linear_algebra_2

Доказательство.

Сведем матрицу A с помощью элементарных преобразований к треугольной матрице. Поскольку матрица невырожденная, то мы можем найти в первом столбце ненулевой элемент. Меняя строки местами, поставим этот элемент в первую строку. Итак, a11 6= 0. Для каждого

значения i = 2; 3; :::; n прибавим к i-й строке первую стороку, умноженную на ai1=a11. После этои преобразований мы получим новую матрицу вида

23

На главной диагонали матрицы An 1 стоят элементы, отличные от íóëÿ.

Элементарные преобразования строк матрицы равносильны умножению матрицы слева на соответствующие матрицы элементарных преобразований. Поэтому процесс преобразования матрицы к треугольному виду можно представить в виде последовательного умножения слева исходной матрицы на матрицы элементарных преобразований :

En 1 En 2 ::: E2 E1 A = An 1:

Продолжим элементарные преобразования матрицы An 1. Óìíî-

жим первую строку на 1=a11, вторую на 1=a220 , и т.д., последнюю на 1=ann(n 1). В итоге получим матрицу с единицами на главной диаго-

íàëè :

23

67

Теперь будем последовательно прибавлять к первым n 1 строкам последнюю, умноженную соответственно на a1n; a2n; ::: ; a_n 1;n è

придем к матрице, у которой первые n 1 элементов последнего столб-

ца равны нулю. Действуя аналогичным образом, опираясь на предпоследнюю строку, получаем в первых n 2 позициях предпоследнего

столбца нули. Продолжая совершать подобные элементарные преобразования, окончательно получаем

Таким образом, совершив k элементарных преобразований в мат- рице A, мы привели ее к единичной. Используя матрицы элементарных преобразований, запишем результат в матричной форме :

Способ построения обратной матрицы

Умножим обе части равенства (1.6) на матрицу A 1 справа :

Это равенство лежит в основе способа построения обратной матрицы. Пусть A невырожденная матрица, и E единичная матрица такого же размера. Составим расширенную матрицу [AjE ].

Будем совершать над расширенной матрицей элементарные преобразования, равносильные умножению этой матрицы слева на элементарные матрицы Ek ; Ek 1; ::: ; E2; E1. Получим

[Ek ::: E2 E1 A j Ek ::: E2 E1 E ] :

Подставив равенство (1.7) в полученную расширенную матрицу, будем иметь [E jA 1].

Примечание 7

Применяя элементарные преобразования к расширенной матрице [AjB], можно получить матрицу [E jA 1B]. Матрица A 1B широко ис-

пользуется при решениии систем линейных уравнений.

Пример

Найти матрицу, обратную к

23

20 1

A = 41 1 05:

01 1

Составим расширенную матрицу и проведем последовательность элементарных преобразований :

Таким образом, обратная матрица равна

Ранг матрицы

Понятие ранга матрицы одно из фундаментальных в линейной алгебре.

Определение 1.19

В матрице A размера m n вычеркиванием каких-либо строк или

столбцов можно образовать квадратную матрицу k-го порядка. Определитель Mk такой матрицы называется минором k-го порядка. У матрицы размера m n есть миноры от первого до k-го порядка, где

k = min(m; n).

Определение 1.20

Рангом матрицы A называется наивысший порядок отличных от

m n

нуля миноров этой матрицы. Ранг матрицы обозначается rank (A) èëè r(A).

Свойства ранга

1)Ранг нулевой матрицы равен нулю;

2)r(A) min(m; n);

3)r(A) = n у квадратной матрицы n-го порядка тогда и только тогда, когда jAj =6 0.

Пример

Найти ранг матрицы

23

Для матрицы A ðàíã r(A) min(3; 4) = 3. Чтобы проверить,

3 4

может ли ранг быть равным 3, вычислим все миноры 3-го порядка, которые можно образовать из матрицы вычеркиванием одного столб-

Следовательно, ранг не может быть равным 3. Легко найти минор 2-го порядка, отличный от нуля, например