4. Схема приближенных рассуждений Такаги-Суджено

В данной схеме используются правила следующего вида:

если x1 есть A1 и x2 есть A2 и … и xn есть An

то y = f (x1, …, xn), (4.1)

где A1, A2, …, An – нечеткие значения, f (x1, …, xn) – четкая функция. Таким образом, каждое правило задает зависимость выходного

параметра от входных в локальной нечеткой области, задаваемой набором значений A1, A2, …, An.

В качестве f чаще всего используется полиномиальная зависимость – в этом случае говорят, что схема Такаги-Суджено имеет порядок k, если максимальный порядок полиномов в правилах равен k. Например, если для всех правил правые части имеют вид

f (x1, …, xn) = const,

то схема имеет нулевой порядок. В случае, если используются функции вида

f (x1, …, xn) = c0 + c1x1 +…+ cnxn ,

то схема имеет 1-й порядок, и т.д.

На вход нечеткой системы, построенной на основе схемы Така-

ги-Суджено, необходимо подавать значения параметров xj в четкой форме, т.е. xj = xj0 (j = 1, …, n).

Рассмотрим алгоритм вывода с использованием схемы ТакагиСуджено.

Шаг 1. Вычисление степеней срабатывания правил

Данный шаг совпадает с соответствующим шагом в схеме Мамдани, для случая четких входных значений, т.е. степени срабатывания правил вычисляются на основе формул (3.2) и (3.3).

Шаг 2. Вычисление выводов из правил

Выводом из правила Ri является четкое значение

где fi – функция правой части данного правила, i = 1, …, m.

Шаг 3. Нахождение общего вывода из базы правил

Общий вывод из базы правил при заданных входных значениях определяется по формуле

ный вес правила Ri, пропорциональный степени его срабатывания. Легко видеть, что вывод получается сразу четким, т.е. отсутст-

вует необходимость дефаззификации.

Рассмотрим пример вывода на основе схемы Такаги-Суджено.

Пусть задана следующая система правил:

В соответствии с формулой (4.3), функция отклика нечеткой системы описывается следующим выражением:

где μ1(x), μ2(x), μ3(x) – функции принадлежности нечетких множеств, используемых для задания значений соответственно «малый», «средний» и «большой», fi (x) – функции в правых частях правил Ri. Таким образом, выражение (4.4) можно записать в виде:

Область значений входного параметра x равна X = [0, 10]. Рассмотрим поведение нечеткой системы с заданным набором правил для следующих вариантов задания значений «малый», «средний» и «большой»:

−четкие интервалы;

−нечеткие множества с трапециевидной функцией принадлежности;

−нечеткие множества с треугольной функцией принадлежности.

где функции μi(x) задаются выражениями (4.7) – (4.9). Подставляя эти выражения в формулу (4.10) и выполняя необходимые преобразования, получаем:

Отметим, что схемы приближенных рассуждений Мамдани и Ларсена применяются, как правило, при построении таких нечетких систем, в которых правила задаются экспертами в вербальной форме. В то же время, схема Такаги-Суджено чаще всего используется, если нечеткая модель строится на основе обучающей выборки входных и выходных значений моделируемой системы.