Інтегр.числення_copy
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
= lnx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du = |
1 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3.∫ x |
3 |
lnxdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
4 |
lnx − |
|
1 |
∫ x |
4 1 |
dx |
1 |
x |
4 |
lnx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dv = x3dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
− |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
v = ∫ x |
3 |
dx |
= |
x |
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
x |
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
− |
|
1 |
∫ x |
3 |
dx = |
1 |
|
x |
4 |
lnx |
|
− |
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
4 |
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 1 du = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2xdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.∫ x |
2 |
− 1dx = |
u = |
|
|
|
2 x2 − 1 |
|
|
x2 |
− 1 |
|
|
|
|
2 |
− 1 − |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dv = dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = |
∫ |
|
dx = x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
− ∫ x |
|
|
|
|
xdx |
|
= x |
|
|
x2 − 1 − ∫ |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
dx = x |
|
|
|
x2 − 1 − ∫ (x2 − 1) + 1dx = x |
|
x2 − 1 − |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 − ∫ |
|
|
|
x |
− 1dx − ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
− ∫ |
|
|
|
|
x2 − 1 |
|
|
|
|
x2 |
|
− |
|
|
|
|
dx = x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Тоді ∫ |
|
x2 − 1dx = x |
|
|
|
x2 − 1 − ∫ |
|
x2 − 1dx − ln x + |
|
|
|
|
x2 − 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Розв’язавши це рівняння відносно інтеграла, дістанемо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
x |
2 |
|
−1 dx = |
1 |
|
|
|
|
2 |
−1 − ln x + |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x x |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du = 3e3xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = e |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
e3x sin2x − |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. e3xcos2xdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = |
∫ |
cos2xdx = |
|
|
sin2x |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv = cos2xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
du = 3e3x dx |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
3∫e3x sin2xdx = |
1 |
e3x sin2x − |
|
3 |
∫e3x sin2xdx |
u = e |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− |
|
|
= |
|
|
|
|
|
v = − |
1 |
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= sin2xdx |
|
|
cos2x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= |
|
|
e |
|
|
|
|
sin2x |
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
cos2x + |
|
|
|
|
∫e |
|
cos |
2xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Отже, I = ∫ e |
3x |
cos2xdx = |
|
1 |
|
e |
3x |
sin2x + |
3 |
e |
3x |
cos2x − |
|
9 |
|
I . Розв’язавши це рі- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
вняння відносно І ( |
перенісши в ліву частину |
|
|
|
і розділивши на |
|
13 |
), |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дістанемо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
I = ∫ e |
3x |
cos2xdx = |
|
|
|
e |
3x |
( |
sin2x |
+ |
cos2x) + C = |
|
e |
3x |
(2sin2x + 3cos2x) + C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
13 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.6 Заміна змінної інтегрування
8
Цей самий важливий метод інтегрування функції, бо багато функцій, а то і цілі класи функцій інтегруються саме цим методом. Викладемо його суть.
Нехай треба знайти ∫ f (x)dx , який не є табличним, не зводиться до
табличного методом підведення деякої функції під знак диференціала і не знаходиться методом інтегрування частинами.
Часто заміна змінної інтегрування х за формулою х = φ(t), де φ(t) – деяка диференційовна функція, враховуючи те, що dx = φ′ (t)dt , може привести наш інтеграл до ∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt , який є простішим, ніж даний інтеграл.
При яких умовах ці інтеграли рівні між собою? Відповідь на це запитання дає така теорема.
Теорема. Якщо існує ∫ f (x)dx , а функція х = φ(t) неперервна разом зі
своєю похідною φ′ (t) і має обернену функцію, то справедлива рівність
∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt . (1.7)
Доведення. За умовами теореми інтеграл, що стоїть в правій частині рівності, існуватиме. Щоб переконатись в справедливості цієї рівності, покажемо, що диференціал правої частини рівності дорівнює підінтегральному виразу f(x)dx. Дійсно, за властивістю невизначеного інтеграла маємо
d (∫ (ϕ(t))ϕ′(t)dt) = f (ϕ(t))ϕ′(t)dt = f (x)dx , бо φ(t) = х, а φ′ (t)dt = dx. Отже,
справедливість рівності (1.7) доведена.
