Методпособие ТМ 2010

3

Томлеева С.В., Обозов А.А., Епишов В.З. Методическое пособие к выполнению расчетно-графических работ по теоретической механике для студентов специальностей 150405, 190603, 250303, 270102, 270105, 270205,

270106, 280101, 280202.- Брянск, БГИТА, 2010.

В пособие приводятся задания к расчетно-графическим работам по теоретической механике, примеры решения заданий и краткие теоретические сведения, необходимые для их выполнения.

Рецензент: Рудницкий В.Н., к.т.н., доцент кафедры механики

Рекомендованы УМК строительного факультета

4

Введение

Теоретическая механика - это наука, в которой изучаются общие законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел. Теоретическая механика наряду с математикой и физикой имеет огромное общеобразовательное значение. Еѐ изучение способствует развитию у студентов логического мышления и подводит к

механика является одной из базовых дисциплин в учебных планах подготовки инженеров различных специальностей, т.к. в современной технике механическая форма движения всѐ ещѐ остаѐтся доминирующей. Все дисциплины, в которых изучаются вопросы расчѐта, производства и эксплуатации всевозможных машин, широко используют законы механики.

графическим работам по основным разделам теоретической механики, примеры выполнения, а также краткие теоретические сведения, необходимые для решения поставленных задач.

5

Раздел 1 Статика

1.1 Исходные положения статики

Окружающие нас тела взаимодействуют друг с другом тем или иным образом. Взаимодействие реальных тел приводит к их деформации, однако в статике деформациями тел пренебрегают, то есть все тела считают абсолютно твердыми. Такой подход упрощает решение задач.

Мерой механического взаимодействия тел является сила. Сила-это векторная величина (рисунок 1.1), которая характеризуется числовым значением (модулем), направлением и точкой приложения. То есть сила определяет интенсивность и направление взаимодействия. Линия, вдоль которой действует сила, называется линией действия силы.

В основе статики лежит несколько аксиом. Эти аксиомы являются следствиями законов механики, подтверждаются повседневным опытом и принимаются без математических доказательств.

Аксиома 1. Абсолютно твердое тело находится в равновесии под действием двух сил только в том случае, если эти силы равны по модулю и направлены в

противоположные стороны вдоль одной линии.

Аксиома 2. Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять систему сил, эквивалентную нулю.

Из данной аксиомы вытекает следствие, согласно которому силу можно переносить вдоль линии действия в любую другую точку тела. Действие силы на тело при этом не изменится.

Аксиома 3. Равнодействующая R двух пересекающихся сил приложена в точке их пересечения и изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих силах (рисунок 1.2).

Аксиома 4. Силы, с которыми действуют друг на друга два тела, всегда равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

Аксиома 5. Если деформируемое тело находится в равновесии под действием некоторой системы сил, то

равновесие не нарушится и в том случае, если это тело станет абсолютно твердым.

Эту аксиому называют принципом отвердевания, из которого следует, что условия равновесия, являющиеся необходимыми и достаточными для абсолютно твердого тела, являются необходимыми, но недостаточными для деформируемого тела. Например твердый стержень находится в равновесии по действием двух сил, равных по модулю и направленных вдоль оси стержня в любую сторону, а нить будет находится в равновесии только под действием двух сил равных по модулю и направленных вдоль нити друг от друга. Иначе нить просто сомнется.

1.2 Связи и их реакции

Твердое тело называется свободным, если оно может перемещаться в пространстве в любом направлении. Как правило, все тела, которые нас

6

окружают свободными не являются. Их перемещение ограничено другими телами. Тело, которое ограничивает свободу перемещения рассматриваемого тела называется связью. Механическое действие связи на тело характеризуется реакцией связи. Реакция связи это сила, с которой связь действует на тело.

При решении задач твердые тела следует рассматривать как свободные, применив к ним принцип освобождаемости от связей, согласно которому любое несвободное тело можно рассматривать как свободное, на которое кроме задаваемых сил, действуют реакции связей. То есть на расчетной схеме связь отбрасывается, ее действие на тело изображается в виде реакций, при этом сама связь уже не показывается.

Рассмотрим примеры связей и их реакции.

Гладкая плоскость не препятствует перемещению тела вдоль плоскости, но не допускает перемещения в направлении перпендикулярном плоскости. Действие плоскости на тело выражается нормальной реакцией N (рисунок 1.3), которая направлена перпендикулярно плоскости.

