Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах.

Рассмотрим А:L→ L΄.

Пусть е1,…,еn – базис в L, h1,…,hm- базис в L´.

Нашему линейному оператору А(х) соответствует матрица А: А(х)=Ах

Тогда следует ожидать, что при замене базиса матрица А меняется.

базис в L, базис в L´

Пусть новый базис в L.S – матрица перехода от старого базиса к новому, т.е.

Пусть новый базис в L´

Р – матрица перехода .

Тогда для любого х €L А(х)=Ах=у €L´,где ,Пустькоординаты х в новом базисе,координаты у в новом базисе

Следовательно, х=Sx´, y=Py´

А Sx´=Ру´, .

С другой стороны мы ищем матрицу А´: А´х´=у´. Следовательно, - закон изменения матрицы А при переходе к новому базису или иначе, связь между матрицами.

Собственные вектора и собственные числа.

Опр1.Ненулевой вектор х в L называют собственным вектором линейного оператора А:L→ L, если для некоторого действительного числа λ выполняется соотношение Ах= λх. При этом число λ называют собственным значением (собственным числом) линейного оператора А.

Ах=λх=λЕх,

=

, отсуда (А-λЕ)х=0

Собственный вектор х находится из однородной системы уравнений . Собственные вектора существуют, если det(A-λE)=0. Это уравнение называется характеристическим уравнением оператора А(х), заданного матрицей А в базисе е1,…,en.

Утверждение. Характеристическое уравнение не зависит от выбора базиса.

◄ пусть е´ новый базис. S матрица перехода от базиса е к е´. Тогда , где А´ - матрица оператора А(х) в базисе е´

det(A-λE)= = ==det *det(A-λE)*detS= det(A-λS)►

Определение. Собственные числа – решение характеристического уравнения det(A-λE)=0

det Известно, что определитель матрицы есть алгебраическая сумма произведенийn различных элементов матрицы.

Следовательно, что характеристическое уравнение является многочленом от λ, а собственные числа есть корни этого многочлена.

det(A-λE)=(а11- λ)(а22- λ)…(аnn- λ)+..= (1)

Предположим λ=0, det(A-0E)= detA=Ао.

Наше характеристическое уравнение примет вид =0

Многочлен в (2) называется характеристическим многочленом матрицы А

51.Векторный пространства. Размерность векторного пространства. Изоморфизм векторных пространств. Матрица перехода от одного базиса к другому. Подпространства. Размерность подпространств.

Векторным подпространством S над полем K называется аддитивно записанная Абелева группа, для элементов которой определено действие умножения на элементы поля K, удовлетворяющее требованиям:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

– элементы поля K, x,y – элементы векторного пространства.

Элементами векторного пространства называются векторами.

Примеры векторного пространства над полем R вещественных чисел могут служить множество векторов на плоскости или в пространстве. Другие (уже над любым полем K) примеры – матрицы фиксированного строения, в частности, строки и столбцы с элементами из поля К.

Линейной комбинацией векторов u1,u2,…,um из S называется вектор c₁u₁+c₂u₂+…+c_mu_m при C_iϵK.

1. Совокупности векторов u₁,…,u_m называются линейно независимой, если равенство c₁u₁+…+c_mu_m=0 возможно только при с₁=…=c_m=0. Если же существуют не равные одновременно нулю с₁,…,c_m такие, что c₁u₁+…+c_mu_n=0, то совокупности векторов u₁,…,u_n называется линейно зависимой. Совокупности векторов u₁,…,u_m линейно зависима в том и только в том случае, когда один из векторов является линейной комбинацией остальных.

2. Если совокупности векторов u₁,…,u_m линейно не зависима, а совокупности u₁,…,u_m,u_m+1 линейно зависима, то вектор u_m+1 есть линейная комбинация векторов u₁,…,u_m.

3. Если векторы v₁,…,v_k являются линейными комбинациями векторов u₁,…,u_m и k>m, то совокупность v₁,…,v_k линейно зависима. Совокупности векторов называются порождающей, если все векторы пространства являются их линейными комбинациями. Если для пространства S существует конечная порождающая система, то пространство называется конечномерной, в противном случае – бесконечномерным­.

