16. (Логарифмическая производная).

2. Геометрические приложения производной. Уравнения касательной и нормали

Геометрический смысл производной состоит в следующем: производная функции f(x) в точке х₀ равна угловому коэффициенту касательной к кривой y=f(x) в точке (х₀; f(x₀)), т.е. равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох (рис.1).

Если функция f дифференцируема в точке х₀, то график этой функции имеет касательную, угловой коэффициент которой равен .

Рисунок 1 – Геометрическое приложение производной.

Тогда уравнение касательной имеет вид

. (2)

Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀) и перпендикулярная к касательной, называется нормалью к графику функции в точкеM₀(x₀;y₀). Тогда , и, значит,уравнение нормали имеет вид

. (3)

Углом между двумя кривыми в точке их пересечения называется угол между касательными к кривым в этой точке.

Угол между двумя прямыми с угловыми коэффициентамиинаходится по формуле:

, (4)

причем знак “плюс” соответствует острому углу , а знак “минус”– тупому.

Если , то касательные –взаимно перпендикулярны, а кривые называются ортогональными.

Пример 2.1. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссойx₀=1.

Решение. Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x₀ имеет вид (2).

Вычислим значение функции в данной точке: .

Найдем производную функции и ее значение в данной точке:

, .

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

, – уравнение касательной.

Уравнение нормали к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x₀ имеет вид (3).

Подставим найденные значения в это уравнение:

, – уравнение нормали.

Пример 2.2. Найти уравнение касательной к графику функции , которая параллельна прямой. Сделать чертеж.

Решение. График функции – парабола. Так какпри,, то вершиной параболы является точка (2; –1). По условию, касательнаяк параболе и данная прямаяс уравнениемпараллельны; значит их угловые коэффициенты равны:k₁ = y′₁ ,,. Следовательно,x₀ = 3 – абсцисса точки касания параболы и прямой,– ее ордината. Таким образом, уравнение касательнойимеет вид:(рис. 2).

Рисунок 2 – Иллюстрация к примеру 2.2.

3. Дифференцирование неявных функций

Говорят, что уравнение задает неявно функцию , на интервале, если для всехвыполняется равенство.

Для вычисления производной функции следует продифференцировать потождество, помня, чтоесть функция отx, а затем полученное уравнение разрешить относительно .

Пример 3.1.Найти значение в точкедля функции, заданной неявно уравнением.

Решение. Дифференцируя по x обе части данного уравнения и считая при этом функцией отx, получаем:

,

откуда .

Полагая x = 1, y = –1, находим

.

Пример 3.2. Найти величину угла между касательными, проведенными в точках пересечения кривойx²+y²– 4x + 4y + 3 = 0 с осьюOx. Сделать чертеж.

Решение.Поступая по аналогии с предыдущим примером, находим:

y' =(*)

Точки пересечения данной кривой с прямой y = 0 являются решениями следующей системы:

Таких точек две: А(1;0) иВ(3;0). Полагаяx=1,y =0, находим согласно (*) угловой коэффициентk₁ касательной к данной кривой в точкеА:

k₁ =у' (А) ==.

Аналогично находим угловой коэффициент k₂касательной в точкеВ:

k ₂ = у' (В ) = . Уголθ удовлетворяет равенству , значит , откуда .

Прежде чем сделать чертеж , преобразуем данное уравнение в уравнение (х– 2)²+ (у+ 2) ² = 5, которое определяет окружность с центромО'(2;2) и радиусомR=( рис.3).

Рисунок 3 – Иллюстрация к примеру 3.2.