6.3. Тема 3. Численное дифференцирование. Метод
Рунге-Ромберга
Задание 1
Построить (используя,
например, табличный процессор Excel)
таблицы значений функции
,
а также ее первой производной
(предварительно вычисленной аналитически)
на сетке с узлами
(
,
).
В табличных значениях сохранять 10 знаков
после десятичной запятой. Эти таблицы
использовать при выполнении заданий
2, 3, 4.
Задание 2
Используя формулу
численного дифференцирования
и построенную при выполнении предыдущего
задания таблицу значений функции
(с помощью, например, табличного процессораExcel),
получить таблицу приближенных значений
первой производной и абсолютной
погрешности этих значений в точках
(
,
).
Задание 3
Используя ту же
формулу численного дифференцирования
,
только с удвоенным шагом, и построенную
при выполнении первого задания таблицу
значений функции
(с помощью, например, табличного процессораExcel)
получить таблицу приближенных значений
первой производной и значений ее
абсолютной погрешности в точках
(
,
).
Задание 4
На основе таблиц приближенных значений первой производной, полученных при выполнении заданий 2 и 3, составить таблицу значений асимптотической оценки погрешности приближенного значения первой производной (см. метод Рунге-Ромберга), полученного в задании 2. Сопоставить значения асимптотической оценки погрешности и точные значения погрешности. Сделать выводы из этого сопоставления.
Варианты для заданий 1 – 4 взять из табл. 3.1.
Таблица 3.1
|
№ вар-та |
|
№ вар-та |
|
№ вар-та |
|
№ вар-та |
|
|
1 |
|
7 |
|
13 |
|
19 |
|
|
2 |
|
8 |
|
14 |
|
20 |
|
|
3 |
|
9 |
|
15 |
|
21 |
|
|
4 |
|
10 |
|
16 |
|
22 |
|
|
5 |
|
11 |
|
17 |
|
23 |
|
|
6 |
|
12 |
|
18 |
|
24 |
|
6.4. Тема 4. Численное интегрирование Задание 1
Вычислить
приближенное значение
с погрешностью, не превышающей
,
двумя способами:
1. Методом Симпсона, подобрав предварительно шаг интегрирования h, исходя из оценки погрешности для формулы Симпсона. Для вычисления значения интеграла можно выбрать любую технологию.
2. Методом трапеций
с автоматическим выбором шага по правилу
Рунге. Для вычисления приближенного
значения интеграла составить свою
программу. Систему программирования
можно выбрать любую. В программе должен
быть реализован метод повторного счета
и обобщенная формула трапеций. Программа
должна выдать приближенное значение
интеграла с заданной точностью
.
Текст программы и полученный результат
записать в отчете.
Задание 2
Вычислить точное
значение интеграла
и сопоставить его с полученными в
предыдущих пунктах приближенными
значениями. Найти точные значения
погрешностей полученных приближенных
значений интеграла (модули разностей
между точным и приближенными значениями).
Достигается ли заданная точность?
Варианты для выполнения заданий 1 2 взять из табл. 4.1.
Таблица 4.1
|
№ вар-та |
|
a |
b |
№ вар-та |
|
a |
b |
|
1 |
|
0 |
1 |
13 |
|
0 |
1 |
|
2 |
|
1 |
2 |
14 |
|
0 |
1 |
|
3 |
|
0 |
1 |
15 |
|
0 |
1 |
|
4 |
|
0 |
2 |
16 |
|
1 |
2 |
|
5 |
|
0 |
1 |
17 |
|
0 |
1 |
|
6 |
|
1 |
2 |
18 |
|
2 |
3 |
|
7 |
|
0 |
1 |
19 |
|
0 |
1 |
|
8 |
|
1 |
2 |
20 |
|
0 |
1 |
|
9 |
|
0 |
1 |
21 |
|
0 |
1 |
|
10 |
|
0 |
2 |
22 |
|
1 |
2 |
|
11 |
|
0 |
1 |
23 |
|
0 |
1 |
|
12 |
|
1 |
2 |
24 |
|
2 |
3 |
