схемотехника / Методичка

Рисунок 4. АЧХ фильтров Чебышева нижних частот.

1-второго порядка с неравномерностью в полосе пропускания 0,5 дБ; 2- второго порядка с неравномерностью в полосе пропускания 1 дБ 3- второго порядка с неравномерностью в полосе пропускания 2 дБ; 4- второго порядка с неравномерностью в полосе пропускания 3дБ; на участке А начальный наклон на переходном участке превышает 6 дБ/октава; на участке В скорость изменения ослабления приближается к 6 дБ/октава на один полюс.

Если возможна немонотонность (колебательный характер АЧХ как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания), то применяют дробь Золотарева. Она обеспечивает равноволновое приближение в полосе пропускания и изоэкстремальное в полосе задерживания. Такую аппроксимацию называют аппроксимацией по Золотареву или аппроксимацией по Кауэру.

При выборе вида аппроксимации следует учитывать следующее. При равных порядках аппроксимирующих функций аппроксимация по Золотареву обеспечивает наиболее крутой спад АЧХ в переходной области, т.е. наибольшую избирательность при малых расстройках. Кроме того, в полосе задерживания некоторые частоты полностью подавляются (нули

11

передачи). Но при больших расстройках избирательность фильтров, аппроксимированных по Чебышеву и Баттерворту, может оказаться лучше. Аппроксимация по Чебышеву обеспечивает лучшую избирательность (при любых расстройках) по сравнению с аппроксимацией по Баттерворту. Однако фазовая характеристика фильтра, аппроксимированного по Баттерворту, наиболее линейна. Наименее линейна фазовая характеристика фильтра, аппроксимированного по Золотареву.

Таким образом, реализация одних и тех же требований к АЧХ (при сравнительно небольших расстройках) осуществляется проще всего при аппроксимации по Золотареву (наименьшее n) , а сложнее всего по Баттерворту (наибольшее n).

2.2. Определение порядка передаточной функции, ее полюсов и нулей

На следующем этапе проектирования происходит определение порядка передаточной функции фильтра. Для определения порядка передаточной функции необходимо воспользоваться выражением для коэффициента передачи (3).

Частным случаем (3) является выражение для коэффициента передачи ФНЧ /1/.

где = f / fп - нормированная частота.

При максимально плоской аппроксимации получают полиномы Баттерворта. Порядок аппроксимирующей функции определяется исходя из требований к АЧХ /1/

где з = fз / fп.

Из таблицы1 приложения 02 по значению n определяют полюсы функции, аппроксимирующей по Бетторворту. Таблица составлена для случая, когда на граничной частоте величина

затухания ап = 3дБ, то есть kn 10 ап / 20 0,707 . Если kn 0,707 , то значения полюсов данные в таблице, нужно умножить на коэффициент , определяемый из соотношения [1]

Частотные характеристики фильтров Чебышева имеют колебания коэффициента передачи в полосе пропускания и спадают монотонно в полосе заграждения. Исходя из этих характеристик, порядок n аппроксимирующей функции определяется следующим образом [2]

где Arch(x) ln x x 2 1 – обратная гиперболическая функция.

Полюсы передаточной функции можно определить из таблицы 2 приложения 02.

Порядок аппроксимации по Золотареву [1] определяется из следующего выражения:

Значения функции ( ) приведены в таблице 3 приложения 02.

Зная n, полюсы и нули передаточной функции определяются из таблицы 4 приложения 02.

2.3. Преобразование частот

Очередным этапом проектирования является преобразование частот. Для унификации расчетов задача аппроксимации АЧХ любого фильтра ФНЧ, ФВЧ, ПФ и РФ сводится к аппроксимации АЧХ ФНЧ, частотная характеристика которого является функцией нормированной частоты . Переход от проектируемого фильтра к расчетному осуществляется путем замены переменной в выражениях, определяющих функцию передачи цепи. Поскольку независимой переменной в аппроксимирующей функции является частота, то замену переменной называют преобразованием частоты. Такое преобразование изменяет масштаб частот и позволяет трансформировать функцию передачи реализуемого фильтра, получая ее низкочастотное изображение. Для этого изображения и решается задача аппроксимации. После того как аппроксимация выполнена15, производят обратный переход от низкочастотного изображения к проектируемому фильтру посредством обратной замены переменной в найденной (аппроксимированной) функции передачи.

При расчете любого фильтра используют нормирование частоты [1]

где - нормированная (относительная) частота сигнала,

2 f ,

14

N 2 f N ,

f – абсолютная частота сигнала, f N – частота нормирования.

При этом: f N f П для ФНЧ и ФВЧ; f N fСР для ПФ и

РФ.

После нормирования выполняют преобразование частоты

(для ФНЧ преобразование ограничивается нормированием)

и аппроксимацию НЧ-функции изображения. Аппроксимацию завершают определением полюсов и нулей НЧ-изображения. Затем осуществляют обратный переход от полюсов и нулей НЧ - изображения к полюсам и нулям искомой передаточной функции. По этим полюсам восстанавливают искомую передаточную функцию и рассчитывают физические параметры цепи: коэффициент затухания d, нормированную собственную частоту цепи 0. После денормирования, в соответствии с выражением (9), вычисляют абсолютное значение собственной

частоты цепи 0 0 2 f N . Значения 0 и d служат

исходными данными для расчета параметров элементов цепи – конденсаторов и резисторов.

