2.2 Построение матрицы базисных функций пфп

Планирование эксперимента осуществляется на основе построения полных факторных планов и должно выполняться в следующем порядке.

1. На основании задания выбрать диапазон варьирования каждого фактора:

Xi min≤Xi≤ Xi max,

(1)

2. Определить верхний, нижний и основной уровни в натуральных и нормализованных обозначениях и интервалы варьирования факторов.

Основной уровень фактора:

Х= (Xi min+ Xi max)/2,

(2)

Интервал варьирования фактора :

= Xi max -Х= Х-Xi min,

(3)

3. Записать в явном виде формулы, связывающие нормализованные и натуральные обозначения факторов:

xi=,

(4)

4. Построить матрицу базисных функций ПФП с 3-мя факторами (таблица 1) в нормализованных обозначениях, имея в виду получение модели, учитывающей наряду с линейными членами все парные взаимодействия:

= b0+ b1х1+ b2х2+ b3х3 +b12х1х2+ b13х1х3+ b23х2х3.

(5)

Таблица 1 – Матрица базисных функций ПФП 2³ для модели (5)

№ опыта	х0	х1	х2	х3	х1х2	х1х3	х2х3	у
1 2 3 4 5 6 7 8								у1 у2 у3 у4 у5 у6 у7 у8

5. Определить значения выходной величины для каждого опыта, построить ПФП с 3-мя факторами в натуральных обозначениях:

Таблица 2- ПФП для трех факторов в натуральных обозначениях

№ опыта	Х1	Х2	Х3	y
1				y1
2				y2
3				y3
4				y4
5				y5
6				y6
7				y7
8				y8

2.3 Построение регрессионной модели при исследовании объекта

Построение регрессионной модели при исследовании объекта осуществляется на основе построения полных факторных планов.

1. Построить регрессионную модель в нормализованных обозначениях, рассчитав коэффициенты регрессии по формулам:

bi=,i=0,1,…,к	(6)
b0=,	(7)
biu=	(8)

2. С помощью формул, связывающих нормализованные и натуральные обозначения факторов, получить уравнение регрессии в натуральных значениях факторов.

3. Провести обработку результатов в следующей последовательности:

1) по формуле (9) вычисляется оценка дисперсии, характеризующая ошибку эксперимента , и связанное с ней число степеней свободыf_у .

=

(9)

где m- некоторое число дублированных опытов.

Величина f_у=(m-1) является в данном случае числом степеней свободы, связанным с .

2) в полученное уравнение регрессии в нормализованных обозначениях факторов подставляют значения факторов x₁, x₂,…, x_k, соответствующие условиям 1-го, 2-го, …, N-го опытов. Таким образом, вычисляются значения выходной величины ₁, ₂, … _N, предсказанные уравнением регрессии для каждого из опытов.

3) вычисление дисперсий коэффициентов регрессии по формуле:

,

(10)

4) оценка значимости коэффициентов регрессии.

Оценка значимости коэффициентов регрессии проводится с помощью t- критерия Стьюдента в следующем порядке:

а) для каждого коэффициента регрессии b_i вычисляется расчетное t-отношение по формуле:

tрасч i=,

(11)

где - среднеквадратическое отклонение коэффициентаb_i, равное корню из его дисперсии.

б) из таблиц t-распределения [3, с.292] по величине f_у для уровня значимости q=0,05 берется табличное t-отношение t_табл.

в) проверяется условие t_расч≤t_табл. Коэффициенты регрессии, для которых это условие выполняется, являются незначимыми.

4. Проверить адекватность полученной математической модели в следующей последовательности:

1) Вычисляется сумма квадратов, характеризующая адекватность модели S_ад по формуле:

Sад=,

(12)

2) Вычисляется число степеней свободы f_аб, связанное с дисперсией адекватности. При равномерном дублировании и при отсутствии дублированных опытов оно равно:

fад=N-p,

(13)

где N- число основных опытов плана;

p- число оцениваемых коэффициентов регрессии (при N=p адекватность модели проверить невозможно).

3) Вычисляется дисперсия адекватности по формуле:

S=Sад/fад,

(14)

4) С помощью F-критерия Фишера для уровня значимости q=0,05 проверяется однородность двух дисперсий: дисперсии адекватности S(с числом степеней свободы f_ад) и дисперсии, характеризующей ошибку эксперимента (с числом степеней свободыf_y).

Вычисляется расчетное F-отношение Фишера по формуле:

Fрасч= S/

(15)

Далее по таблицам распределения Фишера [3, с.293-295] определяют величину F_табл. Если F_расч≤ F_табл, то можно принять гипотезу об однородности дисперсий и найденную математическую модель объекта можно считать адекватной.