Зауваження. Часто на практиці більш зручною є підстановка g(x) = t, а не х = φ(t).
|
|
|
Приклад 1. Знайти інтеграл ∫ |
a2 − x2 dx . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Розв’язування. Зробимо заміну за формулою |
|
х = а sint, dx = a cost dt, |
||||||||||||||||||||
|
a2 − x2 = |
a2 − a2sin2t = a |
1 − sin2t = acost |
і |
|
|
t = arcsin x |
. Тоді |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
∫ |
|
|
a 2 |
− x 2 dx |
= ∫ acost |
|
|
|
acostdt |
= a 2 ∫ cos 2 tdt |
= 1 a 2 ∫ (1 |
+ cos 2t ) dt = |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
( dt + |
|
cos2tdt)= |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
|
|
a |
2 |
∫ |
|
|
|
a2 t + |
|
|
sin2t + C = |
|
|
( t + sintcost ) + C = |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
∫ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= a |
2 |
|
|
|
|
+ x |
1 − x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
+ C = a |
2 |
|
|||||
|
arcsin x |
2 |
|
+ |
arcsin x + x 1 − x |
2 |
|
arcsin x + |
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
a a |
a |
|
|
|
|
|
a a |
a |
|
2 |
a |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
+ |
|
1 x |
|
a2 − x2 |
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад 2. Знайти ∫ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
9
|
|
|
Розв’язування: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∫ |
|
|
dx |
|
|
1 |
= t , x = |
1 |
, dx |
|
|
1 |
|
|
|
|
= −∫ |
|
|
dt |
|
|
= − ∫ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x 1 − x2 |
= |
|
t |
|
= − |
x |
2 dt |
|
|
− |
1 |
|
|
t 2 − |
1 |
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= − ln t + t 2 − 1 + C = −ln |
1 |
+ |
1 − x 2 |
|
|
+ C = −ln |
1 + 1 − x 2 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад 3. |
Знайти |
|
∫ |
xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫ |
|
xdx |
|
|
|
|
x + 1 = t , |
|
x = t 2 |
|
|
= 2∫ t |
2 |
− 1 tdt |
= 2∫ ( t 2 − 1 )dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
dx = 2tdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= 2( |
|
t 2 dt |
− |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
+ C = |
2 (x + 1)3 − 2 x + 1 + C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
dt )= 2 t |
|
− t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Приклад 4. |
Знайти ∫tg 3 xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
t |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ tg |
|
xdx = |
tgx = t, x = arctgt, |
dx = |
|
|
|
|
|
dt |
= ∫ t |
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
dt. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
+ t |
2 |
|
1 + t |
2 |
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
t3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Виділимо цілу і |
дробову частину, поділивши під кутом. Тоді ∫ |
|
|
|
|
dt = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
d( t 2 + 1) |
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
tdt |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 + 1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= ∫ t − |
|
|
|
|
= |
∫tdt − ∫ |
|
|
|
|
|
= |
|
− |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
− |
|
ln(t |
+ C = |
|||||||||||||||||||
|
t 2 |
|
|
t 2 + |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
t 2 + 1 |
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
1 tg 2 x − 1 ln(tg 2 x + 1) |
+ C = |
1 tg 2 x − |
1 ln |
1 |
|
|
|
+ C = |
1 tg 2 x + ln |
|
cos x |
|
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C .
1.7 Інтегрування раціональних функцій
Перейдемо до вивчення методів інтегрування класів функцій, серед яких найважливішим є клас раціональних функцій.
Означення. Цілим многочленом або поліномом n-го степення назива-
ється функція P |
(x) = a |
0 |
xn + a xn−1 + ... + a |
n−1 |
x + a |
n |
, де а0, а1, ..., аn – зада- |
n |
|
1 |
|
|
|||
ні числа, що називаються коефіцієнтами многочлена. |
|||||||
Означення. Відношення двох цілих многочленів називається дробово– |
|||||||
раціональною або раціональною функцією або раціональним дробом. |
|||||||
Позначають раціональну функцію символом R(x). |
|||||||
Отже, |
|
|
Qm (x) |
|
|
|
(1.8) |
|
|
R(x) = P (x) , |
|
|
|
||
|
|
|
n |
|
|
|
|
де Pn(x) і Qm(x) – задані многочлени n – го і m – го степенів.
Розрізняють два випадки раціональних дробів: правильні та неправильні. Якщо m < n, тобто степінь многочлена, що стоїть в чисельнику, менший степеня многочлена, що стоїть в знаменнику, то раціональний дріб на-
10
зивється правильним, в противному випадку, тобто при m ≥ n , раціональний дріб називається неправильним.
