7. Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Исследование функций и построение их графиков следует проводить по следующей схеме.

1. Найти область определения функции.

Переменная величина называетсяфункцией переменной величины , если каждому допустимому значениюсоответствует единственное значение. Переменная величинапри этом называетсянезависимой переменной или аргументом функции.

Множество всех значений аргумента, при которых функция принимает определенные действительные значения, называется областью определения этой функции. Множество всех значений функции называется областью ее значений.

Область определения и область значений функции f обозначают символами исоответственно. Область определенияназываетсясимметричным множеством, если вместе с каждым элементом оно содержит и противоположный элемент ().

2. Исследовать, является ли функция четной или нечетной.

Функция называетсячетной, если ее область определения - симметричное множество и выполняется равенствопри всех.

Функция f называется нечетной, если ее область определения - симметричное множество и выполняется равенствопри всех.

График четной функции симметричен относительно оси ординат ОY, а график нечетной функции – относительно начала координат. Поэтому, если исследуемая функция четная или нечетная, то ее достаточно исследовать при положительных значениях аргумента из области ее определения.

3. Исследовать, является ли функция периодической.

Множество называетсяпериодическим с периодом Т (), если для любоговыполняетсяи.

Функция f называется периодической с периодом Т, если - периодическое множество с периодомТ и для любого выполняется равенство.

График периодической с периодом Т функции переходит в себя при сдвиге на Т вдоль оси абсцисс.

4. Найти точки пересечения графика с осями координат и интервалы знакопостоянства, то есть промежутки на которых или.

5. Найти вертикальные асимптоты графика функции.

Прямая на плоскостиназываетсявертикальной асимптотой функции , если один из односторонних пределовилиравен.

Таким образом, прямая является вертикальной асимптотой функции, если точка- точка разрыва второго рода для функции.

6. Исследовать поведение функции на бесконечности и найти ее горизонтальные и наклонные асимптоты.

Прямая называетсянаклонной асимптотой графика функции при(), еслипри().

Теорема 1. Для существования наклонной асимптоты прифункциинеобходимо и достаточно, чтобы привыполнялись условия:

1. ,,

2. ,.

7. Найти точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции.

Функция называетсявозрастающей (убывающей) на , если для любыхиз неравенстваследует неравенство().

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.

Теорема 2 (достаточное условие монотонности). Пусть функция определена и непрерывна наи дифференцируема на. Если(), товозрастает (убывает) на.

Точка называетсяточкой максимума (точкой минимума) функции , если во всех точках, достаточно близких к точкеи отличных от нее, выполнено неравенство().

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции.

Точка называетсяточкой строгого максимума (строгого минимума) функции , если во всех точках, достаточно близких к точкеи отличных от нее, выполнено неравенство().

Значение функции в точке называетсястрогим максимумом (строгим минимумом) функции.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в них – экстремумами функции.

Теорема 3 (необходимое условие экстремума). Если функция имеет в точкеэкстремум, то производная функции в этой точке равна нулю или не существует.

Точка называетсястационарной точкой функции , если. Точканазываетсякритической точкой функции , еслиили не существует.

Из теоремы 3 следует, что точками экстремума могут быть только критические точки. Обратное не всегда верно.

Теорема 4 (Достаточное условие экстремума. Первое правило). Пусть в точке производная функцииобращается в нуль и при переходе через эту точку меняет знак, тогда точка- точка экстремума функции, причем если:

1) приипри, то- точка строгого максимума;

2) приипри, то- точка строгого минимума.

Теорема 5 (Достаточное условие экстремума. Второе правило). Если в точке первая производная функцииравна нулю, а вторая производная отлична от нуля, то- точка экстремума, причем:

1) - точка максимума, если;

2) - точка минимума, если.

Алгоритм нахождения точек экстремума для функции, непрерывной на :

Найдем критические точки функциина. Расположим их в порядке возрастания:. Они делятна интервалы,,…,. В каждом из них, она знакопостоянна (положительна, или отрицательна). Для определения знака производной в интервале надо определить ее знак в любой точке интервала. Затем по изменению знака производной при переходе от одного интервала к другому определим точки экстремума по теореме 4.

8. Определение направлений выпуклости графика функции и точек перегиба.

Пусть функция дифференцируема на. Тогда существует касательная к графику функциив любой точке,, причем эти касательные не параллельны оси.

Функция называетсявыпуклой вверх (вниз) на , если график функции в пределахлежит не выше (не ниже) любой из своих касательных.

Теорема 6 (достаточное условие выпуклости). Пусть функция дважды дифференцируема на. Тогда если() на, то функция выпукла вниз (вверх) на.

Точка называется точкой перегиба функции , если при переходе через эту точку меняется направление выпуклости функции .

