
- •Федеральное агентство по образованию
- •Введение
- •1. Определение производной. Дифференцирование функций
- •16. (Логарифмическая производная).
- •2. Геометрические приложения производной. Уравнения касательной и нормали
- •3. Дифференцирование неявных функций
- •4. Дифференциал функции. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •6. Правило Лопиталя
- •7. Применение производной к исследованию функций и построению графиков
- •8. Нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке
- •9. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин
- •Варианты заданий для ргр
- •Литература
- •Формат Объем Тираж Заказ
Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО
«Брянская государственная инженерно-технологическая
академия»
Кафедра математики
Методические указания по выполнению
расчетно-графической работы
“Приложения производной функции одной действительной переменной”
для студентов очной и заочной формы обучения
всех специальностей
Брянск 2009
Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО
«Брянская государственная инженерно-технологическая
академия»
Кафедра математики
УТВЕРЖДЕНЫ
научно-методическим
советом академии
Протокол № ____
oт “____”___________2009 г.
Методические указания по выполнению
расчетно-графической работы
“ Приложения производной функции одной действительной переменой ”
для студентов очной и заочной формы обучения
всех специальностей
Брянск 2009
Авторы:
Антоненкова Ольга Евгеньевна
Баранова Ирина Михайловна
Часова Наталья Александровна
Рецензент: профессор каф. физики, к. физ.-мат. наук Евтюхов К. Н.
Рассмотрен УМК МТФ
Протокол № от
Содержание
Введение 5
1. Определение производной. Дифференцирование функций 6
2. Геометрические приложения производной. Уравнения касательной и нормали 7
3. Дифференцирование неявных функций 9
4. Дифференциал функции. Применение дифференциала к приближенным вычислениям 11
5. Производные и дифференциалы высших порядков 13
6. Правило Лопиталя 14
7. Применение производной к исследованию функций и построению графиков 16
8. Нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке 27
9. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин 28
Варианты заданий для РГР 32
Литература 43
Введение
Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:
1) о разыскании касательной к произвольной линии
2) о разыскании скорости при произвольном законе движения
Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 – 1557 гг.) – здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.
В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.
1. Определение производной. Дифференцирование функций
Производной функции у = f (x) называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю:
.
(1)
Если
этот предел конечный, то производная
существует, а функция f
(x) называетсядифференцируемой в точкеx.
Производная обозначается или,
или
Процесс нахождения производной называется
дифференцированием функции.
Правила дифференцирования функций.ПустьС R – постоянная,и = и (х), v = v(x) —функции, имеющие производные.
1. |
С ' =0. |
4. |
(Си)' =С ∙ u' . |
2. |
(u ± v)' = и' ± v'. |
5. |
|
3. |
(u ∙ v)’ =u’ ∙ v + u ∙ v’. |
|
|
6. Правило дифференцирования сложной функции. Если функцияy = f (u) дифференцируема пои, а функцияи = φ (x) – по х, то сложная функцияy = f (φ(x)) имеет производнуюy' =f ' (u) ∙ u' (x) .
Таблица производных элементарных функций
1. |
|
9. |
|
2. |
|
10. |
|
3. |
|
11. |
(ctgu) |
4. |
|
12. |
|
5. |
|
13. |
|
6. |
|
14. |
|
7. |
|
15. |
|
8. |
|
|
|