460. Колебания и волны
.pdf
31
4. Техника безопасности
4.1. Перед началом работы убедитесь в наличии заземления корпуса генератора.
4.2. Проводить лабораторную работу только под руководством преподавателя или лаборанта.
Рис.2
5.Порядок выполнения работы
5.1.Запишите значение ёмкости контура в табл. 1. Туда же внести технические данные приборов.
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
Элемент контура |
|
Номинал |
Допуск ,% |
|||
Конденсатор С |
|
мкФ |
|
|
εc = |
|
|
|
|
|
|
|
|
Прибор |
Предел |
Цена |
Класс |
|
Погрешность |
|
измерений |
деления |
точности |
|
|||
|
|
|
||||
Звуковой |
|
|
|
_ |
|
∆n = |
генератор |
|
|
|
|
|
|
Вольтметр |
|
|
|
|
|
∆U0 = |
|
|
|
|
|
|
|
5.2 . Снятие АЧХ 5.2.1.Собрать электрическую схему согласно .рис2. После
проверки схемы преподавателем включить генератор в сеть 220 В. 5.2.2. Дать прогреться генератору3…5 минут. Установить
выходное сопротивление генератора равным5 Ом. Ступенчатым регулятором выходного напряжения установить его в пределах 1…3
32
В. Изменяя частоту генератора(ступенчато и плавно), найти резонанс по максимальному показанию вольтметра. Затем, плавно изменяя выходное напряжение, добиться того, чтобы оно равнялось
точно 10,0В. Записать резонансную частоту n рез и напряжение Uomax в табл. 2.
5.2.3.Плавно изменяя частоту генератора, измерить напряжение в 7...10 точках ниже резонансной частоты и также в 7…10 точках выше неё. Пределы изменения частоты выбрать такими, чтобы напряжение на конденсаторе уменьшалось примерно до 2…3 В. Можно снять АЧХ по-другому, задавая частоты такими, чтобы напряжение проходило целыхряд значений
2,3,4,5,6,7,8,9,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 В. Данные записать в табл. 2.
5.2.4.Установить частоту генератора, в 10 раз меньшую
резонансной (ступенчатым регулятором). В этом случае U0(nрез /10) ≈ U0(0). Полученные результаты также поместить в табл. 2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2. |
N |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
ν,Гц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n рез = |
Uo ,В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uomax = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
ν,Гц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nрез/10= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uo,В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uo(0) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.Обработка результатов измерений
6.1.По данным табл. 2 построить на миллиметровой бумаге график АЧХ.
6.2.Проведя прямую на уровне0.7 U0max , найти полосу
пропускания Dn 0.7 (рис.3).
33
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
6.3. Так |
|
как |
обычные частоты n и |
круговые |
|
ω связаны |
||||||||||||||||||
соотношением w = 2pn , то |
Q = n рез |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
b = pDn 0.7 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(16) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dn 0.7 . |
|
|
|
|||||||
|
|
6.4. Используя |
значения n |
рез |
, Dn 0.7 , |
U0max, |
U0(0), C, а |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
также погрешности установки частоты ∆ |
|
и измерения напряжения |
||||||||||||||||||||||||
∆U0, рассчитать |
добротность контураQ, |
его |
индуктивность L, |
|||||||||||||||||||||||
сопротивление |
|
|
R , |
а также относительные погрешности этих |
||||||||||||||||||||||
величин eQ |
и eL . Результаты поместить в табл. 3. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
|||
|
|
n |
рез |
|
Гц |
|
|
|
|
|
Dn0.7 |
Гц |
|
|
|
b =p |
Dn0.7 |
|
1/c |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U0max |
|
|
|
|
|
|
n |
рез |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
Q = |
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
= |
|
|
|
|
|
|
L =1/(4p n |
резС),Гн |
|
|
|
|||
U 0(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
D n 0 . 7 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
eQ = |
DU0 |
+ |
DU0 |
|
|
|
e L = e C + 2 |
Dn |
|
|
|
R = 2 bL ,Ом |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
U0max |
U0 (0) |
|
|
|
|
|
n рез |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34
Литература
1.Савельев, И.В. Курс общей физики. T. 2. Электричество и магнетизм / И.В. Савельев. - М.: Изд-во «Астрель», 2001.
2.Савельев, И.В. Курс общей физики. T. 1. Механика / И.В.Савельев.- М.: Изд-во «Астрель», 2001.
Вопросы для самоконтроля
1-й КОМПЛЕКТ
1.Какие колебания называются вынужденными? Чем определяется частота их колебаний?
2.Каков физический смысл добротности? Как она проявляется
ввынужденных колебаниях?
3.Вывести формулу для расчета индуктивности из табл. 3.
2-й КОМПЛЕКТ
1.Что такое резонансная частота? Вывести формулу (7).
2.В чём состоит отличие резонанса в контуре с большой и малой добротностью?
3.Будут ли проявляться резонансные явления в контуре, если затухание в нём больше или равно критическому (ω0<β, ω0 = β)?
