30. Прямая линия на плоскости с прямоугольной системой координат. Нормальное уравнение прямой.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат , тогда угол между прямыми, определяющийся углом между направляющими векторами может быть определен формулой:.

Отметим, что угол между прямыми принимает значение от , угол между направляющими.

Поэтому угол между прямыми определяется углом между векторами. Получаем, что прямые (7), (8) в прямоугольной системе координат ортогональны (15)

Отметим, что только прямоугольной декартовой системе координат вектор является перпендикулярной к прямой

_{В дальнейшем построим нормальное уравнение на плоскости. В начале введем уравнение прямой в полярной системе координат. Пусть полярная ось совпадает с Ox и l1 – ось, проходящая через начало координат перпендикулярно прямой l.}

y

N

l₁

P

M

0

x

Рис.3.

Пусть прямая и пусть длина

,- угол междуl₁ и . Если т.М лежит на l₁, то очевидно, что проекция

Последнее условие является необходимым и достаточным, для того, чтобы т. М.

или , (16)

где - расстояние от т. М до начала координат,

- угол между и.

Другими словами, - полярные координаты т. М. Таким образом, уравнение (16) является уравнением прямой в полярной системе координат. Уравнение (16) можно переписать:

,

где - координаты т. М в соответствующей прямоугольной декартовой системе координат.

Получаем:(17) – нормальное уравнение прямой на плоскости, где

- длина перпендикуляра, проведенного из начала координат на прямую,

- угол наклона нормали к оси абсцисс.

Отметим, что и- координаты ортонормали. Покажем, что общее уравнение прямой привели к нормальному виду.

Пусть прямая l : , тогда нормальное уравнение получается умножением на некоторый нормирующий множитель:при этом, знаквыбирается из условия

Если С=0, то знак произвольный.

Нормальное уравнение прямой удобно для нахождения расстояния между от произвольной точки плоскости до прямой.

y

l₁

M₀

N

M

P

x

0

Рис.4.

Произвольная точка .

,. Очевидно, что расстояние отдоl:

Рис.4.

Таким образом, получили, что расстояние от точки до прямой вычисляется следующим образом: в левую часть нормального уравнения этой прямой необходимо подставить координаты т. и полученную величину взять по модулю.

Замечание. Из рисунка видно, что если т.и начало координат лежат по разные стороны отl, то . В первом случае:, во втором -.

Последнее может быть использовано, чтобы узнать лежит ли т.и начало координат по одну сторону или по разные от прямойl.

Пример. .

§ 16. Уравнение плоскости в пространстве.

1⁰. Различные виды уравнения на плоскости.

Принципы построения уравнения плоскости в пространстве во многом совпадают с построением прямой на плоскости. Это связано с тем, что размерность прямой отличается от ??? плоскости на единицу. Размерность плоскости отличается на единицу от ??? пространства. Поэтому плоскость определяется двумя линейно-независимыми векторами и точкой, через которую эта плоскость проходит.

Утверждение 1. Пусть в плоскости задана т.и два неколлинеарных вектораи. Тогда т.. (1)

Доказательство.

| Пусть т. М лежит в плоскости, тогда это означает, что компланарны в силу неколлинеарности и, векторможет быть представлен как линейная комбинацияи, т.е. справедливо (1).

| если справедливо (1), то компланарен си , ч.т.д.∎

Уравнение (1) будет называться уравнением плоскости в векторной форме. Оно означает лишь, что плоскость проходит через т.и параллельнои. Зафиксируем в пространстве аффинновую систему координат. Пустьи- радиус-вектора т.иМ.

Тогда (1) перепишем: - векторное уравнение плоскости. (2)

Если теперь зафиксировать координаты векторов ,,,, например, то уравнение (2) :(3)

Уравнение (3) называется параметрическим уравнением плоскости. Если его переписать в виде:

,

Представляет собой линейную зависимость столбцов матрицы: = 0 (4)

Разлагая этот определитель по первому столбцу получим:

(5)

где (6)

Уравнение (4) является уравнением плоскости, проходящей через т.и параллельно.

Если в плоскости заданы 3 точки ,, то в качестве векторови:.

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки: (7)

Если в уравнение (5) раскрыть скобки и обозначить , то-общее уравнение плоскости (8)

Отметим, что в силу неколлинеарности хотя бы один из определителей (6) отличен от нуля уравнением первой степени.

Таким образом, показали, что любое уравнение плоскости может быть записано в виде уравнение первой степени.

Докажем и обратное: любое уравнение первой степени вида (8) представляет собой уравнение некоторой плоскости.

Пусть в (8) , тогда (8) имеет частное решение:, которое определяет координаты точки, через которую проходит плоскость. А вектора имеют значения.

Покажем, что плоскости, проходящие через полученную точку параллельно иопределяются уравнением (8). Действительно, уравнение плоскости имеет вид:

, где эквивалентно (8)

доказана теорема 1: Пусть в пространстве- в точности поверность первого порядка.

2⁰. Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Полупространства.

Утверждение 1. Вектор параллелен плоскости, заданной уравнением (8)(9)

Доказательство. Для доказательства утверждения необходимо и достаточно показать, что, если отложить от некоторой точки плоскости, то конец также будет лежать на плоскости.

Пусть ,,, проверим, что. Подставляя в уравнение (8):,ч.т.д.∎

Утверждение 2. Плоскости (10)

(11)

параллельны (12)

Доказательство.

| Плоскости параллельны, если вектор параллельный одной плоскости, будет параллелен другой. Поэтому, если выполняется условие (12), то в силу утверждения 1 плоскости параллельны.

| пусть , тогда вектора, которые параллельны плоскости, должны быть параллельны в силу утверждения 1 выполняется:

, ч.т.д.∎

Утверждение 3. Плоскости и, заданные уравнениями (10,11), совпадают(13)

Доказательство.

| очевидно

| пусть плоскости совпадают, тогда первые два равенства следуют из утверждения 2 и доказываем третье равенство.

Пусть тобеим плоскостям, тогда

В силу соотношения (12) получим: .

Умножим первое уравнение последней системы на и прибавим ко второму:мы доказали уравнение (13), ч.т.д.∎

Утверждение 4. Плоскости и, заданные уравнениями (10,11), параллельны и не совпадают (14)

Утверждение 5. Плоскости и, заданные уравнениями (10,11), пересекаются - неколлинеарны.

Утверждение 6. Пусть плоскости и, заданные уравнениями (10,11), пересекаются на прямойl, тогда плоскость проходит через эту прямую её уравнение имеет вид:

, (15)

где одновременно.

Доказательство. Аналогично для пучка прямых, так как (15) – это уравнение пучка плоскостей, проходящих через l.

3⁰. Плоскость в пространстве с прямоугольной декартовой системой координат.

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат . Пусть плоскостьпроходит через т.и- некоторый вектор, тогда.

Условие перпендикулярности двух векторов в ортогональном базисе:

В ортогональном базисе коэффициенты А, В, С общего уравнения (8) можно ??? как коэффициенты векторной нормали.

Вектор нормали используется для решения задач нахождения угла между плоскостями, угла между прямой и плоскостью и т.д.

По аналогии с прямой на плоскости строится нормальное уравнение плоскости.

Пусть в пространстве с прямоугольной декартовой системой координат задана плоскость . Проведем из начала координат ось.

Пусть т. N – это точка пересечения прямой l с плоскостью ,

Тогда произвольная т. М пространства 

Другими словами, , (16)

г

Рис.5.

де- единичный вектор, являющийся масштабным вектором оси l .

Рис.5.

, где- углы с осями.

Получаем нормальное уравнение плоскости: .