Дифференциальные уравнения 2-го порядка Методы понижения порядка уравнения.

Дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид:

. (1.1)

Общим решением уравнения является семейство функций, зависящее от двух произвольных постоянных и:(или– общий интеграл дифференциального уравнения 2-го порядка). Задача Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка (1.1) состоит в отыскании частного решения уравнения, удовлетворяющего начальным условиям: при:,. Необходимо заметить, что графики решений уравнения 2-го порядка могут пересекаться в отличие от графиков решений уравнения 1-го порядка. Однако решение задачи Коши для уравнений 2-го порядка (1.1) при довольно широких предположениях для функций, входящих в уравнение, единственно, т.е. всякие два решения с общим начальным условием,совпадают на пересечении интервалов определения.

Получить общее решение или решить задачу Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка аналитически удается далеко не всегда. Однако в некоторых случаях удается понизить порядок уравнения с помощью введения различных подстановок. Разберем эти случаи.

Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка.

Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) 2-го порядка имеет следующий вид:

, (2.1)

где ,,и– заданные функции, непрерывные на том промежутке, на котором ищется решение. Предполагая, что a0(x) ≠ 0, поделим (2.1) наи, после введения новых обозначений для коэффициентов, запишем уравнение в виде:

(2.2)

Примем без доказательства, что (2.2) имеет на некотором промежутке единственное решение, удовлетворяющее любым начальным условиям ,, если на рассматриваемом промежутке функции,инепрерывны. Если, то уравнение (2.2) называется однородным, и уравнение (2.2) называется неоднородным в противном случае.

Рассмотрим свойства решений лоду 2-го порядка.

Определение. Линейной комбинацией функций называется выражение, где– произвольные числа.

Теорема. Если и– решение лоду

, (2.3)

то их линейная комбинация также будет решением этого уравнения.

Доказательство.

Поставим выражение в (2.3) и покажем, что в результате получается тождество:

.

Перегруппируем слагаемые:

.

Поскольку функции иявляются решениями уравнения (2.3), то каждая из скобок в последнем уравнении тождественно равна нулю, что и требовалось доказать.

Следствие 1. Из доказанной теоремы вытекает при , что если– решение уравнения (2.3), тотоже есть решение этого уравнения.

Следствие 2. Полагая , видим, что сумма двух решений лодутакже является решением этого уравнения.

Замечание. Доказанное в теореме свойство решений остается справедливым для лоду любого порядка.

Структура общего решения лоду 2-го порядка.

Теорема. Если и– линейно независимые решения уравнения (2.3), то их линейная комбинация, гдеи– произвольные постоянные, будет общим решением этого уравнения.

Доказательство.

То, что есть решение уравнения (2.3), следует из теоремы о свойствах решений лоду 2-го порядка. Надо только еще показать, что решениебудет общим, т.е. надо показать, что при любых начальных условиях,можно выбрать произвольные постоянныеитак, чтобы удовлетворить этим условиям. Запишем начальные условия в виде:

Постоянные ииз этой системы линейных алгебраических уравнений определяются однозначно, так как определитель этой системыесть значение определителя Вронского для линейно независимых решений лоду при:

,

а такой определитель, как мы видели в предыдущем параграфе, отличен от нуля. Теорема доказана.

Пример. Доказать, что функция , гдеи– произвольные постоянные, является общим решением лоду.

Решение.

Легко убедиться подстановкой, что функции иудовлетворяют данному уравнению. Эти функции являются линейно независимыми, так как. Поэтому согласно теореме о структуре общего решения лоду 2-го порядкаявляется общим решением данного уравнения.