2. Операции над отношениями

Так как бинарные отношения являются множествами, то к ним применимы все понятия, которые вводятся для множеств: понятие равенства, включения, а также операции пересечения, объединения и дополнения. В этом разделе мы будем считать, что все отношения заданы на одном и том же множестве X.

Пусть и - два бинарных отношения на множестве X. Каждому из них соответствует некоторое множество пар (подмножества  и   ).

Определение 2.1. Пересечением отношений и , заданных на множестве X, называется отношение такое, что:

Пример 2.1. Пересечением отношений "не меньше" и "не равно", определенных на множестве действительных чисел R, является отношение "строго больше":

   .

 Определение 2.2. Объединением отношений и , заданных на множестве X, называется отношение , такое, что:

является отношение "быть ребенком".

Определение 2.3. Разностью отношений и , заданных на множестве X, называется отношение  \, такое, что:

Пример 2.3. Разностью отношений "не меньше" и "не больше" на R является отношение "больше":

.

Пример 2.4. Разностью отношений "быть ребенком" и "быть дочерью", определенных на множестве всех людей, является отношение "быть сыном".

Определение 2.4. Дополнением отношения , определенного на множестве X, называется отношение, определяемое подмножеством пар из XxX, не входящих в :

x y .

Пример 2.5. Дополнением отношения "не меньше" на R является отношение "не меньше":

.

Отметим, что приведенные выше определения являются просто перефразировками соответствующих определений для обычных множеств и все свойства теоретико-множественных операций пересечения, объединения и дополнения, имеющие место для произвольных множеств, выполняются и для отношений.

Кроме теоретико-множественных операций для отношений вводятся некоторые дополнительные операции, которые связаны с их специфической структурой. Мы рассмотрим две такие операции.

Определение 2.5. Если в каждой упорядоченной паре, принадлежащей отношению , поменять местами первую и вторую компоненты, то получим новое отношение, которое называется обратным для отношения и обозначается через ^-1:

.

Пример 2.6. Обратным для отношения "не меньше" на множестве действительных чисел R является отношение "меньше":

.

Пример 2.7. Обратным для отношения "быть родителем" на множестве людей является отношение "быть ребенком".

Граф отношения ^-1 получается из графа отношения переориентацией всех дуг (рис. 4).

(а) Отношение               (б) Отношение ^-1

Рис. 4. Графы отношений  и ^-1

Если отношение задано с помощью булевой матрицы, то, поменяв в ней местами строки и столбцы, получим булеву матрицу отношения ^-1 (рис 5).

(а) Матрица отношения        (б) Матрица отношения ^-1

Рис. 5. Матрицы отношений и ^-1

Определение 2.6. Произведением или композицией отношений  и , заданных на множестве X, называется отношение °, состоящее из таких кортежей (x, z), для которых существует элемент , удовлетворяющий условию и  :

.

Пример 2.8. Произведением отношений "быть братом" и "быть отцом" является отношение "быть братом одного из родителей", т. е. "быть дядей".

Если отношения  и  на некотором множестве X заданы с помощью графов, то принадлежность пары (x, z) к отношению  °  означает, что из вершины x в вершину z можно попасть точно за два шага, причем первый из них делается по дуге отношения , а второй - по дуге отношения .

На рисунке 6 изображены графы, представляющие отношения (точечные дуги) и b (пунктирные дуги), и графы, представляющие произведения отношений ° и °.

(а) Графы отношений   и     (б) Граф отношения °

(в) Граф отношения °

Рис. 6. Пример произведения отношений (°°)

Пример, приведенный на рисунке 6, показывает, что для произведения отношений коммутативный закон не выполняется.

Для выражения матрицы произведения двух отношений  и  , заданных булевыми матрицами и , введем понятие "булево сложение" , определив его следующим образом:

0  0 = 0,  0 1 = 1,  10 = 1,  11 = 1.

Если теперь

M = (a_ij), M = (b_jk),  (i, j, k = 1, 2 , …, n),

то

M°   = (c_ik),

где

c_ik = a_i1 b_1k  …  a_in b_nk 

Матрица M°   называется булевым произведением матриц M и M. Легко проверить, что M°  является булевой матрицей произведения °.

Пример 2.9. Вычислим матрицы произведений ° и  ° отношений  и  , представленных графами на рисунке 6.

Для этого перемножим соответствующие матрицы M и M (строки и столбцы матриц упорядочены в соответствии с алфавитным порядком букв a, b, c, d, обозначающих вершины графа).

Определим еще одну унарную операцию над отношением.

Определение 2.7. Транзитивным замыканием отношения  называется бинарное отношение такое, что xy тогда и только тогда, когда существует такая цепочка элементов изX:

z₀ = x, z₁, z₂, ..., z_n = y,

что между соседями в этой цепочке выполнено отношение :

z₀ az₁, z₁a z₂, ..., z_n-1 az_n.

Пример 2.10. На рисунке 7 изображены графы, представляющие отношение  и его транзитивное замыкание .

Рис. 7. Транзитивное замыкание отношения

В матричной форме операция транзитивного замыкания отношения  выражается через объединение степеней матрицы M отношения :

В приведенной формуле объединение матриц понимается следующим образом:

.