Справедлива така теорема.
Теорема. Всякий неправильний раціональний дріб можна подати у ви-
гляді суми деякого цілого многочлена і правильного раціонального дробу.
Зауважимо, що цілою частиною цієї суми є частка від ділення многочлена Qm(x), що стоїть в чисельнику, на многочлен Pn(x), що стоїть в знаменнику, якщо скористуватись дією ділення многочленів за відомим правилом кута, чисельником правильного дробу є остача від ділення, а знаменником – Pn(x).
|
Приклад. Віділити цілу частину в неправильному дробі |
|
x4 |
+ x2 |
+ 1 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x3 + x |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Розв’язування. Поділивши упорядкований многочлен х4 + х2 +1 на |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
упорядкований |
|
многочлен |
х3 + х2 за правилом |
кута, |
дістанемо, |
|
що |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
х4 + х + 1 |
= |
|
= х −1+ |
|
2х2 +1 |
(переконайтесь в правильності цієї рівності). |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
х3 + х2 |
|
|
|
|
|
|
х3 + х2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1.7.1 Найпростіші дроби та їх інтегрування |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Означення. Найпростішими раціональними дробами називаються |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дроби таких чотирьох типів: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
, |
|
|
|
|
A |
|
|
, |
|
Ax + B |
|
|
, |
|
|
|
Ax + B |
|
, |
(1.9) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − a |
|
|
(x − a)k |
|
|
|
x2 + px + q |
( x2 + px + q )k |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
де k– натуральне число, |
|
|
а, А, В, p, q – дійсні |
числа, |
причому дис- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
кримінант |
D = p2 – 4q від′ємний. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Ці дроби лежать в основі інтегрування правильних дробів. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Перейдемо тепер до їх інтегрування. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1. ∫ |
|
|
|
|
A |
|
|
dx = A∫ |
dx |
= A∫ d (x − a) = Aln |
|
x − a |
|
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x − a |
|
|
|
|
|
|
x − a |
|
|
|
|
x − a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− a)−k +1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2. ∫ |
|
|
|
|
A |
|
|
dx = |
A∫ |
d (x − a) |
= A∫ (x − a) |
−k |
d (x − a) = A |
(x |
+ C = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
(x − a) |
k |
(x |
− a) |
k |
|
− k +1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(1 − k) (x − a)k −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
3. ∫ |
|
|
|
Ax + B |
dx . Тут можливі два випадки : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
+ px + q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) Ax+ B = 2x + p , тобто в чисельнику дробу стоїть похідна його знаменника
Ax + B = (2x + px + q)′ , тоді ∫ |
|
|
Ax + |
B |
|
dx |
= ∫ |
d ( x 2 + |
px + q ) |
= |
x |
2 |
+ px |
+ |
q |
x 2 + |
px + q |
||||
|
|
|
|
|
= ln(x2 + px + q) + C , де x2 + px + q > 0.
11
б) Ax + B ≠ (x2 + px + q)′ . Спочатку виділимо в квадратному тричлені по-
вний квадрат: x 2 + px + q = |
x2 |
|
p |
|
p 2 |
|
p 2 |
|
p |
2 |
|||
+ 2 |
|
x + |
|
|
− |
|
|
+ q = x + |
|
|
+ |
||
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
+ |
|
4q − p 2 |
. Оскільки |
|
|
|
D = p 2 − 4q < 0 , то число |
4q − p2 |
|
= a2 (для скоро- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax + B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax + B |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
чення записів), тоді ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
Зробимо заміну |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
+ px |
+ q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
змінної інтегрування заформулою |
|
x + |
= t , звідки |
x = t − |
|
і dx = dt, то- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ді матимемо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ap |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Ax + B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax + b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A t |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
+ B |
|
|
|
|
|
|
At + |
B − |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
dt = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
+ px + q |
|
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
+ a |
2 |
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
+ a |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B − |
Ap |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
At |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ap |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= A ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ( B |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
t |
2 + a 2 |
|
t 2 + a 2 |
|
|
|
|
|
|
t 2 + a 2 |
|
|
|
2 |
|
|
t 2 + a 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
d (t 2 + a2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ap |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
A |
2 |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ap |
|
|
|
|
t |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt + B |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ a |
|
|
|
|
|
B − |
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
t 2 + a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
ln(x2 |
|
+ px + q)+ |
1 |
|
|
|
Ap |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ C = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
− |
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax + B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 (B − |
Ap) arctg |
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Отже, |
∫ |
|
|
|
|
dx = |
|
|
ln(x2 + px + q) + |
2 |
|
|
+ C , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ px + q |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
де a = |
|
q − |
p2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зауваження. Правильний дріб 4-го типу аналогічним способом зводиться
до наступного ∫ |
|
|
Ax + B |
|
dx = A∫ |
|
|
tdt |
|
|
|
+ (B − |
Ap ) ∫ |
|
|
dt |
|
|
|
, |
(x |
2 |
+ px + q) |
к |
(t |
2 |
+ a |
2 |
) |
к |
(t |
2 |
+ a |
2 |
) |
к |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
перший із цих інтегралів знаходиться методом підведення під знак диференціала виразу t2+a2, а другий – підстановкою t = a tgz.
