- •С.Г. Авдєєв, т.І. Бабюк
- •2. Механічні гармонічні коливання
- •3. Гармонічний осцилятор. Пружинний, фізичний і математич-ний маятники
- •4. Вільні гармонійні коливання у коливальному контурі
- •Тема 2. Додавання гармонічних коливань
- •3. Диференціальне рівняння вільних затухаючих коливань і його розв’язування.
- •2. Додавання взаємно перпендикулярних коливань. Фігури Ліссажу
- •3. Диференціальне рівняння вільних затухаючих коливань і його розв’язування
- •Тема 3. Вимушені механічні й електромагнетні коливання
- •2. Амплітуда і фаза вимушених коливань (механічних і електромагнетних). Резонанс. Резонансні криві. Парамет-ричний резонанс
- •3. Змінний струм
- •4. Резонанс напруг
- •Тема 4. Пружні хвилі
- •1. Хвильові процеси. Подовжні і поперечні хвилі
- •2. Рівняння біжучої хвилі. Фазова швидкість. Сферична хвиля
- •3. Одномірне хвильове рівняння. Швидкість поширення хвиль
- •Тема 5. Суперпозиція хвиль
- •Тема 6. Електромагнетні хвилі
- •1. Природа електромагнетних хвиль
- •2. Хвильові рівняння електромагнетних хвиль
- •Тема 7. Інтерференція світла
- •4. Інтерференція багатьох хвиль
- •Тема 8. Дифракція світла
- •Тема 9. Поляризація світла
- •3. Подвійне променезаломлення. Звичайний і незвичайний промені. Призма Ніколя
- •4. Штучна оптична анізотропія. Обертання площини поляризації
- •Тема 10. Квантова природа випромінювання
- •1. Теплове випромінювання і його характеристики.
- •3. Закони Стефана - Больцмана й Вина
- •5. Зовнішній фотоефект. Ефект Комптона
- •Ефект Компотна
- •Використана література
- •Тема 1. Механічні й електромагнетні коливання
- •Тема 2. Додавання гармонічних коливань
- •Тема 3. Вимушені механічні й електромагнетні коливання
- •Тема 4. Пружні хвилі
- •Тема 5. Суперпозиція хвиль
- •Тема 6. Електромагнетні хвилі
- •Тема 7. Інтерференція світла
- •Тема 8. Дифракція світла
- •Тема 9. Поляризація світла
- •Тема 10. Квантова природа випромінювання
- •Рецензенти
Тема 2. Додавання гармонічних коливань
Додавання гармонічних коливань однакового напрямку і однакові частоти. Биття.
Додавання взаємно перпендикулярних коливань. Фігури Ліссажу.
3. Диференціальне рівняння вільних затухаючих коливань і його розв’язування.
Додавання гармонічних коливань однакового напрямку і однакові частоти. Биття
Розглянемо додавання двох коливань однакового напрямку з однаковими періодами, які відбуваються з деякою різницею фаз і мають різні амплітуди. Нехай ці коливання відбуваються в напрямі осі x.Запишемо рівняння цих коливань
(1)
Циклічні частоти ωв обох випадках однакові. Зміщенняxвід положення рівноваги, при участі тіла одночасно в двох коливаннях, виражається алгебраїчною сумою
або
(2)
Для знаходження результуючої амплітуди Аі початкової фази результуючого коливанняφвикористаємо векторну діаграму (рис.1).
Так-як вектори іобертаються з однаковою циклічною частотоюω, то різниця фазміж ними залишається постійною. Результуючу амплітудуАв цьому випадку визначають за теоремою косинусів, тобто
(3)
або з урахуванням того, що одержуємо:
Рис.1
(4)
і
(5)
Початкова фаза результуючого коливання φ дорівнює
(6)
Значення амплітуди (5) і початкової фази (6) підставимо в рівняння (2), одержимо
(7)
Як видно з (7), сумарне коливання має такий же напрям і відбувається з тією ж циклічною частотою ω. Амплітуда результуючого коливання залежить від різниці фаз обох коливань.
Якщо де (), то;
Якщо де (), то.
Оскільки може набувати значень від –1 до +1, то межі зміни амплітуди будуть такими:
(8)
Окремим випадком можна розглядати додавання коливань з близькими циклічними частотами і(). Періодична зміна амплітуди з часом, яка відбувається в цьому випадку, називаєтьсябиттям. Нехай додаються два гармонічних коливання з амплітудамиі близькими циклічними частотамиі. Початкові фази таких гармонічних коливань можна вибрати однаковими, тому
(9)
(10)
Різниця фаз двох коливань (9) і (10) буде дорівнювати .
Скористаємось теоремою косинусів для визначення амплітуди биття
(11)
Замінимо вираз в квадратних дужках у відповідності з формулою
(12)
Вираз (12) підставимо в (11)
. (13)
або
(14)
Фаза результуючого коливання для довільного проміжку часу знаходиться із графіка (рис.2)
(15)
Результуюче коливання биття матиме вигляд:
(16)
де – амплітуда биття.
Рис.2
Графік залежності (16) має вигляд (рис 3):
Рис. 3
Періодичність зміни амплітуди від максимуму до максимуму дає час, який називається періодом биття
, звідки(17)
Періодичність зміни амплітуди високочастотних коливань визначається за формулою
, звідки(18)
Оскільки циклічні частоти досить близькі, то наближено
(19)
За час відбуваєтьсяn гармонічних високочастотних коливань, тому
(20)
З урахуванням співвідношень (17) і (19) вираз (20) перепишеться
(21)
звідки а для частот
В процесі биття частоти генераторів визначаються в таких межах:
(22)
Биття використовується для вимірювання частоти невідомого генератора в процесі їх виготовлення. Складання однаково направлених коливань забезпечує амплітудну модуляцію в радіотехніці, а також проміжну частоту супергетеродинного прийому радіо і телепередач.