6.5. Тема 5. Численные методы решения обыкновенных
дифференциальных уравнений и систем
Задание 1
Дана задача Коши для одного дифференциального уравнения:
Решить эту задачу аналитически (найти её точное решение).
Составить программу, в которой была бы реализована вычислительная схема Рунге-Кутта 4 порядка точности. Текст программы записать в отчете.
С помощью составленной программы найти приближённое решение задачи Коши при N=5, а потом при N=10. Найти значение погрешности второго приближённого решения (при N=10) в узлах первой, более редкой сетки (при N=5), сравнив его с точным решением. Найти приближённую асимптотическую оценку погрешности второго приближённого решения (при N=10) по правилу Рунге в узлах первой, более редкой сетки (при N=5) и сопоставить её с точными значениями погрешности в этих узлах. Насколько точна асимптотическая оценка погрешности приближенного решения?
Варианты для выполнения задания 1 приведены в табл. 5.1.
Таблица 5.1
|
№ вар-та |
|
|
|
|
№ вар-та |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
2 |
-1 |
|
13 |
1 |
2 |
0 |
|
|
2 |
1 |
3 |
0 |
|
14 |
1 |
2 |
0 |
|
|
3 |
0 |
1 |
1 |
|
15 |
1 |
2 |
0 |
|
|
4 |
0 |
1 |
0 |
|
16 |
1 |
2 |
|
|
|
5 |
0 |
1 |
0 |
|
17 |
1 |
2 |
1 |
|
|
6 |
0 |
2 |
0 |
|
18 |
0 |
2 |
1 |
|
Окончание табл. 5.1.
|
№ вар-та |
|
|
|
|
№ вар-та |
|
|
|
|
|
7 |
0 |
1 |
-1 |
|
19 |
1 |
2 |
1 |
|
|
8 |
0 |
1 |
-3 |
|
20 |
1 |
1.5 |
0 |
|
|
9 |
0 |
1 |
-1 |
|
21 |
1 |
2 |
1 |
|
|
10 |
1 |
2 |
1 |
|
22 |
0 |
1 |
1 |
|
|
11 |
0 |
1 |
1 |
|
23 |
0 |
1 |
1 |
|
|
12 |
0 |
1 |
1 |
|
24 |
0 |
1 |
1 |
|
7. Контрольные вопросы и задания
7.1.Теоретические вопросы Тема 1. Многочленная, кусочно-многочленная, сплайновая и обратная интерполяция.
Как ставится задача интерполяции?
Получите формулу для вычисления интерполяционного многочлена в форме Лагранжа.
Докажите теорему о погрешности интерполяции. Запишите оценку погрешности интерполяции.
Дайте определения разделенных разностей. Докажите их свойства.
Получите интерполяционную формулу Ньютона. Опишите алгоритм вычисления интерполяционного многочлена Ньютона.
Кратные узлы интерполяции. Формулировка задачи интерполяции с кратными узлами.
Предел интерполяционного многочлена Ньютона при слиянии узлов.
Интерполяционная формула Эрмита. Оценка погрешности интерполяционного многочлена Эрмита.
Что такое обратная интерполяция и где она применяется?
Для чего нужна кусочно-полиномиальная интерполяция? Как производится кусочно-линейная интерполяция?
Что такое сплайны? Чем вызвана необходимость сплайновой интерполяции? Опишите построение кубического интерполяционного сплайна.
Многочлены Чебышева.
Чебышевские узлы интерполяции.