12
|
|
|
|
Приклад. Знайти ∫ |
|
|
4x − 5 |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
− 2x +10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Розв’зування. Виділимо повний квадрат в квадратному тричлені, діс- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
танемо, x2 − 2x + 10 = ( x −1)2 + 9 . Зробимо заміну змінної за формулою |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x −1 = t , |
звідки |
x = t +1 |
|
і dx = dt . Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
4x − 5 |
|
|
∫ |
4(t +1) − 5 |
|
|
|
|
|
∫ |
4t |
−1 |
= ∫ ( |
|
4t |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2tdt |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
dt |
= |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
)dt |
= 2∫ |
|
|
|
− |
|||||||
x |
2 |
− 2x |
+10 |
|
t |
+ 9 |
|
|
t |
2 |
+ 9 |
t |
2 |
+ 9 |
t |
2 |
+ 9 |
t |
2 |
+ 9 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
− ∫ |
|
|
dt |
= 2∫ |
d (t2 + 9) |
− 1 arctg |
|
t |
|
= 2ln(t2 + 9) |
− |
1 arctg |
|
t |
|
+ C = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
t2 + 9 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t2 + 9 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= 2ln( x2 − 2x + 10 ) − |
1 arctg |
x − 1 |
|
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.7.2 Деякі відомості з вищої алгебри
Розглянемо цілий многочлен n-го степеня Pn(x) в загальному вигляді. Коренем многочлена називається таке значення аргументу х, при якому многочлен дорівнює нулю. Отже, якщо x = x0 – корінь многочлена Pn(x), то
це означає, що Pn(x0)=0.
Справедлива така важлива теорема.
Теорема (теорема Безу). При діленні цілого многочлена Pn(x) на різницю х – а остача дорівнює значенню цього многочлена при х = а.
Доведення. При діленні многочлена Pn(x) на різницю х – а часткою буде деякий многочлен S(x) (n − 1) – го степеня, а остачею буде деяке чис-
ло r. Тоді можна |
записати, що Pn (x) = (x − a)S(x) + r . Ця |
рівність викону- |
||||
ється |
при всіх х≠а. |
Перейдемо в ній до границі при х→а, |
дістанемо |
|||
lim P |
(x) = lim(x − a)S(x) + r або lim P (x) = r, бо х |
– а |
→ 0. |
Оскільки |
||
x→a n |
x→a |
|
x→a n |
|
|
|
lim Pn ( x) = Pn (a) |
за |
неперервністю многочлена, |
то |
матемимо, що |
||
x→a |
|
|
|
|
|
|
Pn (а) = r, що і треба було довести.
Наслідок. Якщо х0 є корінь многочлена Pn(x), тобто Pn (x0 ) = 0 , то многочлен Pn(x) без остачі ділиться на різницю x − x0 , тобто справедлива рівність Pn (x) = (x − x0 )S(x) , де S(x) – многочлен, степінь якого на одини-
цю менший. Сформулюємо ще так звану основну теорему алгебри. Теорема 2. Всякий цілий многочлен з дійсними коефіцієнтами має
принаймі один корінь, дійсний чи комплексний.
Користуючись цією основною теоремою алгебри та наслідком теореми Безу неважко довести таку теорему.
Теорема 3. Всякий многочлен n – го степеня можна розкласти на n лінійних множників вигляду x − a і множника, що є коефіцієнтом при хn, тобто
Pn(x) = a0(x – x1)(x – x2) ·…· (x – xn).
