Лабораторні роботи з фізики / gotovi_labi / готов_ лаби / готов_ лаби № 1 / Laba(1-9)

Міністерство освіти і науки України

Вінницький національний технічний університет

Кафедра фізики

Лабораторна робота № 1-9

На тему: “Балістичний крутильний маятник”

Виконали ст. гр. 1ПЗ-06

Вінніченко О.С.

Данилюк А.М.

Олійник Ю.В.

Перевірив

Мартинюк В.Д.

Вінниця 2006

Балістичний крутильний маятник

Мета роботи: вивчення законів динаміки обертового руху на прикладі вимірювання швидкості "снаряда" з допомогою балістичного крутильного маятника.

Прилади і матеріали: балістичний крутильний маятник з вмонтованим мілісекундоміром; досліджувальне тіло-”снаряд”.

Теоретичні відомості

Крутильний маятник у найпростішому варіанті являє собою горизонтальний стержень, підвішений на пружній нитці довжиною l. З допомогою крутильного маятника одержані фундаментальні результати в фізиці, а саме: виміряно гравітаційну сталу (Г.Кавендіш), вивчено закон взаємодії точкових зарядів (Ш.0.Кулон), виміряно тиск світла (П.І.Лебедєв). Крутильний маятник, являючись основним елементом прецензійних вимірювальних приладів, знаходить широке застосування і в сучасній дослідницькій практиці, наприклад, для вимірювання магнітної сприйнятливості, вивчення процесів внутрішнього тертя в твердих тілах і ін.

В даній лабораторній роботі з допомогою балістичного крутильного маятника вимірюється швидкість "снаряда" - тіла масою m, яке вистрілює стиснена пружина.

Схема досліду для визначення швидкості v "снаряда" зображена на рис. 1. Нехай плече імпульсу, тобто віддаль від осі обертання Z (вісь співпадає з ниткою) до лінії, вздовж якої рухається "снаряд", дорівнює r. Попадаючи в мішень, "снаряд" застрягає в пластиліні і рухається разом з мішенню. Таким чином, має місце абсолютно непружний удар. Обертання маятника відносно z описується рівнянням динаміки обертового руху:

(1)

де L_z — проекція моменту імпульсу системи на вертикальну вісь z ,

M_z - проекція результуючого моменту сил на цю ж вісь.



До удару і безпосередньо після нього всі діючі сили (тяжіння, реакції) напрямлені вздовж осі z, тому проекція моменту цих сил рівна нулеві. Враховуючи це, з рівняння (1) одержуємо:

(2)

Звідки слідує, що L_z = const .

До удару маятник знаходився в стані спокою, а момент імпульсу "снаряда" був рівний mvr. Після удару маятник разом з "снарядом" обертається з початковою кутовою швидкістю . Якщо в указаному на рис.1 положенні вантажів М (на віддалі R₂ від осі обертання) момент інерції маятника позначити через I₂, то момент імпульсу його безпосередньо після удару буде:

(3)

На основі закону збереження моменту імпульсу (2) можемо записати:

(4)

Маючи початковий момент імпульсу L_2Z, маятник повертається відносно осі Z, але внаслідок деформації кручення виникають пружні сили, момент яких M() залежить від кута повороту маятника , що приводить до зменшення моменту імпульсу, а також кутової швидкості обертання. У той момент часу, коли кутова швидкість стає рівною нулю, кут повороту досягає максимального значення , яке піддається безпосередньому вимірюванню. У процесі удару механічна енергія системи не зберігається, бо частина її перетворюється у внутрішню енергію тіл, які стикаються. Але після удару рух відбувається під дією пружних сил, а дисипативними силами, внаслідок малих значень лінійних швидкостей елементів маятника, можемо знехтувати. Тому надалі правомірне застосування закону збереження механічної енергії:

(5)

причому, безпосередньо перед ударом W_1П= 0, а при  =  W_1К = 0.

Кінетична енергія системи як енергія тіла, що обертається відносно нерухомої осі, визначається за формулою:

(6)

Врахувавши всі ці висновки, закон збереження (5), приводить нас до співвідношення

(7)

де W_П() — є потенціальна енергія деформації при максимальному відхиленні маятника.

Тепер необхідно цю енергію явно виразити через кут . При повороті на безмежно малий кут d силами пружності виконується елементарна робота:

(8)

де знак "мінус" враховує, що момент сили протидіє зростанню кута повороту. Оскільки dW_П= – dA, то проінтегрувавши (8), одержуємо:

(9)

Вважаючи, що деформація має пружний характер, згідно з законом Гука запишемо:

(10)

де к — коефіцієнт кручення, що залежить від пружних властивостей нитки, її геометричної форми та розмірів.