Теорема 7 (необходимое условие перегиба). Если в точке перегиба функциивторая производная существует и непрерывна, то она в этой точке равна нулю.

Теорема 8 (достаточное условие перегиба). Если и

1) меняет знак при переходе через , то - точка перегиба функции ;

2) не меняет знака при переходе через, тоне является точкой перегиба функции.

9. Построение графика функции.

Графиком функции называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данной функциональной зависимости.

Пример 7.1. Исследовать функцию на монотонность и направление выпуклости, найти экстремумы и точки перегиба.

Решение.

1. Найдем область определения функции.

, так как данная функция – многочлен.

2. Исследуем функцию на монотонность, найдем точки экстремума.

Найдем вначале критические точки функции.

.

, так как производная тоже является многочленом.

или , или. Следовательно,,,– критические точки функции.

Нанесем критические точки функции на числовую прямую и определим знакипроизводной в каждом из получившихся промежутков.

На промежутках ,функция убывает, на промежутках,функция возрастает.

Точки и – точки минимума функции, .

Точка – точка максимума функции, .

3. Исследуем функцию на направление выпуклости, найдем точки перегиба.

.

 .

Нанесем точки х₁ и х₂ на числовую прямую и определим знаки второй производной в каждом из получившихся промежутков.

На промежуткахифункция выпукла вниз, на промежуткефункция выпукла вверх. Точки и являются точками перегиба.

Пример 7.2. Исследовать функцию на монотонность и направление выпуклости, найти экстремумы и точки перегиба.

Решение.

1. Найдем область определения функции.

:   .

2. Исследуем функцию на монотонность, найдем точки экстремума.

, .

. Следовательно, – критическая точка функции.

Нанесем область определения функции и критическую точку на числовую прямую. Определим знаки производной на каждом из получившихся промежутков.

На промежутках,функция убывает, на промежуткефункция возрастает. Точка– точка максимума,.

3. Определим направление выпуклости графика функции и найдем точки перегиба.

.

  .

Точка- точка возможного перегиба. Определим знаки второй производной в промежутках,,.

На промежутках ,функция выпукла вверх, на промежуткефункция выпукла вниз. Точка– точка перегиба.

Пример 7.3. Провести полное исследование функции и построить ее график.

Решение. 1. .

2. Функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Функция не является периодической.

4. Найдем точки пересечения графика с осями координат и промежутки знакопостоянства. Ось Ох график не пересекает, так как для всех. Ось Оу: ,.

при ,при.

5. Функция непрерывна на области определения, так как является элементарной, – точка разрыва. Исследуем характер разрыва:

, .

Следовательно, – точка разрыва второго рода, прямая– вертикальная асимптота графика функции.

6. Исследуем поведение функции при и при:

, . Следовательно, прямая– горизонтальная асимптота графика функции при.

Так как , то других наклонных асимптот принет.

Выясним, есть ли наклонные асимптоты при :

. Следовательно, при наклонных асимптот нет.

7. Исследуем функцию на монотонность и экстремум.

,

–точка минимума, – минимум.

8. Исследуем функцию на направление выпуклости и перегиб.

=.

на ,не существует в точке .Точек перегиба нет.

9. Построим график функции (рис. 4).

Рисунок 4 – Иллюстрация к примеру 7.3.

Пример 7.4. Исследовать функцию и построить её график.

Решение. Исследуем данную функцию.

1. Областью определения функции является множество .

2. Функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Функция не является периодической.

4. Точки пересечения графика данной функции с осями координат: и. Ордината точки графикапри,при.

5. Так как функция является элементарной, то она непрерывна на всей области определения. Легко находим, что - вертикальная асимптота, причем:

, .

6. Исследуем поведение функции на бесконечности и найдем горизонтальные и наклонные асимптоты:

Так как , то горизонтальных асимптот нет.

,

.

Таким образом, существует единственная наклонная асимптота

7. Исследуем функцию на монотонность и найдем экстремумы:

.

Из следует, откуда,.

В интервале , следовательно, функция возрастает в этом интервале; в, т. е. функция убывает. Поэтому точкаявляется точкой максимума:. В интервале, следовательно, функция убывает на этом интервале; в, т. е. функции возрастает. В точке имеем минимум: .

8. Исследуем график функции на направление выпуклости и определим точки перегиба. Для этого найдем

.

Очевидно, что в интервале , следовательно, в этом интервале кривая выпукла вверх; в интервале, т. е. в этом интервале кривая выпукла вниз. Так как прифункция не определена, то точка перегиба отсутствует.

9. График функции изображен на рис. 5.

Рисунок 5 – Иллюстрация к примеру 7.3.