Нечеткие системы и моделирование приближенных рассуждений |
8 |
Механизм вывода реализует преобразование значений входных параметров, поданных на вход нечеткой системы, в значение выходного параметра, т.е. отклик нечеткой системы, на основе нечеткого логического вывода.
Конкретная реализация механизма вывода, так же как и допустимая структура нечетких правил, зависит от схемы приближенных рассуждений, на основе которой построена нечеткая система. Далее будут рассмотрены наиболее часто используемые схемы приближенных рассуждений.
3.Схемы приближенных рассуждений Мамдани и Ларсена
Воснове схем Мамдани и Ларсена лежит система нечетких правил вида (2.1) и механизм нечеткого логического вывода с использованием правила GMP.
При использовании схем Мамдани и Ларсена на вход нечеткой системы могут подаваться значения как в четкой, так и в нечеткой форме (система способна обрабатывать и те, и другие). Например:
нечеткая форма входных значений:
расстояние до препятствия ниже среднего, скорость средняя;
четкая форма входных значений: расстояние до препятствия 18,5 м, скорость 25 км/ч.
Далее рассмотрим алгоритм вывода. Пусть Xj – области значений входных параметров xj (j = 1, …, n), Y – область значений выходного параметра y.
Шаг 1. Вычисление степеней срабатывания правил
Если входные значения являются нечеткими, то, в соответствии с формулой (1.7), степень срабатывания правила Ri по j-му входу определяется как
wij |
= max min{μH j (xj ), μAij (xj )}, |
(3.1) |
|
x j X j |
|
где Hj – нечеткое входное значение параметра xj (рис 3.1, а).
Если входные значения четкие, т.е. если xj = xj0, то степень срабатывания правила Ri по j-му входу равна (рис 3.1, б)
w = μ |
(x0 ) . |
(3.2) |
ij |
Aij j |
|
Нечеткие системы и моделирование приближенных рассуждений |
9 |
Рис. 3.1. Вычисление степени срабатывания нечеткого правила по отдельному входу при нечеткой (а) и четкой (б) форме задания входных значений
Далее определяются итоговые степени срабатывания правил:
wi =T (wi1, wi 2 ,..., win ) |
(3.3) |
(в качестве T-нормы могут использоваться операции min, произведения и др.)
В случае четких входных значений рассмотренный этап иногда называют фаззификацией данных значений (т.е. приведением к нечеткой форме – нечеткость здесь трактуется как неполное соответствие входного значения посылке правила).
Шаг 2. Нечеткая импликация (активация правил)
На данном шаге определяется вывод BiB ' из каждого правила Ri. Для схемы Мамдани, в соответствии с формулой (1.7), нечеткое мно-
жество BiB ' будет иметь функцию принадлежности |
|
μB′( y) = min{w, μB ( y)}, y Y , |
(3.4) |
i |
|
а для схемы Ларсена – функцию принадлежности |
|
μB′( y) = w μB ( y), y Y . |
(3.5) |
Шаг 3. Агрегирование (композиция) выходных значений
На данном шаге определяется общий вывод из базы правил, в соответствии с формулой (1.9). Если в качестве S-нормы используется операция max, то функция принадлежности выходного нечеткого множества B' имеет вид:
μB′( y) = max{μB′ |
( y), ..., μB′ ( y)}, y Y . |
(3.6) |
1 |
m |
|
Шаг 4. Приведение к четкости (скаляризация, дефаззификация)
Целью данного шага является получение четкой формы представления выходного значения, т.е. переход от нечеткого мно-
Нечеткие системы и моделирование приближенных рассуждений |
10 |
жества B' к некоторому четкому значению z, которое можно трактовать как «наиболее характерное» (в определенном смысле) значение, соответствующее нечеткому понятию B'.
Рассмотрим несколько наиболее распространенных методов дефаззификации.
1. Методы первого и последнего максимума
В качестве «наиболее характерного» элемента нечеткого множества выступает элемент с наибольшей степенью принадлежности данному множеству. Если таких элементов несколько, то в первом случае выбирается наименьший из них, а во втором – наибольший.
Обозначим: |
|
|
|
|
||
h = max μB ( y) , |
(3.7) |
|||||
y Y |
|
|
|
|
||
Y* ={y Y |
|
|
μB ( y) = h}. |
(3.8) |
||
|
||||||
Тогда для метода первого максимума |
|
|||||
z = min{y |
|
|
y Y *}, |
(3.9) |
||
|
||||||
а для метода последнего максимума |
|
|||||
z = max{y |
|
|
y Y *}. |
(3.10) |
||
|
|
|||||
2. Метод среднего максимума
Выбирается элемент, являющийся средним для множества Y*. Если нечеткое множество B является выпуклым, то Y* имеет вид отрезка, т.е. Y* =[ y1*, y2 *], и соответственно
z = |
y1 * +y2 * |
. |
(3.11) |
|
2 |
||||
|
|
|
Вобщем случае (для произвольного нечеткого множества B)
∫ydy
z = |
Y* |
. |
(3.12) |
|
∫dy |
||||
|
|
|
Y*
На рис. 3.2 показаны результаты дефаззификации выпуклого нечеткого множества с использованием методов первого (z1), среднего (z2) и последнего (z3) максимума.
Нечеткие системы и моделирование приближенных рассуждений |
11 |
Рис. 3.2. Результаты дефаззификации нечеткого множества с использованием методов первого (z1), среднего (z2) и последнего (z3) максимума
Достоинством рассмотренных методов дефаззификации является простота реализации, недостатком – низкая чувствительность: фактически, при применении любого из трех методов учитывается только то результирующее нечеткое множество, которое имеет наибольшую высоту, т.е. на итоговое значение выходного параметра влияет только одно правило.
3. Метод центра тяжести
В рамках данного метода выбирается элемент, соответствующий центру тяжести фигуры, ограниченной графиком функции принадлежности нечеткого множества:
∫yμB ( y)dy
z = |
Y |
. |
(3.13) |
|
∫μB ( y)dy |
||||
|
|
|
Y
Метод центра тяжести детально учитывает форму функции принадлежности нечеткого множества, поэтому на итоговое значение выходного параметра влияют все нечеткие множества, полученные
в результате вывода из базы правил. Вместе с тем, по сравнению
спредыдущими методами, данный метод связан со значительно большими вычислительными затратами.
Пример построения нечеткой системы на основе схемы Мамдани подробно рассмотрен в файле «Пример – схема Мамдани».