Підстановка (10) в (9) дає:

(11)

Таким чином, закон збереження енергії (7) набуває форми:

(12)

Розв'язуючи сумісно рівняння (4) та (12) відносно швидкості v, одержуємо:

(13)

Для доведення співвідношення (10) розглянемо більш детально деформацію кручення нитки, вважаючи що модуль зсуву матеріалу її дорівнює G, а радіус — r₀. Виділимо в нижній основі частину кругового кільця радіусом x, товщиною dx з відповідним центральним кутом d (рис.2). Нехай в результаті кручення основа нитки повернулась на кут , тоді твірна AC повернеться на кут . При цьому виникне пружна напруга , тобто дотична сила, що діє на одиницю площі нижньої основи, яка визначається за законом Гука:

З трикутників ОАВ та АВС (рис. 2) знаходимо:

Враховуючи це, перепишемо закон Гука:

Знаючи механічну напругу , можемо розрахувати силу, що діє на виділений елемент кільця площиною dS = x  dx  d:

Плече цієї сили дорівнює x, тому момент її дії буде:

Інтегруючи одержаний вираз по x від 0 до r₀, а також по  від 0 до 2, одержуємо:

що співпадає з виразом (10), причому

У співвідношенні (13) величини , m, r доступні безпосередньому вимірюванню. Але величини к та I₂ невідомі. Тому необхідно провести такі два незалежні досліди, з результатів яких ці невідомі можна було б визначити.

Звернемося до аналізу руху маятника під дією моменту пружних сил. Згідно з рівнянням динаміки обертового руху

Підставивши момент сили з (10), одержимо:

Таким чином, крутильний маятник здійснює гармонічні коливання, період яких визначається за формулою:

При віддаленні вантажів M від осі z на величину R₂ період крутильних коливань буде:

(15)

а якщо змістити вантажі на віддаль R₁, період зміниться і стане рівним

(16)

Використовуючи теорему Штейнера, визначимо моменти інерції маятника в цих випадках:

(17)

(18)

де I — момент інерції важеля відносно осі z,

I₀ — момент інерції вантажів відносно вертикальної осі, що проходить через центр їх мас.

Розв'язуючи сумісно систему рівнянь (15-18), знаходимо:

, (19)

, (20)

Підстановка виразів (19) та (20) в (13) приводить до одержання основної розрахункової формули швидкості:

, (21)

Таким чином, знаходження швидкості "снаряду" з допомогою балістичного крутильного маятника зводиться до безпосереднього вимірювання таких величин:

1. Маси вантажів М, маси "снаряду" m та плеча імпульсу "снаряда" r.

2. Максимального кута повороту маятника  після пострілу.

3. Періодів T₁ і T₂ гармонічних коливань при двох положеннях вантажів M відносно осі R₁ і R₂.

Порядок виконання роботи

1. Ознайомитись з будовою та принципом дії лабораторної установки. Підготувати її до роботи.

2. Розташувати вантажі M на мінімальній віддалі R₂ від осі маятника та виміряти цю віддаль.

3. Встановити маятник так, щоб риска на мішені співпадала з нульовою поділкою кутової шкали.

4. Виконати постріл, виміряти кут  максимального відхилення маятника та віддалі r.

5. Клавішею "Сеть" ввімкнути лічильник часу.

6. Відхилити маятник на деякий кут , клавішею "Сброс" деблокувати лічильник часу та відпустити маятник.

7. Після здійснення N =10 повних коливань клавішею "Стоп" зупинити відлік та заміряти час t цих коливань.

8. Розташувати вантажі М на максимальній віддалі R₁ від осі маятника та заміряти цю віддаль.

9. Повторити вимірювання за пунктами 3 та 4.

10. Кожне з вимірювань за пунктами 3, 4 та 5, 7 виконати 3-5 разів. Результати вимірювань, а також значення мас вантажів M та "снаряда" m занести в таблицю.

Обробка результатів вимірювань

1. Вирахуємо періоди T₁ і T₂ за формулою T = t / N.

;

;

;

;

;

.

2. Визначимо середні значення T_сер.1 і T_сер.2 , а також абсолютні похибки T₁ і T₂.

Отже, .

Отже, .

3. За робочою формулою вирахуємо швидкість "снаряда".

4. Користуючись методом розрахунку похибок непрямих вимірювань, знайдемо абсолютну та відносну похибки.

Висновок:

Під час виконання лабораторної роботи ми вивчили закони динаміки обертового руху на прикладі вимірювання швидкості снаряду з допомогою балістичного крутильного маятника.