
- •1. Нечеткий логический вывод
- •1. Одно правило с одним входом
- •2. Одно правило с множеством входов
- •3. Множество правил
- •2. Понятие и базовая структура нечеткой системы
- •3. Схемы приближенных рассуждений Мамдани и Ларсена
- •Шаг 1. Вычисление степеней срабатывания правил
- •Шаг 2. Нечеткая импликация (активация правил)
- •Шаг 3. Агрегирование (композиция) выходных значений
- •Шаг 4. Приведение к четкости (скаляризация, дефаззификация)
- •4. Схема приближенных рассуждений Такаги-Суджено
- •Шаг 1. Вычисление степеней срабатывания правил
- •Шаг 2. Вычисление выводов из правил
- •Шаг 3. Нахождение общего вывода из базы правил
Нечеткие системы и моделирование приближенных рассуждений |
12 |
4. Схема приближенных рассуждений Такаги-Суджено
В данной схеме используются правила следующего вида:
если x1 есть A1 и x2 есть A2 и … и xn есть An
то y = f (x1, …, xn), (4.1)
где A1, A2, …, An – нечеткие значения, f (x1, …, xn) – четкая функция. Таким образом, каждое правило задает зависимость выходного
параметра от входных в локальной нечеткой области, задаваемой набором значений A1, A2, …, An.
В качестве f чаще всего используется полиномиальная зависимость – в этом случае говорят, что схема Такаги-Суджено имеет порядок k, если максимальный порядок полиномов в правилах равен k. Например, если для всех правил правые части имеют вид
f (x1, …, xn) = const,
то схема имеет нулевой порядок. В случае, если используются функции вида
f (x1, …, xn) = c0 + c1x1 +…+ cnxn ,
то схема имеет 1-й порядок, и т.д.
На вход нечеткой системы, построенной на основе схемы Така-
ги-Суджено, необходимо подавать значения параметров xj в четкой форме, т.е. xj = xj0 (j = 1, …, n).
Рассмотрим алгоритм вывода с использованием схемы ТакагиСуджено.
Шаг 1. Вычисление степеней срабатывания правил
Данный шаг совпадает с соответствующим шагом в схеме Мамдани, для случая четких входных значений, т.е. степени срабатывания правил вычисляются на основе формул (3.2) и (3.3).
Шаг 2. Вычисление выводов из правил
Выводом из правила Ri является четкое значение
y |
= f |
(x0 |
, x0 |
,..., x0 ) , |
(4.2) |
i |
i |
1 |
2 |
n |
|
где fi – функция правой части данного правила, i = 1, …, m.
Шаг 3. Нахождение общего вывода из базы правил
Общий вывод из базы правил при заданных входных значениях определяется по формуле
Нечеткие системы и моделирование приближенных рассуждений |
13 |
|
|
y = w1 y1 + w2 y2 +…+ wm ym = ∑wi yi , |
(4.3) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
w1 + w2 +…+ wm |
i=1 |
|
||
где величины |
wi |
= |
|
|
wi |
|
можно рассматривать как удель- |
||
w1 |
+ w2 + |
|
|||||||
|
|
|
…+ wm |
|
|
ный вес правила Ri, пропорциональный степени его срабатывания. Легко видеть, что вывод получается сразу четким, т.е. отсутст-
вует необходимость дефаззификации.
Рассмотрим пример вывода на основе схемы Такаги-Суджено.
Пусть задана следующая система правил:
R1: если x малый |
то y = 2x; |
R2: если x средний |
то y = – x + 9; |
R3: если x большой |
то y = x – 5. |
В соответствии с формулой (4.3), функция отклика нечеткой системы описывается следующим выражением:
y(x) = |
μ1 (x) f1 (x) + μ2 (x) f2 (x) + μ3 (x) f3 (x) |
, |
(4.4) |
|
μ1 (x) +μ2 (x) + μ3 (x) |
|
|
где μ1(x), μ2(x), μ3(x) – функции принадлежности нечетких множеств, используемых для задания значений соответственно «малый», «средний» и «большой», fi (x) – функции в правых частях правил Ri. Таким образом, выражение (4.4) можно записать в виде:
y(x) = μ1 (x) (2x) + μ2 (x) (−x +9) + μ3 (x) (x −5) , |
(4.5) |
||||||
где |
|
|
μi |
(x) |
|
|
|
μi |
(x) = |
|
. |
(4.6) |
|||
μ1 |
(x) +μ2 |
(x) +μ3 (x) |
|||||
|
|
|
|
Область значений входного параметра x равна X = [0, 10]. Рассмотрим поведение нечеткой системы с заданным набором правил для следующих вариантов задания значений «малый», «средний» и «большой»:
−четкие интервалы;
−нечеткие множества с трапециевидной функцией принадлежности;
−нечеткие множества с треугольной функцией принадлежности.

