Нечеткие системы и моделирование приближенных рассуждений |
1 |
НЕЧЕТКИЕ СИСТЕМЫ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ РАССУЖДЕНИЙ
1. Нечеткий логический вывод
Механизм нечеткого логического вывода представляет собой обобщение механизма вывода в классической логике, основанного на правиле modus ponens (MP).
Вывод в классической логике (A, B – логические высказывания):
если A то B |
(правило) |
|
A |
|
(факт) |
|
|
|
B |
(вывод на основе MP) |
|
Пример нечеткого вывода: |
|
|
|
если давление высокое |
|
|
то следует увеличить объем |
(правило) |
|
давление более менее высокое |
(факт) |
|
|
|
|
следует немного увеличить объем |
(вывод) |
Классическая модель вывода с подобным примером бы не справилась, поскольку она требует точного совпадения факта и посылки (левой части) правила. Кроме того, в рамках классической модели все возможные выводы заложены в заключениях (правых частях) правил.
В модели нечеткого вывода можно получать новые факты, не содержащиеся в явном виде ни в одном из правил.
Рассуждения на основе нечеткого логического вывода называ-
ются нечеткими рассуждениями (fuzzy reasoning) или приближенны-
ми рассуждениями (approximate reasoning).
Введем операцию нечеткой импликации.
Пусть: A – нечеткое множество на области определения X, B – нечеткое множество на области определения Y.
Под нечеткой импликацией A→B будем понимать нечеткое подмножество декартова произведения областей определения X×Y (т.е. нечеткое отношение между элементами данных множеств), допускающее интерпретацию «если A то B».
Нечеткие системы и моделирование приближенных рассуждений |
2 |
C целью обеспечения локального характера правил, при построении нечетких систем чаще всего используют импликацию, основанную на операции T-нормы:
μA→B (x, y) =T (μA (x), μB ( y)), x X , y Y . |
(1.1) |
Более точная интерпретация такой импликации:
если A то B иначе неизвестно.
Подставляя в (1.1) конкретные варианты T-норм, можно получить различные операторы нечеткой импликации, например:
импликация Мамдани
μA→B (x, y) = min{μA (x), μB ( y)}, x X , y Y ; |
(1.2) |
импликация Ларсена |
|
μA→B (x, y) = μA (x)μB ( y), x X , y Y . |
(1.3) |
Пример применения данных операторов нечеткой импликации приведен на рис. 1.1.
μA(x) |
|
|
μB(y) |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
0.5 |
|
|
0.5 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
5 |
10 x |
0 |
5 |
10 y |
а) |
μA→ B (x, y) |
|
б) |
|
μA→ B (x, y) |
|
|
|
|
|
|
y |
y |
x |
x |
|
Рис. 1.1. Примеры применения импликации Мамдани (а) и Ларсена (б) для нечетких множеств с линейными функции принадлежности
Нечеткие системы и моделирование приближенных рассуждений |
3 |
|||||||||||||||||||
Моделью нечеткого логического вывода является так называе- |
||||||||||||||||||||
мое обобщенное правило MP (GMP или generalized modus ponens), ко- |
||||||||||||||||||||
торое строится на основе оператора нечеткой импликации. Рассмот- |
||||||||||||||||||||
рим общую структуру данного правила для различных случаев. |
|
|||||||||||||||||||
1. Одно правило с одним входом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
если A то B |
|
(правило) |
|
|
|
|
||||||||||||||
A′ |
|
(входной факт) |
|
|
|
|
||||||||||||||
B′ |
|
|
|
(вывод) |
|
|
|
|
||||||||||||
Здесь: A, A′ – нечеткие множества на X, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
B, B′ – нечеткие множества на Y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в общем случае A ≠ A′. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Функция принадлежности выходного нечеткого множества B′ |
||||||||||||||||||||
определяется следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
μ |
′( y) = max T (μ ′(x), μ |
A→B |
(x, y)), y Y , |
(1.4) |
||||||||||||||
|
|
B |
x X |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где T – некоторая T-норма. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если взять операцию min в качестве T-нормы и оператор им- |
||||||||||||||||||||
пликации Мамдани, то формула (1.4) принимает вид: |
|
|||||||||||||||||||
μ |
B |
′( y) = max min{μ |
′(x),min{μ |
A |
(x), μ |
B |
( y)}} = |
|
||||||||||||
|
|
x X |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
′(x), μ |
|
|
|
(x), μ |
|
|
( y)} = |
|
||||||||
|
|
|
= max min{μ |
A |
B |
|
||||||||||||||
|
|
|
x X |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x)}, μ |
|
|
( y)}, y Y . |
|
|||||||||
= min{max min{μ ′(x), μ |
A |
B |
(1.5) |
|||||||||||||||||
|
|
|
x X |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.2. Пример нечеткого логического вывода для одного правила |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
с одним входом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Значение w = max min{μ ′(x), μ |
A |
(x)} называется степенью сра- |
|
x X |
A |
|
|
|
|
|
|
батывания правила «если A то B».
Нечеткие системы и моделирование приближенных рассуждений |
4 |
2. Одно правило с множеством входов |
|
||
|
если A1 и A2 и … и An то B |
(правило) |
|
|
A1′, A2′, …, An′ |
(входные факты) |
|
|
B′ |
|
(вывод) |
Здесь: Aj, Aj′ – нечеткие множества на Xj (j = 1, …, n), B, B′ – нечеткие множества на Y,
в общем случае Aj ≠ Aj′.
Функция принадлежности выходного нечеткого множества B′ определяется следующим образом:
μ |
′( y) = max |
T (T (μ ′ |
(x ),..., μ ′ |
(x )), μ |
A→B |
(x ,..., x , y)), y Y , |
(1.6) |
||
B |
x j X j |
1 2 A1 |
1 |
An |
n |
1 |
n |
|
|
|
( j=1,...,n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
где T1, T2 – некоторые T-нормы (в общем случае различные).
Если взять операцию min в качестве T1 и T2 и оператор импликации Мамдани, то формула (1.6) после преобразований принимает вид:
μ |
′( y) = min{ min max min{μ ′ |
(x |
), μ |
(x |
)}, μ |
B |
( y)}, y Y . (1.7) |
B |
Aj |
j |
|
Aj j |
|
|
|
|
j=1,...,n x j X j |
|
|
|
|
|
|
wj
w
Пример вывода на основе оператора импликации Мамдани для правила с двумя входами приведен на рис. 1.3.
|
A1 |
A1' |
|
w1 |
|
|
|
|
|
|
w2 |
0 |
|
x1 |
0 |
A2' |
A2 |
|
x2 |
|
B |
w |
B' |
|
|
0 |
y |
|
Рис. 1.3. Пример нечеткого логического вывода с использованием импликации Мамдани для правила с двумя входами
Значение w |
j |
= max min{μ ′ |
(x |
), μ |
(x |
)} называется степенью |
|
Aj |
j |
|
Aj j |
|
|
|
|
x j X j |
|
|
|
|
срабатывания правила по j-му входу (j = 1, …, n).