2.9. Нахождение средней квадратической ошибки уравнения

Так как значения известны без ошибок, а значениянезависимы и равноточны, то оценка дисперсии вычисляется по формуле:

, где , (23)

–фактические значения результативного признака, полученного по данным наблюдений, – значения результативного признака, рассчитанного по уравнению регрессии и полученного подстановкой значений факторного признака в уравнение регрессии:. В нашем примере.

Средняя квадратическая ошибка уравнения регрессии: .

Для нахождения оценки дисперсии величинысоставим таблицу:

№
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	4,055 4,525 4,995 5,465 5,935 6,405 6,875 7,345 7,815 8,285	3 7 13 14 15 18 12 11 2 5	35,11 39,3329 52,1638 64,67 78,4647 94,23 111,4733 127,8209 153,35 165,174	30,8811 40,9186 52,2328 64,8238 78,6916 93,8362 110,2547 127,9559 146,9309 167,1827	17,8832 2,5143 0,0048 0,0236 0,05149 0,1551 1,4778 0,01822 41,2047 4,0350	53,6497 17,6001 0,0618 0,3311 0,7723 2,7918 17,7335 0,2004 82,4094 20,1752

.

Средняя квадратическая ошибка уравнения регрессии

.

Сравним полученную величину со средним квадратическим отклонением результативного признака , получим, т.е., следовательно, использование уравнения регрессии является целесообразным.

2.10. Интервальные оценки параметров квадратичной линии регрессии генеральной совокупности

Доверительные интервалы для коэффициентов при заданной доверительной вероятности имеют вид:, гдеопределяется из таблицы для закона распределения Стьюдента по выходным величинами числу степеней свободы.

В данном случае ,, отсюда.

Оценки коэффициентов определяются формулами

,

где ,– определитель системы (22),– алгебраическое дополнение элементав определителе.

;

;

;

; ;

;

.

;

;

;

;

;

;

.

;

;

;

;

;

;

.

2.11. Нахождение коэффициента детерминации

Коэффициент детерминации, интегрально характеризующий точностные свойства уравнения регрессии, определяем по формуле (21).

, ,,

.

Сравним с.– следовательно, полученная регрессионная модель работоспособна.

2.12. Проверка адекватности регрессионной модели

Проверка адекватности модели возможна только при , где– число опытов (),– число оцениваемых коэффициентов регрессии математической модели (). В нашем случае, следовательно, можно проводить проверку адекватности.

Найдем дисперсию адекватности ,

где ; .

Получим .

Найдем ,где ;.

Найдем , где– уровень значимости,– число степеней свободы дисперсии адекватности,– число степеней свободы дисперсии воспроизводимости.

Сравним и,.

Построенная модель предсказывает значения выходной величины с той же точностью, что и результаты эксперимента.

Список литературы:

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 2003. – 479 с.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 2003. – 405 с.

3. Виленкин Н.Я., Потапов В.Г. Задачник-практикум по теории вероятностей с элементами комбинаторики и математической статистики. М.: Просвещение, 1979. – 112 с.

4. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 573 с.