3-й КОМПЛЕКТ
1. Запишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний в электромагнитном контуре. Из каких законов физики
оно получается? |
|
|
|
|
|
2. Что |
такое |
полоса |
пропускания |
контура? От |
каких |
параметров она зависит? |
|
|
|
|
|
3. Где в бытовой технике используется явление резонанса? |
|
||||
4-й КОМПЛЕКТ
1. Запишите общее решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний. Из каких частей оно состоит?
2. Как рассчитать добротность по полосе пропускания? Разберитесь с выводом формул (10), (11), (12).
3. Какой величине для механического осциллятора аналогична внешняя ЭДС?
5-й КОМПЛЕКТ
35
1.Какой смысл имеют величины ω0 , β , ω?
2.Проведите аналогию между вынужденными колебаниями в электромагнитном контуре и механическими вынужденными колебаниями.
3.В чём заключается переходный процесс? Что наблюдается после его окончания?
6-й КОМПЛЕКТ
1.Что такое АЧХ? Каков её график?
2.Выразите добротность контура Q через его параметры R, L,
C. |
|
|
|
|
3. Каким |
величинам |
для |
механического |
осциллятора |
аналогичны |
|
|
|
|
q , i , Uc = q/C ? |
|
|
|
|
Лабораторную работу поставил, написал описание и составил вопросы для самоконтроля ст. преподаватель Афанасьев Б.Л.
Лабораторная работа № 7-К
«ИЗУЧЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ»
1.Введение
1.1.Пружинный маятник является одним из самых простых и важных для технических приложений примеров осциллятора–
системы |
способной |
совершать |
собственные(при |
некоторых |
||||
условиях близкие к гармоническим) колебания. |
|
|
|
|||||
1.2. |
Целью |
настоящей |
лабораторной |
работы |
является |
|||
экспериментальное ознакомление с собственными колебаниями пружинного маятника и определение некоторых его параметров.
2.Основные понятия
2.1.Дифференциальное уравнение, описывающее динамику одномерных затухающих колебаний пружинного маятника(рис.1), при наличии сил сопротивления пропорциональныхскорости (движение с небольшими скоростями в газе или жидкости), можно записать на основе законов Ньютона, Стокса и Гука в следующем виде:
36
&& |
+ 2 b |
& |
+ w |
2 |
x |
= 0 |
& |
|
dx |
, |
(1) |
|
0 |
|
|||||||||||
x |
x |
x ЃЯ |
dt |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω0= |
|
k |
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
m , |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где x(t) – смещение маятника от положения равновесия, β = r / 2m - коэффициент затухания; ω0 - круговая частота собственных незатухающих колебаний , m – масса груза, r – коэффициент сопротивления, k – коэффициент упругости пружины.
2.2. Решение этого уравнения при малом затухании(β < ω0) получаем в виде затухающих колебанийграфик на рис.(1):
q (t ) = A0 e |
- b t cos( |
w 02 - b 2 t + a ) . |
(3) |
Начальные амплитуда А0 и фаза α определяются начальными |
|||
смещением и скоростью |
x(0) = x0 |
x(0) =V0 . |
|
|
|
& |
|
2.3. Для характеристики степени затухания, кроме величины β, используют логарифмический декремент затуханияλ - он равен натуральному логарифму отношения двух последующих амплитуд (отличающихся по времени на период T)
|
l = |
ln( |
|
A 1 |
|
) . |
|
(4) |
||
|
|
A 2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из формул (3) и (4) следует |
|
|
|
A1 |
|
|
||||
l = b T |
l = |
1 |
ln( |
|
) , |
(5) |
||||
|
N |
A1+ N |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
где N – число |
колебаний, совершенных |
между |
измерениями |
|||||||
амплитуд. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. В процессе колебаний энергия упругой деформации пружины переходит в кинетическую энергию груза и наоборот. Эти переходы сопровождаются потерями.
Удобно пользоваться добротностью осциллятораQ, которая
вводится как |
Q = p / l |
(6) |
|
|
. |
Можно показать, что при достаточно малом затухании (β <<ω0)
Q = 2p |
запасённаяэнергия |
|
|
потери энергии за период. |
(7) |
||
|
2.5.В данной лабораторной работе нужно определить
собственную |
частоту |
незатухающих |
колебаний |
статическим |
37
методом, частоту затухающих колебаний динамическим методом, рассчитать логарифмический декремент затухания и добротность.
3. Описание лабораторной установки
3.1. Общий вид лабораторной установки показан на .1рис. Изучается затухание колебаний в воздухе. Растяжение пружины и амплитуды колебаний определяется по измерительной линейкеЛ с помощью измерительного диска Д. Время колебаний определяется ручным секундомером.
Рис.1
4.Техника безопасности
4.1.При проведении работы соблюдайте правила техники безопасности.
4.2. Бережно относитесь к оборудованию и измерительным приборам.
