
45 |
120 |
105,0 |
|
5 |
50 |
0,8 |
50 |
140 |
110,0 |
|
6 |
60 |
0,3 |
55 |
150 |
90,0 |
|
7 |
70 |
0,4 |
60 |
160 |
95,0 |
|
8 |
80 |
0,5 |
65 |
170 |
100,0 |
|
9 |
90 |
0,6 |
70 |
175 |
105,0 |
|
0 |
100 |
0,8 |
75 |
180 |
110 |
|
|
е |
д |
а |
б |
в |
Задача 5
Для схем балок I, II (рис. 7 и 8) требуется:
1.Вычертить расчетные схемы, указав числовые значения размеров и расчетных нагрузок.
2.Вычислить опорные реакции и проверить их.
3.Для всех схем составить аналитические выражения, изменения изгибающих моментов Мx и поперечных сил Qy на всех участках.
4.Для всех схем построить эпюры изгибающих моментов Мx и поперечных сил Qy.
На всех эпюрах обязательно указать числовые значения ординат
вхарактерных сечениях участков.
5.Руководствуясь эпюрой изгибающих моментов, показать для схем I и II приблизительный вид изогнутых осей балок.
6.По опасному сечению подобрать поперечные сечения:
а) для схемы I – прямоугольное h × b при расчетном сопротивлении Rn = 16 МПа (клееная древесина); h:b = 1,5;
б) схемы II – двутавровое (ГОСТ 8239-89) при расчетном сопротивлении Rn = 200 МПа (сталь).
Исходные данные взять из табл. 7.
15
|
q |
Схема I |
|
|
q |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
F |
|
m |
F |
|
||
|
|
|
|
|
|||
q |
F |
|
|
|
F |
m |
q |
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
7 |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
m |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
m |
|
8 |
|
|
|
|
F |
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
q F |
|
|
|
q |
F |
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
|
|
9 |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
m |
|
q |
m |
F |
q |
|
|||
|
|
|
5 |
0 |
m |
|
|
|
||
|
F |
|
|
c |
a |
a |
c |
|
Рис. 7 |
|
|
16
q
1
m
F |
q |
|
2
m q
3
q
m
4
q F
5
a |
2a |
2c |
Схема II
F
6
m
m
7
m
Fm
8
F
9
0
q
F
aa
F
q
F
q
aa
q |
F |
|
m |
||
|
q
F
m |
|
m |
|
a |
a 2a |
2c |
a |
Рис. 8 |
|
|
|
17
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер |
Схема I |
Схема II |
c/a |
P/q a |
m/q a2 |
a, м |
|
q, |
строки |
(см. рис. 7) |
(см. рис. 8) |
|
|
|
|
|
кН/м |
1 |
1 |
1 |
1,2 |
0,6 |
0,2 |
0,5 |
|
6 |
2 |
2 |
2 |
1,4 |
0,5 |
0,4 |
1,0 |
|
8 |
3 |
3 |
3 |
1,6 |
0,8 |
0,6 |
1,5 |
|
10 |
4 |
4 |
4 |
1,8 |
1,2 |
0,8 |
2,0 |
|
12 |
5 |
5 |
5 |
2,0 |
1,5 |
1,0 |
2,5 |
|
14 |
6 |
6 |
6 |
1,2 |
1,6 |
0,2 |
1,5 |
|
16 |
7 |
7 |
7 |
1,4 |
1,0 |
0,4 |
2,0 |
|
12 |
8 |
8 |
8 |
1,6 |
1,8 |
0,6 |
1,0 |
|
10 |
9 |
9 |
9 |
1,8 |
2,4 |
0,8 |
2,5 |
|
8 |
0 |
0 |
0 |
2,0 |
2,0 |
1,0 |
0,5 |
|
6 |
|
а |
б |
г |
д |
е |
д |
|
г |
Методические указания к решению задачи 5
К решению данной задачи все схемы и эпюры надо вычерчивать
вмасштабе, располагая эпюры обязательно под схемами балок. Определение положения и значения Мmax, если таковой имеется,
обязательно.
Задача 6
Для схем стальных балок I и II (рис. 10) требуется:
1. Определить методом начальных параметров углы поворота сечений и прогибы в точке В. Модуль упругости Е = 2 · 105 МПа. Поперечные сечения балок: схема I – трубчатое с внешним диаметром D и внутренним – d; схема II – двутавровое.
2.Составить аналитические выражения изменения поперечных сил Qy и изгибающих моментов Мх на всех участках.
3.Построить эпюры поперечных сил Qy и изгибающих моментов Мх.
18
4. Определить наибольшие нормальные напряжения σmax в опасном сечении каждой из балок.
