49. Система линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса. Метод Крамера. Фундаментальная система решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.

Опр. Система

(1)

называется СЛУ из m уравнений с n неизвестными . Можно считать, что коэффициентыa_ijС.

Опр. Упорядоченный набор чисел (с₁,…,с_n) называется решением системы (1), если при подстановке в систему (1) эти числа превращают уравнения в верные равенства.

Опр. Если решений нет, то система называется несовместной (противоречивой); если существует бесконечно много решений, то система называется неопределенной; если существует единственное решение, то определенной.

Опр. Две системы называются эквивалентными, если они имеют одинаковое множество решений.

Следующие преобразования системы называются элементарными:

1) перестановка местами двух уравнений;

2) отбрасывание из системы уравнений вида ;

3) умножение обеих частей какого-либо уравнения на число, отличное от нуля;

4) прибавление к одному из уравнений другого, умноженного на какое-либо число.

Рассмотрим СЛУ (1). Введем матрицы

, ,.

Тогда система (1) запишется в виде AX=B.

Теорема. Если m=n (т.е. число уравнений равно числу неизвестных, т.е. А – квадратная матрица) и =det A0, то X=A^-1B. (2)

Доказательство. Поскольку det A0, то А^-1 существует. Умножим слева равенство AX=B на А^-1. Получим А^-1(AX)= А^-1B( А^-1A)X= А^-1BX= А^-1B, что требовалось доказать.

Замечание. Формула (2) дает матричный метод решения систем линейных уравнений.

Из формулы (2) можно вывести метод определителей (правило Крамера). Учитывая введение обозначения, равенство (2) запишем более подробно:

=.

Отсюда

(3).

Учитывая разложение =поk-му столбцу замечаем, что получается заменойk-го столбца определителя=|A| на столбец из свободных членов В. Формулы (3) дают правило Крамера для решения СЛУ, когда число неизвестных равно числу уравнений и определитель системы0. При этом система имеет единственное решение. Если =0 и все=0, то система имеет бесконечно много решений. Если=0 и некоторый определитель0, то система не имеет решения.

Пример. Решить систему

матричным методом и методом Крамера.

а) найдем определитель системы

= -8-9+15-5-18-12= -37.

0, значит, А^-1 существует. Найдем присоединенную матрицу и транспонируем ее:

, .

Тогда обратная матрица А^-1 имеет вид

.

Значит, решение записывается в виде

.

Итак,

б) ранее нашли = -37. Найдем определители неизвестных:

= -4-12+6-2-9-16= -37, = -32+6-15-20+12+12= -37,=4-9-20-5+24+6=0.Тогда

Критерий совместности системы линейных уравнений.

Рассмотрим СЛУ (1)

Матрицу А = называют матрицей системы (1), а матрицурасширенной матрицей.

Теорема (Кронекера-Капелли). Система (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Фундаментальная система решений однородных СЛАУ. Общее решение.

Пусть (1) – некоторая СЛУ

Система (2) называется однородной СЛУ, соответствующей системе (1). Очевидно, что (0,ююю,0) является решением (2), т.е. система (2) всегда совместна. Значит, система (2) имеет или единственное (называемое нулевым, тривиальным) решение (0,…,0) или имеет бесконечно много решений.

Применим к системе (2) метод Гаусса. Получим систему ступенчатого вида из rуравнений, где r – ранг матрицы системы (в случае необходимости переобозначаем переменные):

Считая свободными переменными, получим

(3)

При фиксированных значенияопределяются единственным образом.

Лемма. Если решения системы (2), тоявляется решением системы (2) при, т.е. совокупность решений (2) образует линейное пространство.

Док-во: Пусть AX=0 – матричная запись системы (2). Тогда , т.е.действительно удовлетворяет системе (2).

Теорема. Фундаментальная система решений (2) содержит (n-r) решений, т.е. размерность пространства решений системы (2) равна числу свободных переменных.

Док-во: Построим конкретную фундаментальную систему решений (2).

Положим и найдем из (3).

Положим и найдем из (3) и т.д. Положим и найдем из (3).

Покажем, что

Образуют фундаментальный набор решений системы (2).

А) Система линейно независима. Действительно, если, то такая же зависимость существует между соответствующими координатами. Для (r+1)-x координат получим , т.е.. Аналогично из зависимостей (r+2)-x,…,n-x координат получим ,…,. Итак,линейно независимы.

Б) Пусть X= - произвольное решение системы (2). Рассмотрим . По леммеX’ является решением. По этой же лемме

, где является решением системы (2). Но, посколькудляX-X’, то из (3) получим .

Итак, , т.е.X-X’=0, X=X’, X=. Значит,линейно независимые решения, а любыеn-r+1 решений образуют линейно зависимую систему. По определению размерности (размерностью линейного пространства X называется максимальное число линейно независимых элементов пространства X. ) получим, что размерность пространства решений равна n-r.

Следствие 1. Совокупность решений системы (2) задается формулой

(4),

где r – ранг матрицы системы, n – число неизвестных в системе, - фундаментальный набор решений системы (2).

Док-во: Любой вектор X, задаваемый формулой (4) является решением системы (2) по лемме. Обратно, любое решение X системы (2) можно записать в виде равенства (4). Это показано при доказательстве предыдущей теоремы. Итак, в формуле (4) содержатся все решения и формула (4) не содержит ничего кроме решений, что и требовалось доказать.

Формула (4) называется общим решением системы (2). Задавая конкретные числовые значении, получаем частные решения системы (2).

Следствие 2. Общее решение системы (1) задается формулой(если система (1) совместна)

(5)

где - фундаментальный набор решений системы (2),-какое-либо решение системы (1).

Док-во: Записывая систему (1) в виде AX=B и подставляя X получим, что . Значит формулой (5) определяются решения системы (1). Обратно, еслиX – произвольное решение системы (1), то -решение системы (2), так как. Значит, по следствию1 найдутсятакие, что. Отсюда.

Итак , формула (5) содержит все решения системы (1) и не содержит ничего, кроме решений. Значит, формула (5) задает общее решение системы (1).