13
x −1
Приклад 3. ∫ (x −1)2 (x + 2)dx .
Розв’язування. |
x −1 |
|
= |
A |
|
+ |
B |
+ |
C |
. |
|
(x −1)2 (x + 2) |
x − |
1 |
(x −1)2 |
x + 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
Звільнившись від знаменника, дістамо А(х1)(х+2)+В(х+2)+С(х1)2≡х+1.При х = 1=>3В=2; В= 23 . При х= –2=> 9С= –1; С= – 19 .
Далі скористаємось методом невизначених коефіцієнтів, прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях х лівої і правої частин рівності, оформивши це так
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
A + C = 0, |
|
|
|
|
|
=> A= – C = 9 ; A= |
9 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x A + B – 2C =1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x0 –2A + 2B + C=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
dx = ∫ ( |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
+ 2 |
|
1 |
|
|
|
− |
1 |
|
1 |
|
|
|
)dx = 1 |
∫ |
|
dx |
+ |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x − 1)2 (x + 2) |
|
|
|
x |
|
−1 |
(x −1)2 |
x |
+ 2 |
|
(x −1)2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
3 |
|
9 |
|
|
9 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ |
2 |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
− 1 ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
= 1 ln |
|
x |
−1 |
|
− |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
− |
1 ln |
|
x + 2 |
|
|
+ C. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x −1)2 |
|
|
x + 2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
9 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
−1 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Приклад 4. |
|
|
∫ |
|
x4 + x2 + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Розв’язування. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Це неправильний раціональний дріб; виділивши цілу |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
частину, маємо |
|
|
x4 + x2 + 1 |
= x −1 + |
2x2 |
+ 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x3 + x2 |
|
|
|
|
x3 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x4 |
+ x2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 + 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= |
|
∫ |
( x − |
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
)dx = ∫ xdx − ∫ dx + ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
3 |
+ x |
2 |
|
|
|
x |
3 |
+ x |
2 |
|
x |
3 |
+ x |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= |
|
|
x |
|
− |
x + ∫ |
2 x |
|
+ 1 |
dx . |
Останній інтеграл знайдемо, розклавши фун- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
x |
3 |
+ |
|
x 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x 2 + 1 |
|
|
|
|
2 x 2 + 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
цію |
|
2 x 2 + 1 |
|
на суму найпростіших дробів, |
|
|
|
|
|
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 3 |
+ x 2 |
|
|
|
x 3 + x 2 |
|
|
x 2 (x + 1) |
|
= Ax + xB2 + xC+1 => Ax(x +1)+ B(x +1)+ Cx2 ≡ 2x2 +1. При х = 0 => В = 1;
при х= –1 => С = 3. Знайдемо ще коефіцієнт А, користуючись методом невизначених коефіцієнтів:
A + C = 2, |
|
A + B = 0, |
=> А = 2 – С; А = 2 – 3 = –1; А = –1 |
В = 1. |
|
|
14 |
|
2x2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
dx |
|
dx |
|
dx |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
− |
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
dx = − |
|
|
|
+ |
|
|
+ 3 |
|
|
= |
|||||
∫ x3 + x2 |
|
∫ |
x |
x2 |
x |
+ |
|
∫ |
x |
x2 |
x + |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∫ |
|
|||||||||||||||||||||||||||
= −ln |
|
x |
|
− |
1 |
+ 3ln |
|
x + 1 |
|
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x4 |
+ x2 + 1 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Тоді ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
− x − |
|
− ln |
x |
+ 3ln |
x + 1 |
+ C . |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x3 |
+ x2 |
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.8 Інтегрування тригонометричних виразів
Будемо розглядати інтеграли виразів, що раціонально залежить від тригонометричних функцій , зокрема інтеграли вигляду ∫R(sin x, cos x)dx, де R– символ раціональної функції. Справедлива така терема .
Теорема. Інтеграл ∫ R(sin x, cos x)dx підстановкою t = tg(x / 2) зводить-
ся до інтеграла раціональної функції відносно t.
Доведення. Виразимо спочатку тригонометричні функції sin x і cos x через tg(x / 2) , користуючись формулами подвійного аргументу:
sinx = 2sin(x / 2)cos(x / 2) = ((2sin(x / 2)cos(x / 2) / cos2 (x / 2))/(1/ cos2 (x / 2)) .