Нечеткие системы и моделирование приближенных рассуждений |
14 |
||||||||||
Графики функций принадлежности входных значений, а также |
|||||||||||
соответствующих функций отклика нечеткой системы при данных |
|||||||||||
функциях принадлежности показаны на рис. 4.1 – 4.3. |
|
|
|||||||||
μ |
малый |
|
средний |
|
|
большой |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
x |
y 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
y(x) |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x – 5 |
|
|
|
– x + 9 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
x |
Рис. 4.1. Функция отклика нечеткой системы при задании значений |
|||||||||||
«малый», «средний» и «большой» с помощью четких интервалов |

Нечеткие системы и моделирование приближенных рассуждений |
15 |
|||||||||||
μ |
|
малый |
|
|
средний |
|
|
большой |
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
x |
8 |
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
y(x) |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x – 5 |
|
|
|
– x + 9 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
x |
Рис. 4.2. Функция отклика нечеткой системы при задании значений «малый», «средний» и «большой» с помощью нечетких множеств с трапециевидными функциями принадлежности
Из рис. 4.1 – 4.3 видно, что функция отклика y(x) является линейной на участках, где действует одно правило, и нелинейной в области действия нескольких (в данном случае двух) правил. Таким образом, за счет возможности одновременного срабатывания нескольких правил, схема Такаги-Суджено, даже при линейных выходных зависимостях, способна аппроксимировать нелинейные системы.

Нечеткие системы и моделирование приближенных рассуждений |
16 |
|||||||||||
μ |
|
малый |
|
|
средний |
|
|
большой |
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
x |
8 |
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
y(x) |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x – 5 |
|
|
|
– x + 9 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
0 0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
|
Рис. 4.3. Функция отклика нечеткой системы при задании значений «малый», «средний» и «большой» с помощью нечетких множеств с треугольными функциями принадлежности
Найдем уравнение функции отклика y(x) нечеткой системы для варианта с треугольными функциями принадлежности. В соответствии с рис. 4.3, уравнения функций принадлежности нечетких понятий имеют вид:
μ1 |
−0,2x +1, 0 ≤ x ≤5, |
(4.7) |
|||
(x) = μмалый (x) = |
иначе; |
|
|||
|
0, |
|
|
||
|
0,2x, |
0 ≤ x ≤5, |
|
||
μ2 |
|
|
|
5 < x ≤10, |
(4.8) |
(x) = μсредний (x) = −0,2x +2, |
|||||
|
|
иначе; |
|
||
|
0, |
|
|||
μ3 |
0,2x −1, |
5 ≤ x ≤10, |
(4.9) |
||
(x) = μбольшой (x) = |
иначе. |
||||
|
0, |
|
|||
Легко видеть, что используемое |
нечеткое разбиение |
отрезка |
X = [0, 10] является ортогональным, т.е. x X μ1(x) + μ2(x) + μ3(x) = 1, поэтому выражение (4.5) принимает вид:
Нечеткие системы и моделирование приближенных рассуждений |
17 |
y(x) = μ1 (x) (2x) + μ2 (x) (−x +9) + μ3 (x) (x −5) , |
(4.10) |
где функции μi(x) задаются выражениями (4.7) – (4.9). Подставляя эти выражения в формулу (4.10) и выполняя необходимые преобразования, получаем:
|
|
2 |
|
|
|
|
−0,6x |
+3,8x, 0 |
≤ x ≤5, |
(4.11) |
|||
|
||||||
y(x) = |
2 |
+5,8x +23, |
5 < x ≤10. |
|||
0,4x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Отметим, что схемы приближенных рассуждений Мамдани и Ларсена применяются, как правило, при построении таких нечетких систем, в которых правила задаются экспертами в вербальной форме. В то же время, схема Такаги-Суджено чаще всего используется, если нечеткая модель строится на основе обучающей выборки входных и выходных значений моделируемой системы.