Числовые системы Задания

Задачи к контрольной работе по числовым системам

1. Докажите, что каждая из приведенных ниже алгебраических систем удовлетворяет аксиомам Пеано, а значит, является натуральным рядом.

2. Дано множество K={1,2,3,4,5}. Выясните, какие аксиомы Пеано выполняются, если отношение “ следовать за” задано на нем так:

5. Пользуясь определениями сложения и умножения натуральных чисел, найдите:

a) 3 + 4 и 5·4;

b) 3·(4 + 1) и 3·4 + 3·1;

1

c) (2 + 2) + 2 и 3·4; d) 4 + 3 и 4·3;

e) 2·(5 + 1) и 2·5 + 2·1.

6.Пользуясь аксиомами Пеано, определениями и свойствами сложения

иумножения натуральных чисел, решите следующие уравнения в полукольце натуральных чисел:

ния и умножения натуральных чисел, докажите, что следующие уравнения в полукольце натуральных чисел неразрешимы:

9.В кольце :

a) Решите уравнение: (3, 2) Å ( x, y ) = (5,7) ;

b) Равны ли классы (2,13) и (13,24) ; (12,3) и (327,382)? c) Будут ли противоположными классы (6,8) и (9,7) ?

d) Найдите -(5,7). Найдите классы, противоположные классам (12,15) ,

(3,14) .

е) Выполните действия: (5,7) Ä (3, 2) Å (8,6) Ä (9,10) . 10. Установите изоморфизм между натуральными рядами:

a) N и N10 = {n Î N 10 £ n} ;

2

e) Принадлежит ли пара (8, 12) классу (2,3)? Укажите несколько пар, принадлежащих этому классу и не принадлежащих ему.

12. Запишите в виде отношения целых чисел рациональные числа, представленные в виде следующих десятичных дробей: 0,(23); 0,0(31); 2,05(456); 3,128(45).

13.Докажите иррациональность следующих чисел:

14. Какие упорядоченные пары действительных чисел «моделируют» комплексные числа:

15. Докажите, что поле комплексных чисел изоморфно полю матриц ви-

16.Доказать, поле комплексных чисел не изоморфно полю действительных чисел.

17.Доказать, поле комплексных чисел не изоморфно полю рациональ-

ных чисел.

18.Доказать, поле рациональных чисел не изоморфно полю действительных чисел.

19.Докажите изоморфизм следующих алгебраических систем:

, + и 2 , × ; где 2 = {2n n Î } .

3