4. Любая минимальная порождающая совокупности векторов линейно независима.

5. Любая максимальная линейно независимая совокупность векторов является порождающей.

6. Любая линейно не зависимая порождающая совокупность является минимальной средней порождающей и максимальной средней независимой.

Совокупности векторов, удовлетворяющие этим условиям, называются базисом пространства, а число векторов, составляющих базис, называется размерностью пространства.

Размерность пространства S обозначается dim S. Т.о. размерность ровна максимальному числу линейно независимых векторов и минимальному числу порождающих векторов.

Два векторных пространства над одним и тем же полем называются изоморфными, если между их элементами имеется взаимно однозначное соответствие, сохраняющее линейные комбинации.

Рассмотрим матрицу перехода от одного базиса к другому.

Пусть в пространстве S наряду с исходным базисом e₁,…,e_n рассматривается другой базис e^’₁,e^’₂,…,e^’_­­­n. Векторы, составляющие этот базис, выражаются через векторы исходного базиса линейно, с коэффициентами из основного поля.

e^’₁=c₁₁e₁+ c₂₁e₂+…+c_n1e_n

e^’₂=c₁₂e₁+ c₂₂e₂+…+c_n2e_{n (1)}

………………………………………………………

e^’_n=c_1ne₁+ c_2ne₂+…+c_nne_n

матрица называется матрицей замены базиса e₁,…,e_n на e^’₁,e^’₂,…,e^’_­­­n в свою очередь векторы исходного базиса выражаются через векторы нового:

e₁=b₁₁e^’₁+b₂₁e^’₂+…+b_n1e^’_n

e₂=b₁₂e^’₁+b₂₂e^’₂+…+b_n2e^’_n

……………………………………………………

e_n=b_1ne^’₁+b_2ne^’₂+…+b_nne^’_n

Подставив в эти формулы вместо e^’₁,e^’₂,…,e^’_­­­n их выражение через e₁,…,e_n, получим:

e₁=d₁₁e₁+d₂₁e₂+…+d_n1e_n

e₂=d₁₂e₁+d₂₂e₂+…+d_n2e_n

……………………………………………………

e_n=d_1ne₁+d_2ne₂+…+d_nne_n

где матрица

В силу линейной независимости системы базисных векторов заключаем, что d₁₁=d₂₂=…=d_nn=1 и d_ij=0 при i<>j при i<>j 

Следовательно  — единичная матрица, а матрицы взаимно обратные, и потому каждая из них невырожденная.

Выясним теперь, как изменяются координаты векторов при замене базиса. С этой целью обратимся к координатной записи векторов. Формулы (1) в координатах означают, что в базисе e₁,…,e_n вектор e^’₁ имеет координатный столбец (с₁₁,…, c_n1)^Т, вектор e^’₂—столбец (с₁₂,…, c_n2)^Т,…, вектор e^’_n — столбец (с_1n,…, c_nn)^Т. Пусть вектор х имеет координатный столбец (х₁,…, х_n)^Т в базисе e₁,…,e_n  и столбец (х^’₁,…, х^’_n)^Т  — в базисе e^’₁,e^’₂,…,e^’_­­­n. Тогда x=x^’₁e^’₁+…+x^’_ne^’_n. Сравнивая координаты по отношению к базису e₁,…,e_n в левой и правой части последнего равенства, получим

Матрица  называется матрицей преобразования координат. Она транспонирована с матрицей замены базиса. Ее элементы являются коэффициентами в линейных выражениях исходных координат через новые. Обратная матрица дает выражения новых координат через старые.

Матрица, обратная к транспонированной для некоторой матрицы, называется контраградиентной с ней. Таким образом, матрица, дающая выражение новых координат через исходные, контраградиентная с матрицей замены базиса или, что то же самое, координаты вектора изменяются контравариантно с векторами базиса.

Подпространство.

Определение: непустое подмножество М векторного пространства V называется подпространством пространства V, если выполняются следующие условия:

1. Если x,yϵМ, то x+yϵM замкнуто относительно сложения векторов

2. Если xϵМ, а t – произвольное число, txϵМ замкнуто относительно умножения на скаляр

Примеры подпространств:

Множество  является подпространством в любом пространстве V.