Исходные данные взять из табл. 8.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 8 |
|
Номер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер |
|
стро- |
схе- |
|
схе- |
b, м |
c, м |
l, м |
F, |
q, |
M, |
D, |
d/D |
двутавра |
мы I |
мы II |
кН |
кН/м |
кН·м |
мм |
по ГОСТ |
||||||
ки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8239-89 |
см. рис. 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
1 |
|
1 |
0,9 |
1,3 |
1,0 |
0,8 |
0,8 |
1,0 |
120 |
0,5 |
20 |
2 |
2 |
|
2 |
1,0 |
1,2 |
1,1 |
0,9 |
0,9 |
1,2 |
130 |
0,7 |
16 |
3 |
3 |
|
3 |
1,1 |
1,1 |
1,2 |
1,0 |
1,0 |
1,5 |
140 |
0,5 |
22 |
4 |
4 |
|
4 |
1,2 |
1,0 |
1,0 |
1,1 |
1,1 |
1,6 |
150 |
0,6 |
17 |
5 |
5 |
|
5 |
1,3 |
0,9 |
1,2 |
1,2 |
1,2 |
2,0 |
140 |
0,7 |
24 |
6 |
6 |
|
6 |
1,0 |
1,1 |
1,4 |
1,3 |
1,3 |
2,1 |
130 |
0,5 |
27 |
7 |
7 |
|
7 |
1,2 |
1,0 |
1,0 |
1,4 |
1,4 |
2,4 |
120 |
0,7 |
20 |
8 |
8 |
|
8 |
1,1 |
0,9 |
1,2 |
1,5 |
1,5 |
2,6 |
150 |
0,8 |
24 |
9 |
9 |
|
9 |
0,9 |
1,3 |
1,3 |
1,6 |
1,6 |
2,8 |
140 |
0,6 |
22 |
0 |
0 |
|
0 |
1,3 |
1,2 |
1,4 |
1,7 |
1,7 |
3,0 |
160 |
0,8 |
18 |
|
д |
|
е |
г |
а |
б |
е |
в |
г |
д |
а |
б |
Пункты условия 2, 3 и 4 выполняют только студенты специальности Н.К.В.
Методические указания к решению задачи 6
В общем виде универсальное уравнение упругой линии и углов поворота сечений по методу начальных параметров записывается так:
|
|
|
|
|
|
|
M |
0 |
z |
2 |
|
|
|
Q |
0 |
z 3 |
|
|
q |
z |
4 |
|
|
n −1 |
M |
i |
(z −a )2 |
|
||||
EJyz =EJy0 +EJ ϕ0 z |
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
0 |
|
|
+ |
|
∑ |
|
i |
+ |
||||||||
|
|
2 ! |
|
|
3! |
|
|
|
4 ! |
|
|
|
2 ! |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|||||||||||
n −1 Q |
i |
(z −b )3 |
|
n −1 q |
(z −c )4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
+∑ |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
+∑ |
i |
|
|
|
|
i |
|
; |
|
|
|
(1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 ! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
i −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q 0 z |
2 |
|
|
q0 z |
3 |
|
n −1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
EJ ϕz =J ϕ0 +M 0 z + |
|
+ |
|
+∑M i (z −ai )2 + |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ! |
|
|
|
3! |
|
|
|
i −1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
n −1 Q |
i |
(z −b )2 |
|
n −1 q |
(z −c )3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
+∑ |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
+∑ |
i |
|
|
|
|
i |
; |
|
|
|
(2) |
|||||||||
|
|
|
|
2 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
i −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19
В уравнениях (1) и (2) применительно к задаче:
уz – искомый прогиб в сечении с текущей координатой z (ось z направлена вдоль оси балки); y0, φ0, М0, Q0, q0 – параметры в начале координат (прогиб, угол поворота, момент, поперечная сила и равномерно распределенная нагрузка); Mi , Qi , qi – внешние силовые факторы в пределах балки; ai , bi, ci – расстояния от начала координат до точки приложения соответствующего силового фактора.
При выборе начала координат на левом конце балки и при направлении оси у вверх, а по оси z вправо принято считать положительными: внешние моменты – по ходу часовой стрелки; внешние силы и прогибы – по направлению оси у; углы поворота – против хода часовой стрелки.
Начальные параметры y0 и φ0 определяются из двух граничных условий закрепления концов балки. Для консоли, имеющей заделку на левом конце, y0 и φ0 вычисляются из условия граничных закреплений:
при z = 0 yz =0 = y0 = 0; φz =0 = φ0 = 0 .
Для однопролетной балки у0 находится из условия закрепления на левом конце балки при z = 0; yz =0 = y0 = 0, а начальный параметр φ0
– из условия закрепления на правом конце балки при z = l; yz =1 = 0, т. е. из уравнения
|
|
|
|
|
|
|
E J yz =l = 0. |
y |
|
|
|
|
|
|
Следует помнить, что при опреде- |
|
|
|
|
|
|
|
лении прогиба или угла поворота в ка- |
q |
|
n |
|
|
ком-либо сечении балки универсаль- |
||
0 |
|
|
|
|
|
|
ные уравнения учитывают только те |
|
|
|
|
|
z |
нагрузки, которые действуют на уча- |
|
|
|
|
|
|
|
||
с1 |
|
n |
|
|
стке балки от начала координат до рас- |
||
с2 |
|
|
|
|
|
|
сматриваемого сечения. |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если распределенная нагрузка q об- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
рывается в сечении n–n, расположен- |
q |
|
n |
|
|
q |
ном левее сечения z, для которого опре- |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
деляются прогиб или угол поворота, то |
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
ее следует мысленно продолжить до пра- |
|
|
|
|
|
|
|
||
с1 |
|
|
|
|
|
|
вого конца балки и одновременно с этим |
с2 |
|
n |
q |
приложить на участке от сечения n–n до |
|||
z |
|
|
|
|
|
|
правого конца балки нагрузку q такого же |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 9 |
|
|
значения, но с обратным знаком (рис. 9). |
20