Построение ВЧ-функции с помощью НЧ-функции

осуществляется с помощью выражения

где S – комплексная частота НЧ–функции изображения; p = j – комплексная частота ВЧ-функции.

Порядок преобразования заключается в выполнении следующих шагов:

1.Выполняется нормирование заданных частот по формуле (9);

2.Задаются исходные величины, определяющие ВЧ-функцию:

затухание в полосе пропускания ап, затухание в полосе

задерживания aз и нормированная граничная частота задерживания з ;

15

3.Выбирается вид аппроксимации и с помощью формул (5)–(8) определяется порядок НЧ-изображения. При этом следует иметь в виду, что 3 1 3' ;

4.Для найденного значения n по соответствующим таблицам определяются значения полюсов (и нулей) НЧ-функции изображения;

5.На основании соотношения (10) находятся полюса (и нули) ВЧ-функции;

6.С помощью полученных данных находят физические параметры звеньев синтезируемого ФВЧ:

7.

где i – действительная часть полюса; i – мнимая часть полюса;

8.Переход от НЧ-функции изображения к синтезируемому ФВЧ завершается денормированием в соответствие с (9)

частот нулей передачи zвi и собственных часттот 0 звеньев ФВЧ.

Построение полосно-пропускающей (ПП) функции ПФ с помощью НЧ-изображения выполняется с помощью

где S – комплексная частота НЧ–функции изображения; p = j – комплексная частота ПП-функции;

= (fпв – fпн)/fср - нормированная полоса пропускания ПФ.

16

Порядок преобразования заключается в выполнении следующих шагов:

1.Выполняется нормирование заданных частот по формуле (9);

2.Задаются исходные величины, определяющие ПП-функцию: нормированная полоса пропускания ПФ ∆ , затухания в полосе пропускания aп и полосе задержки aз;

3.Выбирается вид аппроксимации и с помощью формул (6), (7) или (8) определяется порядок функции НЧ –изображения. При этом надо учесть, что при преобразовании (11) полосе

пропускания ПФ (fпв – fпн) соответствует нормированная граничная частота полосы пропускания НЧ–функции изображения 'n 1 . Полосе частот (fзв – fзн) соответствует

нормированная граничная частота полосы заграждения НЧфункции изображения:

4.

Таким образом, в формулах (6)–(8) з= 'з;

5.Для найденного значения n по соответствующей таблице определяются значения полюсов (и нулей, если дробная аппроксимация) НЧ-функции. Решая (11) относительно p,

найдем полюсы pj ПФ, через полюсы Sj НЧ–функции изображения.

Подстановка в (13) комплексно-сопряженных полюсов S j нj j нj приводит к соотношениям для нахождения полюсов ПФ.

17

действительная и мнимая части j–го полюса НЧ–функции изображения.

В узкой полосе пропускания, когда 1 , симметрия функции ПФ приближается к арифметической

Точность соотношения (15) возрастает с уменьшением полосы пропускания и достаточна для практики при = 0,2 - 0,4 [3].

При дробной аппроксимации аппроксимирующая функция характеризуется не только полюсами, но и нулями передачи. Поскольку нули передачи преобразуют по тому же закону, что и полюсы, то подставляя в соотношение (13) нули Zнj = j zнj НЧ – функции изображения, получим нули ПФ

6.По найденным полюсам определяются физические параметры звеньев 0 и в соответствии с соотношениями

(11)и (12). Как видно, порядок передаточной функции РФ удваивается в сравнении с НЧ-функцией-изображения;

7.Переход от НЧ–функции изображения к синтезируемой функции ПФ завершается денормированием по (9) частот нулей передачи zн, zв и собственных частот звеньев 0.

Построение полосно-задерживающей (ПЗ) функции РФ с помощью НЧ-изображения выполняется с помощью преобразования [1]

где S – комплексная частота НЧ–функции изображения; p = j – комплексная частота ПП-функции;

= (fзв – fзн)/fср - нормированная полоса заграждения РФ. Порядок преобразования тот же самый, что и в случае

для ПФ, только:

В пункте 3: полосе частот – fпн) соответствует нормированная граничная частота полосы задержания НЧ– функции изображения

а нормированная граничная частота полосы пропускания НЧ– функции изображения 'n 1 остаѐтся прежней;

В пункте 4: при обратном преобразовании, решая (19) относительно p, находим полюсы РФ из выражения

19

действительная и мнимая части j–го полюса НЧ–функции изображения. Нули РФ находятся также из (21).

Порядок передаточной функции РФ удваивается в сравнении с НЧ-функцией-изображения.

2.3. Реализация активных фильтров на операционных усилителях

Очередной задачей синтеза фильтров является реализация найденной аппроксимирующей функции, т.е. определение на ее основе структурной (функциональной) схемы устройства, модуль коэффициента передачи которой удовлетворяет предъявленный техническим требованиям и наилучшим образом приближается к идеальней АЧХ. Решения этой задачи неоднозначно, так как одну и ту же функцию передачи может иметь множество физически реализуемых цепей. Поэтому на этом этапе проектирования (синтеза) следует выбрать конкретную электрическую схему, которая наилучшим

20