13) Сложение ортогональных колебаний равных частот.

х₁=А cos(ωt)

х₂=А cos((ω+Δω)t) , ω>>Δω)

х₁+х₂= А( cos(ωt)+ А cos((ω+Δω)t))=2Acos((∆ωt)/2)cos(ωt)

Это есть амплитуда результирующего колебания, которая меняется с течением времени по гармоническому закону с циклической частотой, равной(∆ωt)/2).

Тогда результирующее колебание имеет вид:

При сложении двух гармонических колебаний близких частот результирующее колебание можно интегрировать как гармоническое колебание с частотой равной частоте одного из складываемых колебаний и пульсирующей амплитудой, изменяющейся с частотой равной частоте разности частот складываемых колебаний. Периодическое изменение амплитуды результирующего колебания называется биение.

14) Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний для пружинного маятника.

F_упр =-kx– закон Гука;k- жесткость пружины;

F_тр=-r (x’)- закон Стокса;r- коэффициент сопротивления среды;

ma=F_упр +F_тр - 2-ой закон Ньютона;

mx’’=-kx-r x’;

x’’+(k/m)x+2(r/(2m))x’=0

β= r/(2m)- коэффициент затухания;

ω₀=sqrt(k/t) – собственная циклическая частота колебаний, такая частота, с которой происходили бы свободные колебания в системе, если бы не было затухания.

x’’+2β x'+ω₀²x=0

Это есть дифф. ур-е свободных затухающих колебаний для пруж.маятника.

15) Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний для электромагнитного колебательного контура.

q- заряд конденсатора

U_с =q/C-разность потенциалов между пластинами конденсатора;

U_R =i*R=q’R–по закону Ома;

Ԑ_L=-L(әi/әt)=-Lq’’– ЭДС самоиндукции

U_с+U_R = (2 правило Кирхгофа)

q‘’+((2R)/(2L))q’+1/(CL)q=0

ω₀² =1/(CL) – собственная циклическая частота

β= R/(2L) -коэффициент затухания;

q”+2βq’+ ω₀²q=0

Это есть д/у свободных затухающих колебаний в э/м колеб. Контуре.

16. Решение дифференциального уравнения свободных затухающих колебаний в колебательном режиме.

x’’+2β x’+ω₀²x=0

В колебательном режиме ω₀ >β,тело совершает колебательные движения , а решения имеет вид:

x(t)=A₀ e^-βt cos(ωt+ ϕ);- это общее решение (ДУ) свободных затухающих колебаний в колебательном режиме;

β-коэффициент затухания

ω=sqrt(ω₀²+β₀² ) - известная постоянная определяется параметрами колебательной системы.

А₀ и ϕ₀- произвольные постоянные.

17) Основные характеристики свободных затухающих колебаний: амплитуда, фаза, частота, период.

Амплитуда колебаний примерно равна модулю максимальных отклонений от положения равновесия при последовательных колебаниях А(t)=A₀ e^-βt

A₀ –начальная амплитуда,определяется начальными условиями.

Фаза затухания колебаний ϕ(t)= ωt+ ϕ₀; ϕ₀-начальная фаза, определяющаяся начальными условиями.

Циклическая частота равна числу максимальных смещений колебательной системы в одну сторону от положения равновесия за 2π секунд.

Частота колебательной системы равна числу максимальных смещений колебательной системы в одну сторону от положения равновесия за одну секунду .ʋ=ω/(2 π);

Период затухающих колебаний –это минимальный промежуток времени между двумя максимальными смещениями колебательной системы в одну сторону от положения равновесия.

Т= 1/ʋ= (2 π)/ω.