- •С. В. Трубников численные методы
- •Isbn 5-89838-334-7
- •Оглавление
- •Предисловие
- •1. Содержание курса
- •2. Практические работы (1-3)
- •2.1. Практическая работа № 1. Многочленная, кусочно-многочленная, сплайновая и обратная интерполяция
- •2.2. Практическая работа № 2. Наилучшее среднеквадратическое приближение. Тригонометрическая интерполяция. Наилучшее равномерное приближение
- •2.3. Практическая работа № 3. Численное дифференцирование. Метод Рунге-Ромберга
- •3. Контрольная работа № 1
- •4. Практические работы (4-5)
- •4.1. Практическая работа № 4. Численное интегрирование
- •4.2. Практическая работа № 5. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
- •5. Контрольная работа № 2
- •6. Задания для домашней работы
- •6.1. Тема 1. Многочленная, кусочно-многочленная, сплайновая и обратная интерполяция Задание 1
- •Задание 2
- •6.2. Тема 2. Наилучшее среднеквадратическое приближение. Тригонометрическая интерполяция. Наилучшее равномерное приближение Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •6.3. Тема 3. Численное дифференцирование. Метод
- •6.4. Тема 4. Численное интегрирование Задание 1
- •Задание 2
- •6.5. Тема 5. Численные методы решения обыкновенных
- •Задание 1
- •7. Контрольные вопросы и задания
- •7.1.Теоретические вопросы Тема 1. Многочленная, кусочно-многочленная, сплайновая и обратная интерполяция.
- •Тема 2. Наилучшее среднеквадратическое приближение. Тригонометрическая интерполяция. Наилучшее равномерное приближение.
- •Тема 3. Численное дифференцирование. Метод Рунге-Ромберга.
- •Тема 4. Численное интегрирование.
- •Тема 5. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем.
- •7.2. Практические задания Тема 1. Многочленная, кусочно-многочленная, сплайновая и обратная интерполяция.
- •Тема 2. Наилучшее среднеквадратическое приближение. Тригонометрическая интерполяция. Наилучшее равномерное приближение.
- •Тема 3. Численное дифференцирование. Метод Рунге-Ромберга.
- •Тема 4. Численное интегрирование.
- •Тема 5. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем.
- •6. Найти точное решение краевой задачи:
- •Список использованной и рекомендуемой литературы
2. Практические работы (1-3)
2.1. Практическая работа № 1. Многочленная, кусочно-многочленная, сплайновая и обратная интерполяция
Для студентов специальности «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» отведено 4 часа практических занятий, а для студентов специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» 2 часа.
План занятий:
Актуализация понятий обратимая и обратная функции, геометрического смысла обратимости, графика обратной функции, свойств таблицы значений обратимой и обратной функции, сплайн-функции.
Повторение постановок задач интерполяции с простыми и кратными узлами, интерполяционных формул Лагранжа, Ньютона и Эрмита, геометрического смысла интерполяции, оценок погрешности интерполяционных многочленов Лагранжа и Эрмита, кусочно-многочленной, сплайновой и обратной интерполяции.
Решение примеров.
Консультирование студентов по выполнению домашней работы.
Рассматриваемые примеры:
1. Дана таблица значений некоторой функции .
x |
-1 |
0 |
1 |
2 |
y |
-1 |
0 |
1 |
8 |
Построить по ней интерполяционный многочлен в форме Лагранжа и Ньютона. По этой же таблице провести обратную интерполяцию, то есть построить интерполяционный многочлен Ньютона. Сравнить полученные результаты.
Решение:
Подставим в общую формулу для многочлена Лагранжа значения (i=0,1,2,3) и приведем многочлен к стандартному виду.
0+
.
Запишем многочлен Ньютона в общем виде:
.
Найдем соответствующие разделенные разности и запишем их в таблицу.
, ,,,
, .
i |
|
|
|
|
|
0 |
-1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
1 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
7 |
|
|
3 |
2 |
8 |
|
|
|
Подставим в общую формулу значения и разделенные разности:
.