Аналогічним прийомом доводиться , що |
|
|
cosx = |
1− tg 2 (x / 2) |
. Тоді, якщо |
||||||||||||||||||||||||
|
|
1+ tg 2 (x / 2) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
tg(x / 2) = t |
, то sinx = |
|
|
2t |
|
|
|
, cosx = |
1− t |
2 |
|
. Виразимо через t ще диферен- |
|||||||||||||||||
1+ t 2 |
1+ t |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, x = 2arctgt , |
||||||||||
ціал |
dx . Із |
|
рівності |
|
tg(x / 2) = t |
|
маємо, що x / 2 = arctgt |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
звідки dx = 2 |
|
dt. |
|
Тоді |
матимемо, |
|
що |
∫R(sinx, cosx) = |
|
||||||||||||||||||||
1+ t 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
2t |
|
|
|
1− t 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 , |
|
|
· |
|
|
|
2 dt |
= ∫R1(t)dt, де через R1(t) позначена підінтегра- |
|||||||||||||||||||
=∫R |
1+t |
1+ t 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1+t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
льна функція, яка є раціональною відносно t. Теорему доведено. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Зауваження. |
Підстановка |
t = tg(x / 2) |
називається |
універсальною |
||||||||||||||||||||||||
підстановкою. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Приклад 1. Знайти |
∫ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 + cosx |
|
|
|
|
|
|
1−t 2 |
|
||||||||||||||||||||
|
Розв’язування. Зробимо заміну tg(x / 2) = t, тоді cosx = |
, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
1+t 2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x = 2arctgt, |
|
|
dx = |
|
, |
|
|
тоді |
матимемо: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1+t2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
∫ |
|
dx |
=2∫ |
|
|
|
dt |
|
|
|
=2∫ |
|
dt |
|
= |
2 |
arctg |
t |
+C = |
2 |
arctg( |
1 |
tg |
x |
) + C. |
||
2 |
+cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ |
|
3 |
3 |
3 |
3 |
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
1−t |
2 |
|
t |
3 |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
(1+t |
|
2 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
) |
|
1+t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Універсальну підстановку не завжди вигідно використовувати. Можливі частинні випадки цього загального випадку.
1.Якщо функція R(sinx, cos x) непарна відносно sinx, тобто R(–sinx,cosx) = –R(sin x, cos x), то зручно використовувати підстановку cosx = t.
2.Якщо функція R(sin x, cos x) непарна відносно cos x, тобто R(sin x, –cos x) = –R(sin x, cos x), то зручно використовувати підстановку sinx = t.
3.Якщо функція R(sin x, cos x) парна відносно sin x і cos x одночасно, тобто
R(sin x, –cos x) = R(sin x, cos x), то використовують підстановку tg x = t.
Покажемо це на прикладах.
Приклад 2. |
∫ |
|
|
|
sin3 x |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1+ cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Розв'язування. |
∫ |
|
|
sin3x |
|
|
dx |
= ∫ |
sin2 x sinx |
|
dx = −∫ |
1− cos2 x |
d (cosx) |
= |
||||
1 |
+ cosx |
1+ cosx |
1+ cosx |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= ∫ (1− cosx)dcosx = −∫ dcosx + ∫ cosxd(cosx) = − cosx + 1 cos2 x + C. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
По суті, оскільки підінтегральна функція непарна відносно sin x, то |
||||||||||||||||||
використана підстановка cos x = t. |
|
|
|
|
||||||||||||||
Приклад 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||
Знайти ∫ |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||
3 + 2cos2 x + sin2 x |
|
|
|
|
||||||||||||||
Розв’язування. |
Підінтегральна функція |
парна |
відносно sin x i |
cos x , |
тоді застосуємо підстановку |
tg x = t. Спочатку в підінтегральній функції |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
перейдемо до cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
Зробимо |
заміну |
|||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
. |
|||||||||||||||||
3 + 2cos2 x + sin2 x |
3 + 2cos2 x +1− cos2 x |
4 + cos2 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tg x = t, дістанемо |
