Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Специальные главы интеллектуальных систем - лекции, контрольные работы / Теоретический материал / 02_Нечеткие системы и моделирование приближенных рассуждений.pdf
Скачиваний:
127
Добавлен:
16.05.2015
Размер:
494.56 Кб
Скачать

Нечеткие системы и моделирование приближенных рассуждений

12

4. Схема приближенных рассуждений Такаги-Суджено

В данной схеме используются правила следующего вида:

если x1 есть A1 и x2 есть A2 и и xn есть An

то y = f (x1, …, xn), (4.1)

где A1, A2, …, An – нечеткие значения, f (x1, …, xn) – четкая функция. Таким образом, каждое правило задает зависимость выходного

параметра от входных в локальной нечеткой области, задаваемой набором значений A1, A2, …, An.

В качестве f чаще всего используется полиномиальная зависимость – в этом случае говорят, что схема Такаги-Суджено имеет порядок k, если максимальный порядок полиномов в правилах равен k. Например, если для всех правил правые части имеют вид

f (x1, …, xn) = const,

то схема имеет нулевой порядок. В случае, если используются функции вида

f (x1, …, xn) = c0 + c1x1 +…+ cnxn ,

то схема имеет 1-й порядок, и т.д.

На вход нечеткой системы, построенной на основе схемы Така-

ги-Суджено, необходимо подавать значения параметров xj в четкой форме, т.е. xj = xj0 (j = 1, …, n).

Рассмотрим алгоритм вывода с использованием схемы ТакагиСуджено.

Шаг 1. Вычисление степеней срабатывания правил

Данный шаг совпадает с соответствующим шагом в схеме Мамдани, для случая четких входных значений, т.е. степени срабатывания правил вычисляются на основе формул (3.2) и (3.3).

Шаг 2. Вычисление выводов из правил

Выводом из правила Ri является четкое значение

y

= f

(x0

, x0

,..., x0 ) ,

(4.2)

i

i

1

2

n

 

где fi – функция правой части данного правила, i = 1, …, m.

Шаг 3. Нахождение общего вывода из базы правил

Общий вывод из базы правил при заданных входных значениях определяется по формуле

Нечеткие системы и моделирование приближенных рассуждений

13

 

 

y = w1 y1 + w2 y2 +…+ wm ym = wi yi ,

(4.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

w1 + w2 +…+ wm

i=1

 

где величины

wi

=

 

 

wi

 

можно рассматривать как удель-

w1

+ w2 +

 

 

 

 

…+ wm

 

 

ный вес правила Ri, пропорциональный степени его срабатывания. Легко видеть, что вывод получается сразу четким, т.е. отсутст-

вует необходимость дефаззификации.

Рассмотрим пример вывода на основе схемы Такаги-Суджено.

Пусть задана следующая система правил:

R1: если x малый

то y = 2x;

R2: если x средний

то y = – x + 9;

R3: если x большой

то y = x – 5.

В соответствии с формулой (4.3), функция отклика нечеткой системы описывается следующим выражением:

y(x) =

μ1 (x) f1 (x) + μ2 (x) f2 (x) + μ3 (x) f3 (x)

,

(4.4)

 

μ1 (x) +μ2 (x) + μ3 (x)

 

 

где μ1(x), μ2(x), μ3(x) – функции принадлежности нечетких множеств, используемых для задания значений соответственно «малый», «средний» и «большой», fi (x) – функции в правых частях правил Ri. Таким образом, выражение (4.4) можно записать в виде:

y(x) = μ1 (x) (2x) + μ2 (x) (x +9) + μ3 (x) (x 5) ,

(4.5)

где

 

 

μi

(x)

 

 

μi

(x) =

 

.

(4.6)

μ1

(x) +μ2

(x) +μ3 (x)

 

 

 

 

Область значений входного параметра x равна X = [0, 10]. Рассмотрим поведение нечеткой системы с заданным набором правил для следующих вариантов задания значений «малый», «средний» и «большой»:

четкие интервалы;

нечеткие множества с трапециевидной функцией принадлежности;

нечеткие множества с треугольной функцией принадлежности.

Нечеткие системы и моделирование приближенных рассуждений

14

Графики функций принадлежности входных значений, а также

соответствующих функций отклика нечеткой системы при данных

функциях принадлежности показаны на рис. 4.1 – 4.3.

 

 

μ

малый

 

средний

 

 

большой

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

y(x)

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

x – 5

 

 

 

x + 9

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

Рис. 4.1. Функция отклика нечеткой системы при задании значений

«малый», «средний» и «большой» с помощью четких интервалов

Нечеткие системы и моделирование приближенных рассуждений

15

μ

 

малый

 

 

средний

 

 

большой

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

8

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

y(x)

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

x – 5

 

 

 

x + 9

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

Рис. 4.2. Функция отклика нечеткой системы при задании значений «малый», «средний» и «большой» с помощью нечетких множеств с трапециевидными функциями принадлежности

Из рис. 4.1 – 4.3 видно, что функция отклика y(x) является линейной на участках, где действует одно правило, и нелинейной в области действия нескольких (в данном случае двух) правил. Таким образом, за счет возможности одновременного срабатывания нескольких правил, схема Такаги-Суджено, даже при линейных выходных зависимостях, способна аппроксимировать нелинейные системы.

Нечеткие системы и моделирование приближенных рассуждений

16

μ

 

малый

 

 

средний

 

 

большой

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

8

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

y(x)

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

x – 5

 

 

 

x + 9

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

 

 

Рис. 4.3. Функция отклика нечеткой системы при задании значений «малый», «средний» и «большой» с помощью нечетких множеств с треугольными функциями принадлежности

Найдем уравнение функции отклика y(x) нечеткой системы для варианта с треугольными функциями принадлежности. В соответствии с рис. 4.3, уравнения функций принадлежности нечетких понятий имеют вид:

μ1

0,2x +1, 0 x 5,

(4.7)

(x) = μмалый (x) =

иначе;

 

 

0,

 

 

 

0,2x,

0 x 5,

 

μ2

 

 

 

5 < x 10,

(4.8)

(x) = μсредний (x) = −0,2x +2,

 

 

иначе;

 

 

0,

 

μ3

0,2x 1,

5 x 10,

(4.9)

(x) = μбольшой (x) =

иначе.

 

0,

 

Легко видеть, что используемое

нечеткое разбиение

отрезка

X = [0, 10] является ортогональным, т.е. x X μ1(x) + μ2(x) + μ3(x) = 1, поэтому выражение (4.5) принимает вид:

Нечеткие системы и моделирование приближенных рассуждений

17

y(x) = μ1 (x) (2x) + μ2 (x) (x +9) + μ3 (x) (x 5) ,

(4.10)

где функции μi(x) задаются выражениями (4.7) – (4.9). Подставляя эти выражения в формулу (4.10) и выполняя необходимые преобразования, получаем:

 

 

2

 

 

 

0,6x

+3,8x, 0

x 5,

(4.11)

 

y(x) =

2

+5,8x +23,

5 < x 10.

0,4x

 

 

 

 

 

 

 

Отметим, что схемы приближенных рассуждений Мамдани и Ларсена применяются, как правило, при построении таких нечетких систем, в которых правила задаются экспертами в вербальной форме. В то же время, схема Такаги-Суджено чаще всего используется, если нечеткая модель строится на основе обучающей выборки входных и выходных значений моделируемой системы.