§15.Уравнение прямой линии на плоскости.

10. Векторное, параметрическое, общее и каноническое уравнение прямой.

Зафиксируем на плоскости аффинную систему координат, определяемую точкой О - началом координат, базисным вектором

Тогда  точка плоскости определяется координатами.

Зафиксируем на плоскости некоторую прямую линию.

Определение 1. Всякий ненулевой вектор ∥ прямой l называется направляющим вектором этой прямой.

Пусть есть точка , тогда производная точкилишь при условии, когда векторколлинеарен.

Другими словами это означает, что (1)

С другой стороны всякая точка М, для которой выполнено уравнение (1) принадлежит прямой в силу определения произведения вектора на число.

Таким образом т.Мвыполняется (1). Уравнение (1) называется векторным уравнением прямой.

Если обозначить радиус вектора т. черезисоответственно, тои уравнение (1) :, (2)

также называется векторным уравнением прямой.

Если , то (2) в координатах:

(3)

- параметрическое уравнение прямой на плоскости, проходящей через т. в направлении.

M₀

M

0

Рис.1

Исключая из уравнения (3) параметр t получаем (4)

- каноническое уравнение прямой на плоскости.

Уравнение (4) необходимо воспринимать, как пропорцию, если , то это прямая∥-ая оси Oy, проходящей через т..

Приведем уравнение (4) к общему знаменателю: . Если обозначитьполучаем:(5)

- общее уравнение прямой на плоскости.

Так как , то один из коэффициентовА или В отличен от нуля ⇒ уравнение (5) представляет собой уравнение первого порядка.

Показали, что  прямая является алгебраической линией первого порядка.

Покажем, что  алгебраическая линия первого порядка на плоскости является прямой.

Действительно, уравнение (5) имеет частное решение, например:

, то можно выбрать ,, тогда полученное решение можно???, как координаты точки , через которую проходит искомая прямая.

В качестве прямойK вектор

Покажем, что т.прямой лишь при условии, когда её координаты удовлетворяют уравнению (5).

Действительно, по построению прямой, если, т.е.

0=0 получаем тождество

Таким образом доказана следующая теорема:

Теорема 1. Прямые на плоскости – алгебраические линии первого порядка.

Из доказательства теоремы 1 следует, что если - уравнение прямой, то векторявляетсянаправляющим вектором этой прямой.

y

l₂

x

l₁

y=x

Рис.2.

Если , то из уравнения (5) получаем:, т.е., где.

.

Вместе с каноническим уравнением (4) используется уравнение прямой, проходящей через 2 точки: если l проходит через точку и , томожно выбратьK в качестве направляющего вектора прямой, поэтому уравнение (6)

называется уравнением прямой, проходящей через т.и.

??? частные случаи уравнения (5):

1. А=0 прямая ∥-ая Ox

2. B=0 прямая ∥-ая Oy

3. C=0 проходящая через начало координат

4. A=C=0 ось Ox

5. B=C=0 ось Oy

20. Взаимное расположение прямых на плоскости. Полуплоскости.

Пусть на плоскости задана аффинновая система координат .

Утверждение 1. Для того, чтобы прямые и, заданные уравнениями(7)

(8)

соответственно совпадали необходимо и достаточно, чтобы (9)

| l₁ и l₂ совпадают, это означает, что их направляющие вектора иколлинеарные, т.е.(10)

Возьмем т. этим прямым, тогда,

Умножая первое уравнение на и прибавляя по??? в силу (10): (11)

Формулы (10), (11) эквивалентны (9)

| пусть выполняется (9), тогда уравнения (7) и (8) эквивалентны  соответствующие прямые совпадают, ч.т.д.∎

Утверждение 2. Прямые и, заданные уравнениями,параллельны и не совпадают (12)

Доказательство.

| прямые параллельны и не совпадают  несовместна, а это возможно, по теореме Кронекера-Конелли ,

возможно лишь при условии это возможно при выполнении (12)

| Если выполняется первое равенство  прямые параллельны, а не выполнение второго  система (7), (8) несовместна  прямые параллельны и не совпадают, ч.т.д.∎

Следствие (из 1,2). Прямые ипересекаются (13)

Утверждение 3. Пусть прямые и, задаваемые уравнениями (7,8), пересекаются в единственной точке с координатами, тогда прямая l₃ проходит через т. она задается уравнением: (14)

Т.е. уравнение (14) – линейная комбинация (7,8)

Доказательство.

| Очевидно, а именно, если уравнение l₃ задается (14), то она проходит через т.

| пусть l₃ проходит через т.и имеет уравнение.

Возьмем на прямой l₃  т. , отличную от т.. Выберем

Покажем, что уравнение для l₃ пропорционально (14) с выбранными .

Т.к. т. не может одновременно принадлежать прямымии хотя бы одно из иотлично от нуля. Поэтому уравнениеявляется уравнением первой степени определяет некоторую прямую.

По построению эта прямая проходит через т. , т.к. через две точки плоскости, то она совпадает с прямой. Поэтому в силу утверждения 1, уравнения этих прямых пропорциональны, ч.т.д.∎

Уравнение (14) называется уравнением пучка прямых, проходящих через т..