2.2 Взаємне положення прямої і площини. Друга позиційна задача.

Пряма у просторі може належити до площини, бути її параллельною або перетинати. Належність прямої до площини розглянуто в п.1.3.

Умова паралельності прямої та площини: якщо пряма параллельна будь-якій прямій площини, то вона параллельна всій площині (рис.2.6). Символьний запис: m║a → m║α(a∩b).

а) б)

Рисунок 2.6 – Приклад паралельності прямої площині

Побудова проекцій точки перетину прямої та площини – друга позиційна задача. Для її розв’язування використовують такий алгоритм (рис. 2.7, 2.8).

1. Вводимо таку допоміжну площину, щоб вона займала проекціювальне положення і проходила через задану пряму (ℓ β).

2. Знаходимо лінію перетину допоміжної площини із заданною площиною (β ∩ α → a).

3. Визначаємо точку перетину отриманої лінії та однієї з проекцій заданої прямої (ℓ ∩ a → K).

4. Знаходимо іншу проекцію точки (K).

5. Визначаємо видимість прямої.

Рисунок 2.7 – Перетин прямої та площини (наочне зображення)

Рисунок 2.8 – Перетин прямої та площини (проекційне креслення)

Задачі для самостійного розв’язування

Задача № 24

Побудувати проекції лінії взаємного перетину площин.

а) б)

в) г)

д) е)

Задача № 25

Побудувати площини паралельні заданим площинам.

а) б) в)

г) д) е)

Задача №26

Визначити графічно чи паралельні між собою пари площин.

а) б)

Задача № 27

Побудувати пряму паралельну заданій площині.

а) б) в)

Задача № 28

Визначити графічно чи паралельна задана пряма ℓ площині.

а) б)

Задача № 29

Побудувати проекції точки перетину прямої та площини.

а) б) в)

г) д) е)

ж) з) і)

2.3 Контрольний тест до інформаційного модуля 2

1. Які площини паралельні між собою?

а) α (ΔАВС) і β (а∩b);

б) γ (m║n) і β (а∩b);

в) α (ΔАВС) і σ (f⁰∩ h⁰);

г) немає.

2. Визначити правильну побудову лінії перетину площин, заданих слідами α (f ∩ h) ∩ β (l ∩ m) → k(k₁, k₂).

а) б) в) г)

3. Оберіть варіант задачі на перетин двох площин, для розв’язування якого потрібно вводити допоміжні площини.

а) б) в) г)

4. Яка умова накладається на вибір допоміжних січних площин?

а) допоміжні площини повинні займати проекціювальне положення відносно площин проекцій;

б) допоміжні площини повинні займати горизонтальне положення відносно площин проекцій;

в) допоміжні площини повинні бути перпендикулярні до заданих площин;

г) допоміжні площини повинні бути паралельні заданим площинам;

д) допоміжні площини повинні перетинати задані площини.

5. Оберіть варіант правильного розв’язування задачі на перетин площин: β(f ∩ h) ∩ α (α₂) →ℓ (ℓ₁,ℓ₂).

а) б) в) г)

6. Оберіть варіант правильного розв’язування задачі на перетин площини та прямої: α(f ∩ h) ∩ ℓ (ℓ₁,ℓ₂) → К (К₂, К₁).

а) б) в)

7. Оберіть варіант правильного розв’язування задачі на перетин площини та прямої: β (f ∩ h) ∩ m (m₁,m₂) → L (L₂, L₁).

а) б) в) г)

8. Оберіть варіант правильного твердження:

а) при розв’язуванні другої позиційної задачі допоміжна площина вводиться паралельно заданій площині;

б) при розв’язуванні другої позиційної задачі допоміжна площина займає проекціювальне положення та збігається із слідом заданої площини;

в) при розв’язуванні другої позиційної задачі допоміжна площина займає проекціювальне положення та її слід збігається з будь-якою проекцією прямої.

9. Оберіть варіант правильного розв’язку задачі на перетин площини та прямої: β (ΔАВС) ∩ ℓ (ℓ₁, ℓ₂) → К (К₂, К₁), при цьому α – допоміжна площина.

а) б)

в) г)