31

Лабораторная работа № 34 исследование собственных колебаний струны и воздушного столба методом резонанса Цель работы

1.Определить собственные частоты колебаний струны при различных натяжениях.

2. Исследовать зависимость скорости распространения поперечных колебаний от натяжения струны.

3. Определить длину стоячей волны в воздушном столбе.

Теоретическое введение

Стоячая волна возникает в результате наложения двух волн одинаковой амплитуды и частоты, распространяющихся в противоположных направлениях, при этом вторая волна может возникнуть при отражении первой волны от преграды.

Уравнения бегущей и отраженной волн, распространяющихся вдоль оси ОХ, можно записать следующим образом:

S₁ = A cos(ωt-kx), S₂ = A cos(ωt+kx+φ),

где S₁ и S₂ – смещение точек среды, имеющих координату х, в момент времени t; ω – циклическая частота колебаний (ω = 2π/Т, где Т – период колебаний); А – амплитуда колебаний; k – волновое число (k = 2π/λ, где λ – длина волны); φ – изменение фазы волны при отражении.

При наложении волн выражение для смещения точки в стоячей волне будет иметь вид:

S = S₁+S₂ = B cos(ωt+φ/2), (1)

где В – амплитуда стоячей волны:

B = 2A cos(kx+φ/2). (2)

Из выражения (2) следует, что амплитуда стоячей волны является периодической функцией координаты и не зависит от времени.

Если все точки среды в бегущей волне совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе, то все точки среды в стоячей волне колеблются одновременно, но с различными амплитудами. Точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю, называются узлами стоячей волны, а точки, колеблющиеся с максимальной амплитудой B_max=2A, - пучностями.

Рассмотрим случай отражения волны от среды с большим волновым сопротивлением (от более плотной среды). При этом фаза волны при отражении изменяется на противоположную (φ = -π). Этот случай называется отражением с потерей полуволны.

Подставив φ = -π в выражения (1) и (2), получим:

S = B sin ωt, (3)

где

B = 2A sin kx. (4)

Найдем координаты узлов стоячей волны. Для этого в уравнении (4) положим В = 0. Тогда sin kx = 0, откуда следует, что kx = mπ, где m = 0, 1, 2 …, и

x_уз = mπ/k = mλ/2 = 2mּ(λ/4). (5)

Координаты пучностей найдем из условия: B = B_max= ± 2A. Знак “- “ означает, что фаза колебаний при переходе через узел изменяется на противоположную. Таким образом, для пучностей sin kx = ± 1, следовательно kx = (2m + 1)π/2. Определим из этого уравнения координаты пучностей:

x_пучн= (2m + 1)π/(2k) = (2m + 1) ּ(λ/4). (6)

Аналогичные рассуждения для случая отражения волны от менее плотной среды (φ = 0) показывают, что при отражении без потери полуволны узлы и пучности поменяются местами по сравнению с рассмотренным случаем φ = -π. Легко показать, что расстояние между двумя соседними узлами или пучностями равно λ/2, а расстояние между соседними узлом и пучностью равно λ/4.

Стоячие волны возникают при колебаниях струн, стержней, воздушных столбов, мембран и т.п.