cos2 x = |
|
|
1 |
|
= |
|
1 |
|
, x = arctgt, dx = |
|
dt |
|
, тоді |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ tg 2 x |
|
|
1+ t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1+t2 |
|
|
|
|||||||
∫ |
|
|
dx |
|
|
= |
∫ |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
= |
|
∫ |
|
|
dt |
|
= |
∫ |
dt |
|
= ∫ |
d (2t) |
= |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
4+4t 2 |
|
4t 2 +5 |
|
||||||||||||||||||||||
|
4+cos2 x |
|
(1+t |
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)(4+ |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2t) |
|
+5 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= |
1 |
|
1 |
|
arctg |
2t |
+ C = |
|
1 |
arctg( |
|
2 |
|
tgx) + C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Зупинимося ще на таких важливих інтегралах вигляду |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
∫ R(sin2 x)dx |
і ∫ R(cos2x)dx. Ці функції інколи інтегруються за допомогою |
відомих формул пониження степеня
16
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
sin2α = |
|
(1 |
− cos2α ), cos2α = |
|
(1 |
+ cos2α ). |
|
|
||
2 |
2 |
|
|
|||||||
Приклад 4. |
Знайти ∫ sin4 xdx |
|
|
|
|
|
||||
Розв'язування. |
|
|
|
|
|
|||||
∫ sin 4 xdx =∫ |
(sin 2 x) 2 dx = ∫ ( |
1 |
(1 − cos |
2 x)) 2 dx = |
1 |
∫ (1 − 2cos 2 x + cos 2 x)dx = |
||||
|
4 |
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
=14 (∫ dx − 2∫ cos2xdx + 12 ∫ (1+ cos4x)dx = 14 (x − sin2x + 12 ∫ dx + 12 ∫ cos4xdx) =
=14 (x−sin2x+ 12 x+ 18 sin4x)+C = 83 x− 14 sin2x+ 321 sin4x+C.
1.9 Інтегрування деяких ірраціональностей
Більшість із них відповідною підстановкою зводяться до інтегралів раціональної функції відносно нової змінної інтегрування. Вкажемо на найважливіші з них.
|
1. Інтеграли |
∫ R(x, |
n1 |
x |
m |
, |
n2 |
x |
m |
2 )dx, |
де R–символ раціональної функ- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ції, n1 |
і n2 – натуральні числа, |
m1 |
і |
m2 |
– |
цілі |
|
числа, підстановкою |
||||||||||||||||||||||||
k x = t, |
|
де |
|
k – найменше спільне кратне чисел n1 і n2 , зводяться до інтег- |
||||||||||||||||||||||||||||
рала раціональної функції змінної t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
Дійсно, із рівності k x = t |
випливає x = tk , |
|
dx = k t k −1dt, |
|||||||||||||||||||||||||||
n1 |
m |
|
= x |
m / n |
2 |
km / n |
2 |
, |
n2 |
x |
m |
|
m / n |
km / n |
|
причому показники |
||||||||||||||||
|
x 1 |
|
1 |
|
= t |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
= x |
2 |
2 = t |
2 |
2 |
|||||||||||||||
степенів |
є цілі числа. |
Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|||||||||||||
∫ R(x, |
n1 |
|
m |
, |
n2 |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
k |
,t |
km / n |
km / n |
|
|
k −1 |
|
|
|||||||||
|
x 1 |
|
x |
2 )dx = ∫ R(t |
|
|
1 2 ,t |
|
2 2 )k t |
|
|
dt = ∫ R(t)dt, |
||||||||||||||||||||
де через |
|
R(t) – позначено |
|
|
підінтегральну функцію, яка є раціональною |
|||||||||||||||||||||||||||
відносно t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. Інтеграли ∫ R( x,n1 ( ax+b )m1 ,n2 ( ax+b )m2 )dx |
знаходяться за допомогою |
|||||||||||||||||||||||||||||||
підстановки k |
ax+b = t, де k – найменше спільне кратне чисел n1 і n2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax+b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Інтеграли |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx знаходяться |
за |
|
допомогою |
підстановки |
|||||||||||||||||
|
|
∫ R x, |
|
cx+d |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n |
ax+b |
= t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
cx+d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. Інтеграли вигляду |
∫ R(x, |
|
|
a2 −x2 )dx, ∫ R(x, |
x2 +a2 )dx, ∫ R(x, |
x2 −a2 )dx |
знаходяться за допомогою тригонометричних підстановок, які дають можливість звільнитись від квадратичної ірраціональності. Вибір відповідної підстановки визначається із врахуванням відповідних формул тригономет-
рії sin2 x + cos2 x = 1, 1+ tg 2 x = 1/ cos2 x та формули ch2 x − sh2 x = 1, а саме :
17