Реакция стержня S (рисунок 1.4) всегда направлена вдоль стержня. Стержень может находиться в сжатом или растянутом состоянии. При решении задач стержень принято считать растянутым. Реакцию

стержня S при этом направляют от узла внутрь стержня.

Реакцию нити T (рисунок 1.4) всегда направляют от тела вдоль нити. Нить может быть только растянута.

На рисунке 1.5 в т. В показан неподвижный цилиндрический шарнир или подшипник. Такой тип связи препятствует любому поступательному передвижению, но дает ей возможность свободно вращаться

вокруг оси шарнира.

А – подвижный цилиндрический шарнир или шарнирно-подвижная ( катковая ) опора (рисунок 1.5). Ее можно получить из шарнирнонеподвижной, если последнюю поставить на катки.

Тогда в этой опоре не возникнет реакции, направленной вдоль поверхности, на которой стоят катки, и останется реакция, направленная перпендикулярно поверхности, на которой стоят катки.

Сферический шарнир представляет собой шар, который может вращаться как угодно внутри сферической полости. Направление реакции заранее указать нельзя, поэтому ее раскладывают по трем осям координат на три составляющие XА, YА, ZА. Обозначается на схемах также как неподвижная шарнирная опора.

7

Подпятник представляет собой соединение цилиндрического шарнира и опорной плоскости, которая не дает перемещаться валу вниз. Реакция подпятника раскладывается на составляющие XА, YА, ZА.

1.3 Проекция силы на ось

Проекцией силы на ось называется алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси.

Рисунок 1.6 – Проекции силы F на оси координат

Для силы, показанной на рисунке 1.6, ее проекции на оси координат будут равны:

Fx a1b1 F cos Fy a2b2 F sin

Проекция силы имеет знак «плюс», если перемещение от ее начала (например, от точки а1) к концу (к точке b1) происходит в положительном направлении оси и знак «минус», если в отрицательном.

1.4 Момент силы относительно центра

Твѐрдое тело может совершать вращение под действием силы вокруг какого-либо центра. Вращательная способность силы характеризуется еѐ моментом. Рассмотрим силу F, приложенную в точке

А тела. Пусть сила F стремится повернуть тело вокруг точки О. Точка О называется моментной точкой или центром момента. Перпендикуляр, опущенный из моментной точки на линию действия силы, называется плечом силы F относительно точки О. Обозначается h.

8

произведению модуля силы F на длину плеча h.

Принято считать, что момент имеет знак «плюс», если сила стремится

стремящейся повернуть тело против часовой стрелки.

Как известно, модуль векторного произведения двух векторов

перпендикулярно плоскости, содержащей силы или «на нас», или «от нас». Эти направления и характеризуются знаками «плюс» или «минус» соответственно.

Впространственной системе координат вектор M O (F ) характеризуется:

1)модулем силы F и длиной плеча h;

1.5 Пара сил

Парой сил называется система двух сил, равных по модулю и противоположных по направлению и лежащих на разных линиях действия. Плоскость, проходящая через линии действия сил, называется плоскостью пары.

Расстояние между линиями действия сил пары называется плечом пары. Под действием пары сил свободное тело может совершать вращательное движение.

9

А вращательная способность силы характеризуется моментом этой силы

Направление этого вектора перпендикулярно плоскости пары. Принято считать, что вектор M направлен в ту сторону, откуда вращение тела под действием пары видно против часовой стрелки.

В отличие от вектора момента силы относительно центра О, приложенного в точке О, где моментная точка указывается в обозначении вектора момента ( M O (F ) ), момент пары является

свободным вектором. Он может быть приложен в любой точке плоскости пары.

1.6 Условие равновесия произвольной плоской системы сил

Произвольной плоской системой сил называется система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости и не пересекаются в одной точке.

Очевидно, что для равновесия любой системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и еѐ главный момент относительно любого центра А были равны нулю:

Векторные уравнения (1.6) можно записать тремя системами уравнений равновесия произвольной плоской системы сил:

1.7 Пример выполнения расчетно-графической работы «Определение реакций опор составной конструкции»

Дано: F1 =10 кН, М =30 кНм, q=5 кН/м.

Определить реакции опор в точках А и В, реакцию соединения в точке С.