Проведем обратную интерполяцию, для чего построим теперь интерполяционный многочлен . Запишем его в общем виде:
.
Найдем разделенные разности и запишем их в таблицу.
, ,,,
, .
i |
|
|
|
|
|
0 |
-1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
8 |
2 |
|
|
|
Подставим в общую формулу значения и разделенные разности:
.
Графики уравнений ,и=, , очевидно, различны, но довольно близки. Близость графиков связана с тем, что график многочленаесть приближение для графика функции, а график уравненияесть приближение для графика уравнения, совпадающего с графиком функции.
2. Дана таблица значений некоторой функции и её производной:
x |
-1 |
0 |
1 |
y |
-1 |
0 |
1 |
|
|
0 |
|
Построить по ней интерполяционный многочлен Эрмита .
Решение:
Запишем многочлен Эрмита в общем виде:
=.
Найдем соответствующие разделенные разности и запишем их в таблицу.
, ,,,
, .
i |
|
|
|
|
|
0 |
-1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
-1 |
|
|
|
|
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
Подставим в общую формулу значения и разделенные разности. Получим:
=.
3. Дана функция .,. Строятся интерполяционный многочлени многочлен Эрмита, которые используются в качестве приближений этой функции. Найти оценки погрешности этих приближений в точке.
Решение:
Оценка погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа находится по формуле:
.
Здесь верхняя граница на .
Оценка погрешности интерполяционного многочлена Эрмита находится по формуле:
.
Здесь верхняя граница на .
Для дальнейших вычислений найдем постоянные и. Для этого найдем производные функции:
, , . Оценим модули старших производных на :
.
Здесь использовано свойство модуля (модуль суммы не превышает суммы модулей), а также то, что на выполнено:,,. Таким образом,=14.
. Здесь использовано также то, что . Таким образом,=38.
Теперь вычислим искомые оценки:
, .
4. Дана функция ,. Отрезокделится наn равных частей точками . Вычисляются значения этой функции,. По полученной таблице значений функции строится интерполяционный многочлен Лагранжа, который используется для приближения функции .
Составить алгоритм для вычисления значения y интерполяционного многочлена по заданному значениюx. Записать его на алгоритмическом языке.
Решение:
Исходные данные для алгоритма: функция , число отрезков разбиенияn, аргумент функции x, концы отрезка a и b. Результат: значение многочлена Лагранжа y. В алгоритме используются два цикла. Внешний цикл – для вычисления суммы, а внутренний – для вычисления произведения. Массив не вводится. Значения непосредственно подставляются в формулы.
алг Интерполяционный многочлен (арг вещ x, a, b; цел n; рез вещ y)
нач цел i, j; вещ p, h
y:=0;
нц для i от 0 до n
p:=f(a+ih)
нц для j от 0 до n
если ij
то
все
кц
y:=y+p
кц
кон
5. Дана функция ,. Отрезокделится наn равных частей точками . Вычисляются значения этой функции,. По полученной таблице значений функции строится интерполяционный сплайн. Составить алгоритм для вычисления значенияy интерполяционного сплайна по заданному значению x.
Решение:
Исходные данные для алгоритма: функция , число отрезков разбиенияn, аргумент функции x, концы отрезка a и b.
Результат:
Значение интерполяционного сплайна y. Последовательность действий описана в теории. Запишем ее с учетом условия равномерности сетки точек , из которой следует, что .
1. .
2. ,.
3. , .
4. Решение следующей системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей:
,
, ,
.
Эта система совпадет со стандартным видом системы, которая решалась методом прогонки, если n заменить на M, заменить на(не перепутайте их с величинами, вычисляемыми в пункте 2 нашего алгоритма). При этом
, ,
, .
Поэтому решать эту систему целесообразно методом прогонки.
В результате решения системы будут найдены величины .
5. ,.
6. ,.
7. ,.
8. ,.
9. Вычисление номера отрезка, которому принадлежит значение аргумента x: .
10. Вычисление значения сплайна:
.