2. Замена переменной

Используя формулу для дифференциала функции , с помощью замены часто удается упростить интегральное выражение вида

,

где - первообразная для функции .

Приведем некоторые формулы для преобразования дифференциалов:

, ,

, ,

, .

Рассмотрим несколько примеров.

.

.

Иногда при интегрировании функции, содержащей в знаменателе неразложимые квадратные трехчлены (с отрицательными дискриминантами), надо выделить в трехчлене полный квадрат. Общее правило выделения полного квадрата в неразложимом трехчлене:

.

Рассмотрим простейшие примеры.

.

.

Иногда удобнее проводить замену переменных в обратном порядке. Пусть и взаимообратные и непрерывно дифференцируемые функции. Если - первообразная для функции , то

.

Функция подбирается так, чтобы упростить подынтегральное выражение.

.

Если дробных степеней от выражений несколько, то делаем замену

,

где р – наибольший общий знаменатель всех показателей степеней.

.

При этом мы разделили на .

Вычислим еще несколько интегралов.

.

.

3. Интегрирование по частям

Если , - непрерывно дифференцируемые функции, то справедлива формула интегрирования по частям

или

.

Приведем наиболее типичные примеры.

.

.

.

Такие интегралы аналогичным образом вычисляются и в случае, когда в первом интеграле вместо множителя или во втором интеграле вместо множителя стоит некоторый многочлен степени n. При этом надо интегрировать последовательно по частям n раз.

Интегралы следующих типов выражаются сами через себя.

.

Отсюда,

, .

.

Поэтому,

, .

Упражнение. Применяя метод интегрирования по частям, выполнить соответствующие задания из расчетно-графической работы.

4. Интегрирование рациональных функций

Рациональной называется функция вида ,

где и - многочлены степени и соответственно, . Поэтому интегрирование рациональных функций сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби

, .

При этом можно считать коэффициент при равным единице.

Первым шагом при вычислении интеграла от функции такого вида является разложение знаменателя на множители

,

где - корни многочлена кратности соответственно, а трехчлены , не имеют действительных корней . При этом .

Следующим шагом является представление дроби в виде суммы простейших дробей:

.

Здесь - некоторые числа, которые находятся методом неопределенных коэффициентов. Заключается он в том, что правая часть последнего равенства приводится к общему знаменателю. В числителе получившегося выражения получается некоторый многочлен степени , коэффициенты которого, выраженные через искомые константы, надо приравнять к коэффициентам многочлена . Получается система линейного уравнения. Рассмотрим пример

.

.

Отсюда

.

Решая эту систему, получим значения , , , , . Поэтому

.

Есть другие методы нахождения коэффициентов разложения, которые не столь универсальны, как изложенный выше, но в в частных случаях бывают гораздо удобнее. Например, если знаменатель имеет только действительные простые (кратности один) корни, можно поступить следующим образом.

.

.

Положим поочередно . Получим равенства

.

Отсюда .

.

Если знаменатель имеет действительные корни, среди которых есть корни кратности больше единицы, то поступим так:

.

.

Положим , тогда . Теперь положим , получим . Осталось найти А. Продифференцируем предыдущее тождество:

.

Положим равным значению кратного корня, т.е. , тогда

.

.

Итак, разбивая правильную дробь на простейшие, мы ее интегрирование сводим к интегрированию дробей следующих видов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Посчитаем интегралы от этих дробей:

1) ; 2) ;

3)

.

Здесь надо заметить, что так как - дискриминант квадратного трехчлена , не имеющего действительных корней, а значит, отрицательный.

4)

.

В последнем интеграле делается подстановка :

.

Вычисление такого интеграла рассмотрим в п. 6.

Еще один способ вычисления интеграла - использовать рекуррентное соотношение, которое сейчас установим.

.

Например, посчитаем интеграл

. Следовательно, вышеприведенный интеграл окончательно имеет вид:

.

Упражнение. Решить соответствующие задания из расчетно-графической работы.