6.2. Тема 2. Наилучшее среднеквадратическое приближение. Тригонометрическая интерполяция. Наилучшее равномерное приближение Задание 1
Дана функция
.
Разложить эту функцию в тригонометрический
ряд Фурье
на
.
Изобразить график периодического (с
периодом
)
продолжения функции
и график суммы ряда Фурье.
Построить (с помощью Excel,
например) на одном чертеже график функции
и график
,
наилучшего среднеквадратического
приближения для функции
на
в множестве тригонометрических
многочленовn-ой
степени
при следующих значенияхn:
1, 10, 50. Пронаблюдать явление Гиббса.
Варианты для выполнения задания 1 взять
из табл. 2.1.
Задание 2
Дана таблица
значений,
,
некоторой функции
в точках
,
.
Значения
приближенные и имеют значительные
погрешности.
Получить (используя,
например, Excel)
наилучшее среднеквадратическое
приближение для функции
в семействе линейных функций
(найтиa
и b)
методом наименьших квадратов, построить
его график, показать на нем табличные
точки
.
Задание 3
Дана таблица
значений
,
некоторой функции
в точках
,
.
Значения
имеют значительные погрешности.
Для построения
наилучшего среднеквадратического
приближения функции
методом наименьших квадратов подобрать
наиболее подходящее параметрическое
семейство функций среди следующих
семейств нелинейных функций:
,
,
,
,
,
.
Получить (используя,
например, Excel)
наилучшее среднеквадратическое
приближение
функции
в выбранном семействе нелинейных функций
(вычислить коэффициентыa
и b),
а также построить график этого приближения,
показать на нем табличные точки
.
Таблица 2.1
|
№ варианта |
|
№ варианта |
|
|
1 |
|
13 |
|
|
2 |
|
14 |
|
|
3 |
|
15 |
|
|
4 |
|
16 |
|
|
5 |
|
17 |
|
|
6 |
|
18 |
|
|
7 |
|
19 |
|
|
8 |
|
20 |
|
|
9 |
|
21 |
|
|
10 |
|
22 |
|
|
11 |
|
23 |
|
|
12 |
|
24 |
|
Задание 4
Определить какое
из двух, полученных при выполнении
предыдущих заданий, приближений
или
является лучшим?
Варианты для выполнения заданий 2 4 взять из табл. 2.2.
Таблица 2.2
|
№ вар-та |
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
1 |
|
1.73 |
2.56 |
3.39 |
4.22 |
5.05 |
5.87 |
6.70 |
7.53 |
|
|
0.63 |
1.11 |
1.42 |
1.94 |
2.30 |
2.89 |
3.29 |
3.87 |
Продолжение табл. 2 2
|
№ вар-та |
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
2 |
|
-4.38 |
-3.84 |
-3.23 |
-2.76 |
-2.22 |
-1.67 |
-1.13 |
-0.60 |
|
|
2.25 |
2.83 |
3.44 |
4.31 |
5.29 |
6.55 |
8.01 |
10.04 | |
|
3 |
|
1.00 |
1.64 |
2.28 |
2.91 |
3.56 |
4.19 |
4.84 |
5.48 |
|
|
0.28 |
0.19 |
0.15 |
0.11 |
0.09 |
0.08 |
0.07 |
0.06 | |
|
4 |
|
1.20 |
1.57 |
1.94 |
2.31 |
2.68 |
3.05 |
3.42 |
3.79 |
|
|
2.59 |
2.06 |
1.58 |
1.25 |
0.91 |
0.66 |
0.38 |
0.21 | |
|
5 |
|
1.01 |
1.74 |
2.38 |
3.02 |
3.66 |
4.30 |
4.94 |
5.18 |
|
|
