Действительный анализ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Абузярова Н.Ф. Фазуллин З.Ю.

Действительный анализ

РИЦ БГУ

Уфа 2014

1Функции ограниченной вариации

1.1 Монотонные функции

Рассмотрим вещественнозначную функцию f(x), заданную на отрезке [a; b] R

f : [a; b] ! R:

Определение 1. Если для любой последовательности

fxng [a; b], xn < x; xn ! x; существует lim f(xn) и

n!1

не зависит от последовательности fxng; то величина этого предела обозначается f(x 0) и называется пределом функции f слева в точке x.

Аналогично, если для любой последовательности fxng [a; b], xn > x;

xn ! x; существует lim f(xn) и не зависит от последова-

n!1

тельности fxng; то величина этого предела обозначается f(x + 0) и называется пределом функции f справа в точке x.

Определение 2. Если f(x 0) = f(x), то f непрерывна слева в точке x. Если f(x+0) = f(x), то f непрерывна справа в точке x.

В курсе математического анализа было доказано следующее утверждение.

Лемма 1. Функция f(x) непрерывна в точке x 2 [a; b] тогда и только тогда, когда существуют оба односторонних предела, f(x 0) и f(x + 0), и f(x 0) = f(x) = f(x + 0).

Определение 3. Функция f возрастает (убывает) на отрезке [a; b], если верна импликация

x y; x; y 2 [a; b] ) f(x) f(y) (f(x) f(y)):

3

Определение 4. Функция f строго возрастает (строго убывает) на отрезке [a; b], если верна импликация

x < y x; y 2 [a; b] ) f(x) < f(y) (f(x) > f(y)):

Возрастающие и убывающие на отрезке [a; b] функции образуют совокупность монотонных функций на этом отрезке.

Нетрудно видеть, что функция f (строго) возрастает на [a; b] тогда и только тогда, когда ( f) (строго) убывает на этом отрезке. Поэтому для изучения монотонных функций достаточно изучить только возрастающие функции.

Лемма 2. Пусть f(x) – возрастающая функция на [a; b]. Для любой последовательности точек fxng1n=1 [a; b], сходящейся к точке x 2 [a; b] и такой, что xn < (>)x n 2 N;

ответственно, inf f(y) ):

y>x

J

Докажем утверждение для случая, когда xn < x: В этом случае будет f(xn) f(x) n = 1; 2; : : : Так как ff(xn)g

ff(y); y 2 [a; x]g ; то f(xn) sup f(y) =: Ax.

y<x

По определению супремума для любого " > 0 найдется число y 2 [a; x], для которого будет f(y") > Ax ". В силу

того, что xn < x и lim xn = x найдется номер n", начиная с

n!1

которого xn 2 (y"; x); n n". Для таких значений n имеем Ax f(xn) f(y") > Ax ". Следовательно, существует

lim f(xn) = Ax:

n!1

В случае, если члены последовательности fxng расположены на отрезке [a; b] правее точки x; доказательство прово-

4

дится аналогично, при этом используется определение инфимума числового множества.

I

Пусть f : [a; b] ! R – произвольная функция.

Определение 5. Величины

Sf (x) = f(x) f(x 0);

Sf+(x) = f(x + 0) f(x);

называются скачками функции f слева и справа в точке x, соответственно.

Sf (x) = f(x + 0) f(x 0) = Sf (x) + Sf+(x)

– скачок функции f в точке x .

Лемма 3. Для возрастающей на отрезке [a; b] функции f и произвольного конечного множества точек fxjg (a; b), упорядоченного по возрастанию: a < x1 < : : : < xn < b имеет место неравенство

n

X

(f(a + 0) f(a)) + Sf (xk) + (f(b) f(b 0)) f(b) f(a):

k=1

J

Положим x0 = a; xn+1 = b: Выберем точки yj 2 [a; b] так,

что

xj 1 < yj < xj; j = 1; : : : ; n + 1:

Так как функция f возрастает на отрезке [a; b]; для скачка в точке xj будет

Sf (xj) = Sf+(xj)+Sf (xj) = f(xj+0) f(xj)+f(xj) f(xj 0) f(yj+1) f(xj) + f(xj) f(yj) = f(yj+1) f(yj): (1.1)

5

Учитывая, что f(a + 0) f(y1) и f(b 0) f(yn), после суммирования соотношений (1.1) по j; получим

n

X

(f(a+0) f(a))+ Sf (xk)+(f(b) f(b 0)) f(y1) f(a)+

k=1

n

X

(f(yk+1) f(yk)) + f(b) f(yn+1) = f(b) f(a):

k=1

I

Следствие 1. Число точек разрыва возрастающей функции f, скачки в которых не меньше, чем заданное > 0, конечно.

