Тема 2. Наилучшее среднеквадратическое приближение. Тригонометрическая интерполяция. Наилучшее равномерное приближение.
Что представляют собой пространства
и
?Что такое ортогональная системы функций и ряды Фурье в евклидовом пространстве? Докажите, что наилучшее среднеквадратическое приближение функции в евклидовом пространстве представляет собой частичную сумму ряда Фурье. Запишите неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Что такое замкнутая система функций?
Как выглядит тригонометрический ряд Фурье? Каковы условия поточечной сходимости тригонометрических рядов Фурье? Как ведут себя приближения в окрестности точки разрыва функции (явление Гиббса)?
Ортогональные многочлены Лежандра. Ряд Фурье по системе многочленов Лежандра.
Опишите общую схему метода наименьших квадратов.
Как строятся полиномиальная и линейная аппроксимация по методу наименьших квадратов?
Как производится поиск наилучших приближений по методу наименьших квадратов в некоторых двухпараметрических семействах нелинейных функций:
,
,
,
,
,
.Формулировка задачи интерполяции периодических функций тригонометрическими многочленами.
Решение задачи интерполяции периодических функций тригонометрическими многочленами. Дискретное преобразование Фурье. Оценка погрешности тригонометрической интерполяции.
Наилучшее равномерное приближение.
Тема 3. Численное дифференцирование. Метод Рунге-Ромберга.
Как получаются полиномиальные формулы численного дифференцирования?
Что такое порядок точности приближенной формулы? На что и как влияет величина порядка точности?
Получите оценки погрешности и определите порядки точности формул численного дифференцирования.
Опишите Метод Рунге-Ромберга. Получите первую и вторую формулу Рунге, а также асимптотическую оценку погрешности приближенной формулы. Как они используются? Что такое метод повторного счета (правило Рунге)? Приведите примеры.
Как влияют на погрешность формул численного дифференцирования неточно заданные табличные данные? В чем суть и причина возникновения разболтки?
Тема 4. Численное интегрирование.
Как ставится задача численного интегрирования? Что такое квадратурные формулы?
Как получаются квадратурные формулы Ньютона-Котеса?
Получите формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона (простые и обобщенные). Каков их геометрический смысл?
Получите оценку погрешности формулы трапеций (простой и обобщенной).
Найдите порядок точности формулы трапеций (простой и обобщенной).
Запишите оценки погрешности и порядки точности обобщенных формул прямоугольников, трапеций и Симпсона. Как используется эта информация для вычисления интеграла с заданной точностью?
Квадратурные формулы Гаусса.
Метод неопределенных коэффициентов.
Первая схема метода Монте-Карло.
Вторая схема метода Монте-Карло.
Табулирование первообразной.
Вычисление несобственных интегралов с бесконечными пределами.
Вычисление несобственных интегралов от неограниченных функций.
Вычисление кратных интегралов. Кубатурные формулы.