1.73 |
2.98 |
3.53 |
3.89 |
4.01 |
4.25 |
4.32 |
4.38 | |
|
6 |
|
1.74 |
2.32 |
2.90 |
3.48 |
4.06 |
4.64 |
5.22 |
5.80 |
|
|
0.66 |
0.45 |
0.36 |
0.33 |
0.30 |
0.29 |
0.28 |
0.27 | |
|
7 |
|
1.92 |
2.84 |
3.76 |
4.68 |
5.60 |
6.52 |
7.44 |
8.36 |
|
|
1.48 |
2.69 |
4.07 |
5.67 |
7.42 |
9.35 |
11.36 |
13.54 | |
|
8 |
|
1.28 |
1.76 |
2.24 |
2.72 |
3.20 |
3.68 |
4.16 |
4.64 |
|
|
2.10 |
2.62 |
3.21 |
3.98 |
4.98 |
6.06 |
7.47 |
9.25 | |
|
9 |
|
0.68 |
1.13 |
1.58 |
2.03 |
2.48 |
2.93 |
3.38 |
3.83 |
|
|
-2.16 |
-1.69 |
-1.36 |
-1.12 |
-0.95 |
-0.75 |
-0.65 |
-0.52 | |
|
10 |
|
2.4 |
2.91 |
3.42 |
3.93 |
4.44 |
4.95 |
5.46 |
5.97 |
|
|
4.03 |
3.10 |
2.44 |
1.96 |
1.58 |
1.29 |
1.04 |
0.85 | |
|
11 |
|
-4.84 |
-4.30 |
-3.16 |
-3.22 |
-2.68 |
-2.14 |
-1.60 |
-1.06 |
|
|
-0.09 |
-0.11 |
-0.13 |
-0.16 |
-0.19 |
-0.26 |
-0.39 |
-0.81 | |
|
12 |
|
1.16 |
1.88 |
2.60 |
3.32 |
4.04 |
4.76 |
5.48 |
6.20 |
|
|
0.18 |
0.26 |
0.32 |
0.36 |
0.40 |
0.43 |
0.46 |
0.48 | |
|
13 |
|
1.73 |
2.56 |
3.39 |
4.22 |
5.05 |
5.87 |
6.70 |
7.53 |
|
|
-0.63 |
-1.11 |
-1.42 |
-1.94 |
-2.30 |
-2.89 |
-3.29 |
-3.87 | |
|
14 |
|
4.38 |
3.84 |
3.23 |
2.76 |
2.22 |
1.67 |
1.13 |
0.60 |
|
|
2.25 |
2.83 |
3.44 |
4.31 |
5.29 |
6.55 |
8.01 |
10.04 | |
|
15 |
|
1.00 |
1.64 |
2.28 |
2.91 |
3.56 |
4.19 |
4.84 |
5.48 |
|
|
-0.28 |
-0.19 |
-0.15 |
-0.11 |
-0.09 |
-0.08 |
-0.07 |
-0.06 | |
|
16 |
|
-1.20 |
-1.57 |
-1.94 |
-2.31 |
-2.68 |
-3.05 |
-3.42 |
-3.79 |
|
|
2.59 |
2.06 |
1.58 |
1.25 |
0.91 |
0.66 |
0.38 |
0.21 | |
|
17 |
|
1.01 |
1.74 |
2.38 |
3.02 |
3.66 |
4.30 |
4.94 |
5.18 |
|
|
-1.73 |
-2.98 |
-3.53 |
-3.89 |
-4.01 |
-4.25 |
-4.32 |
-4.38 | |
|
18 |
|
-1.74 |
-2.32 |
-2.90 |
-3.48 |
-4.06 |
-4.64 |
-5.22 |
-5.80 |
|
|
0.66 |
0.45 |
0.36 |
0.33 |
0.30 |
0.29 |
0.28 |
0.27 |
Окончание табл 2.2
|
№ вар-та |
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
19 |
|
1.92 |
2.84 |
3.76 |
4.68 |
5.60 |
6.52 |
7.44 |
8.36 |
|
|
-1.48 |
-2.69 |
-4.07 |
-5.67 |
-7.42 |
-9.35 |
-11.36 |
-13.54 | |
|
20 |
|
-1.28 |
-1.76 |
-2.24 |
-2.72 |
-3.20 |
-3.68 |
-4.16 |
-4.64 |
|
|
2.10 |
2.62 |
3.21 |
3.98 |
4.98 |
6.06 |
7.47 |
9.25 | |
|
21 |
|
-0.68 |
-1.13 |
-1.58 |
-2.03 |
-2.48 |
-2.93 |
-3.38 |
-3.83 |
|
|
-2.16 |
-1.69 |
-1.36 |
-1.12 |
-0.95 |
-0.75 |
-0.65 |
-0.52 | |
|
22 |
|
2.4 |
2.91 |
3.42 |
3.93 |
4.44 |
4.95 |
5.46 |
5.97 |
|
|
-4.03 |
-3.10 |
-2.44 |
-1.96 |
-1.58 |
-1.29 |
-1.04 |
-0.85 | |
|
23 |
|
-4.84 |
-4.30 |
-3.16 |
-3.22 |
-2.68 |
-2.14 |
-1.60 |
-1.06 |
|
|
0.09 |
0.11 |
0.13 |
0.16 |
0.19 |
0.26 |
0.39 |
0.81 | |
|
24 |
|
-1.16 |
-1.88 |
-2.60 |
-3.32 |
-4.04 |
-4.76 |
-5.48 |
-6.20 |
|
|
0.18 |
0.26 |
0.32 |
0.36 |
0.40 |
0.43 |
0.46 |
0.48 |
