Лоду 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Дано лоду 2-го порядка с постоянными коэффициентами (5.1), где,. Согласно предыдущему параграфу общее решение лоду 2-го порядка легко определяется, если известны два линейно независимых частных решения этого уравнения. Простой метод нахождения частных решений уравнения с постоянными коэффициентами предложил Л. Эйлер. Это метод, который называется методом Эйлера, состоит в том, что частные решения ищутся в виде.

Подставляя эту функцию в уравнение (5.1), после сокращения на , получим алгебраическое уравнение, которое называется характеристическим:

(5.2)

Функция будет решением уравнения (5.1) только при тех значениях k, которые являются корнями характеристического уравнения (5.2). В зависимости от величины дискриминантавозможны три случая.

. Тогда корни характеристического уравнения различны:. Решенияибудут линейно независимыми, т.к.и общее решение (5.1) можно записать в виде.

. В этом случаеи. В качестве второго линейно независимого решенияможно взять функцию. Проверим, что эта функция удовлетворяет уравнению (5.1). Действительно,,. Подставляя эти выражения в уравнение (5.1), получим

или, т.к.и.

Частные решения илинейно независимы, т.к.. Следовательно, общее решение (5.1) имеет вид:

или.

. В этом случае корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные:, где,. Можно проверить, что линейно независимыми решениями уравнения (5.1) будут функциии. Убедимся, что уравнению (5.1) удовлетворяет, например, функция y1. Действительно,,. Подставив эти выражения в уравнение (5.1), получим

.

Обе скобки в левой части этого равенства тождественно равны нулю. Действительно, ,

. Таким образом, функцияудовлетворяет уравнению (5.1). Аналогично нетрудно убедиться в том, что иесть решение уравнения (5.1). Поскольку, то общее решениебудет иметь вид:

.

Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (лнду) 2-го порядка.

Теорема 1. Общее решение лнду 2-го порядка

f(x) (6.1)

представляется в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения

(6.2)

и любого частного решения лнду (6.1).

Доказательство.

Докажем сначала, что будет решением уравнения (6.1). Для этого подставимв уравнение (6.1):f(x). Это равенство является тождеством, т.к.иf(x). Следовательно,есть решение уравнения (6.1).

Докажем теперь, что это решение является общим, т.е. можно так выбрать входящие в него произвольные постоянные, что будут удовлетворяться любые начальные условия вида: ,(6.3). Согласно теореме о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения (лоду) общее решение уравнения (6.2) можно представить в виде, гдеи– линейно независимые решения этого уравнения. Таким образом:

и, следовательно, начальные условия (6.3) можно записать в виде:

или

(6.4)

Произвольные постоянные иопределяются из этой системы линейных алгебраических уравнений однозначно при любых правых частях, т.к. определитель этой системы=есть значение определителя Вронского для линейно независимых решений уравнения (6.2) при, а такой определитель, как мы видели выше, отличен от нуля. Определив постоянныеииз системы уравнений (6.4) и подставив их в выражение, мы получим частное решение уравнения (6.1), удовлетворяющее заданным начальным условиям. Теорема доказана.

Докажем еще одну простую теорему, которая часто используется при решении лнду.

Теорема 2. Если - решение дифференциального уравненияf1(x), а- решение уравненияf2(x), то функциябудет решением уравнения

f1(x) + f2(x). (6.5)

Доказательство.

Подставив функцию в уравнение (6.5), получим

f1 + f2. Это равенство является тождеством, т.к.f1 иf2. Теорема доказана.