J

Пусть xk – точки разрыва, в которых Sf (xk) . По лемме 3 имеем

n

X

n Sf (xk) f(b) f(a);

k=1

откуда выводим, что

n f(b) f(a) < +1:

I

Теорема 1. Возрастающая на отрезке [a; b] функция f имеет на этом отрезке не более, чем счётное число точек разрыва.

J

Положим

H1 = fx 2 [a; b] : Sf (xk) 1g ;

6

Согласно следствию 1 множества Hj, j = 1; 2; : : : ; ко-

нечны. Далее, множество всех точек разрыва функции f есть

1

S

Hj, значит это множество не более, чем счётное.

j=1

I

Пусть f(x) – возрастающая на отрезке [a; b] функция,

fxkgNk=1 [a; b]; N +1; – множество всех точек разрыва этой функции.

Определение 6. Функция скачков функции f определяется по формуле

В силу леммы 3 и теоремы 1

0 s(x) < +1; x 2 [a; b]:

Для возрастающей на отрезке [a; b] функции f положим g = f s: Имеет место следующее утверждение.

Теорема 2. Функции s; g возрастают на отрезке [a; b]. Функция g непрерывна на этом отрезке.

J

Из определения функции s следует, что она возрастает на отрезке [a; b]: Докажем, что и функция g возрастает на этом отрезке. Пусть x; y 2 [a; b]; x < y: Так как

g(y) = f(y) s(y); g(x) = f(x) s(x);

нужно проверить, что

7

Применим лемму 3 к отрезку [x; y] и функции f: Получим

x<x <y

(f(y) f(y 0)) f(y) f(x):

Левая часть этого неравенства равна s(y) s(x); поэтому

что эквивалентно требуемому соотношению (1.2).

Для завершения доказательства теоремы осталось показать, что функция g непрерывна в каждой точке x 2 [a; b]. Согласно лемме 1 нужно проверить выполнение соотношений

g(x + 0) = g(x); x 2 [a; b); g(x 0) = g(x); x 2 (a; b]:

Докажем первое из этих соотношений, второе доказывается аналогично.

Устремляя y к x в неравенстве (1.3), будем иметь

s(x + 0) s(x) f(x + 0) f(x) ()

f(x) s(x) f(x + 0) s(x + 0) () g(x) g(x + 0):

Обратное неравенство g(x) g(x + 0) следует из соотношений

f(x + 0) f(x) = lim [f(x + 0) f(x)]

h i

X

lim f(x + 0) f(x) + (f(xk + 0) f(xk 0)) =

y!x+0

x<xk<y

[s(y) s(x)] = s(x + 0) s(x):

I

Следствие 2. Любая возрастающая функция f на [a; b] может быть представлена в виде суммы непрерывной возрастающей функции g(x) и функции скачков s:

8

1.2 Функции ограниченной вариации и их свойства

Рассмотрим вещественнозначную функцию f(x); заданную на отрезке [a; b] R и произвольное конечное разбиение этого отрезка

a =: x0 < x1 < < xn < xn+1 := b:

Положим

j=1

b

W

Определение 7. Полной вариацией (f) функции f

a

на отрезке [a; b] называется супремум сумм V вида (1.4), составленных по всевозможным конечным разбиениям отрезка [a; b] :

b

_

(f) = sup V:

a

Ясно, что всегда выполнены неравенства

b

_

0 (f) +1:

a

Определение 8. Функция f называется функцией огра-

Теорема 3. Если функция f определена и монотонна на отрезке [a; b], то она является функцией ограниченной вариации на этом отрезке, причем

b

_

a

9

J

Проведем доказательство для случая, когда f возрастает на [a; b]: Пусть

a =: x0 < x1 < < xn < xn+1 := b

– произвольное разбиение отрезка [a; b]: Учитывая, что f– возрастающая функция, вычислим сумму V для этого разбиения:

f(x1) f(x0) + f(x2) f(x1) + : : : + f(xn) f(xn 1)+ f(xn+1) f(xn) = f(xn+1) f(x0) = f(b) f(a):

Следовательно,

b

_

(f) = sup V = f(b) f(a) < +1:

a

Аналогично доказывается, что для убывающей на отрезке [a; b] функции f будет

b

_

(f) = sup V = f(a) f(b) < +1:

a

Теорема доказана.

I

Приведем другие примеры функций ограниченной вариации.

Определение 9. Функция f(x); x 2 [a; b] удовлетворяет условию Липшица с постоянной K 0; если для всех x1; x2 2 [a; b] выполнено неравенство

jf(x1) f(x2)j K jx1 x2j :

10