Тема 2. Наилучшее среднеквадратическое приближение. Тригонометрическая интерполяция. Наилучшее равномерное приближение.

1. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию. Изобразить график периодическго (с периодом) продолжения функции. Установить к чему сходится ряд Фурье. Найти наилучшее среднеквадраническое приближение функциинав множестве тригонометрических многочленов 1-ой степени.

а) ; б) ;

в) .

2. Найти наилучшее среднеквадратичное приближение функции , определенной на отрезке, в семействе многочленов вида.

а) ; б) ;в) .

3. Дана таблица значений ,некоторой функции. Значения эти имеют значительные погрешности. Методом наименьших квадратов строится наилучшее приближениев семействе нелинейных функций. Показать как строится это приближение. Определить меру близости междуи, в смысле которой это приближение будет наилучшим.

а) ; б) ;в) ;

г) .

4. Построено два приближения ,в разных семействах нелинейных или линейных функций методом наименьших квадратов. Как определить какое из них является лучшим?

Тема 3. Численное дифференцирование. Метод Рунге-Ромберга.

1. Как организовать вычисление первой производной с использованием формул численного дифференцирования, имеющих первый порядок точности?

2. Как организовать вычисление первой производной с использованием формул численного дифференцирования, имеющих второй порядок точности?

3. Как организовать вычисление второй производной с использованием формул численного дифференцирования, имеющих второй порядок точности?

4. Найти порядок точности и оценку погрешности формулы при условии, что функцияимеет ограниченную производную второго порядка на.

5. Найти порядок точности и оценку погрешности формулы при условии, что функцияимеет ограниченную производную третьего порядка на.

6. Найти порядок точности и оценку погрешности формулы при условии, что функцияимеет ограниченную производную третьего порядка на.

7. Найти порядок точности и оценку погрешности формулы при условии, что функцияимеет ограниченную производную третьего порядка на.

8. Даны значения функции в точках(). Насуществует ограниченная производная функции второго порядка. Для вычисления приближенного значения первой производной функции в точкеиспользуется формула:

.

Найти асимптотическую оценку погрешности этого приближенного значения.

9. Даны значения функции в точках(). Насуществует ограниченная производная функции третьего порядка. Для вычисления приближенного значения первой производной функции в точкеиспользуется формула:

.

Найти асимптотическую оценку погрешности этого приближенного значения.

10. Даны значения функции в точках(). Насуществует ограниченная производная функции второго порядка. Для вычисления приближенного значения первой производной функции в точкеиспользуется формула:

.

Вычисление по этой формуле производятся на разреженной сетке с шагом :

.

Используя вторую формулу Рунге, уточнить полученное приближенное значение производной.

11. Даны значения функции в точках(). Насуществует ограниченная производная функции второго порядка. Для вычисления приближенного значения первой производной функции в точкеиспользуется формула:

.

Вычисление по этой формуле производятся на разреженной сетке с шагом :

.

Используя вторую формулу Рунге уточнить полученное приближенное значение производной.