5. Порядок выполнения работы и обработка результатов измерений
5.1. Запишите технические данные приборов в табл. 1.
|
|
|
Таблица 1 |
|
Прибор |
Предел |
Цена |
Погрешность |
|
измерений |
деления |
|||
|
|
|||
Линейка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Секундомер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5.2. Определение |
собственной |
частоты |
незатухающих |
|||||||
колебаний статическим методом. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.2.1. |
Измерив статическое |
удлинение |
пружиныx под |
|||||||
действием |
груза массы |
m, имеем |
(из |
|
kx = mg) |
k = mg /x; |
||||
подставляя |
в формулу (2), получим |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
w 0 = |
g |
|
|
|
|
(8) |
||
|
|
x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Dw = |
w0Dx |
= |
w0Dl |
, |
|
(9) |
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
2x |
|
x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где l – погрешность линейки.
Данные поместить в табл. 2.
|
|
Таблица 2 |
x = l – l0 |
ω0 |
ω0 |
|
|
|
Записать результат вычисления частоты в виде ω0 = (ω0 ± Δω0), 1/c 5.3. Измерение частоты затухающих колебаний динамическим
методом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.3.1. Измерив |
5 раз секундомером время t |
десяти полных |
|||||||||||||||
периодов |
колебаний |
маятника, |
можно |
рассчитать |
период |
||||||||||||
колебаний и их частоту, |
погрешностями, |
по |
приведённым |
||||||||||||||
формулам (10),(11): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
_ |
5 |
|
|
|
_ |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||
|
|
|
t =(‡”ti ) / 5, |
T = t/10, |
St = (‡”Dti2 ) / 20, |
|
|||||||||||
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
(10) |
|
|||
|
Dtслуч |
=ta (n)St , |
Dt = Dtслуч + Dtприб , |
DT = Dt / 10, |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
w = |
2p |
|
Dw =w |
DT |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
T |
T . |
|
|
|
(11) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Данные поместить в табл. 3 и 4. |
|
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
№п/п |
|
|
|
|
ti |
|
|
ti |
|
|
ti² |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39
|
|
|
|
|
Таблица 4 |
|
|
T |
S t |
Dtполная |
w |
|
Dw |
|
|
|
|
|
|
|
Записать результат расчёта частоты в видеω = (ω ± Δω), 1/c. Cравнить с данными по ω0.
5.4. Расчёт логарифмического декремента затухания колебаний и добротности пружинного маятника
5.4.1. Задав начальную амплитуду (оттянув маятник вниз от положения равновесия на 20 мм и отпустив), отсчитывают наглядно число N полных колебаний маятника за время уменьшения их амплитуды в 2 раза. Измерение провести один раз. Рассчитать логарифмический декремент λ и добротность Q по формулам (5) и
(6) с погрешностями (учитывая только приборные)
|
Dl |
|
Dl |
|
Dl |
|
||
Dl = ( |
|
+ |
|
) / N |
DQ = Q |
|
, |
(12) |
20 |
10 |
l |
||||||
где l - приборная погрешность линейки в мм. Данные поместить в табл. 5.
Таблица 5
N |
λ=(ln 2)/N |
Δλ |
Q = π / λ |
Q |
|
|
|
|
|
Записать результаты расчёта в виде
λ = λ ± Δλ Q = Q ± Q.
Литература
1.Савельев, И.В. Курс общей физики. Т.1. Механика / И.В.Савельев.- М.: Изд-во « Астрель», 2001.
2. Савельев, И.В. Курс общей физики. T2. Электричество и магнетизм / И.В.Савельев.- М.: Изд-во «Астрель», 2001.
Вопросы для самоконтроля
1-й КОМПЛЕКТ
1.Из каких законов физики и как выводится уравнение (1)?
2.Выразите начальную амплитуду(при малом затухании), исходя из начальных условий x0 = 0.1м V0 = 0 .
3.Чему равно относительное изменение амплитуды за один период, если λ <<1?
40
2-й КОМПЛЕКТ
1.Назовите основные параметры затухающих колебаний.
2.Запишите дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Его решение при ω0 > β.
3.Сколько колебаний совершится за время релаксации τ =1 / β ?
3-й КОМПЛЕКТ
1.Покажите, что формула для добротностиQ (7) приводит к формуле (6). При каких условиях?
2.Найти A0 из начальных условий при малом затухании(x0 = 0
,V0 = 1 м/c, ω0 =10 1/c).
3.Покажите линейную зависимость ускорения от смещения
при гармонических колебаниях.
4-й КОМПЛЕКТ
1.Запишите решение дифференциального уравненияформула (1). Приведите его график (ω0 > β).
2.Дайте определение логарифмического декремента затухания, добротности.
3.Докажите эквивалентность формул (4) и (5).
5-й КОМПЛЕКТ
1.При каких условиях совершаются колебания близкие к гармоническим?
2.Проведите аналогию между пружинным маятником и электромагнитным контуром.
3.Как изменится амплитуда за период, если λ = 0.1?
6-й КОМПЛЕКТ
1.Выведите формулу для частоты собственных гармонических колебаний тела, подвешенного на пружинке.
2.Что такое время релаксации? От каких параметров оно
зависит?
3. Чему аналогична сила упругости пружины для математического маятника?
Написал описание лабораторной работы и составил вопросы для самоконтроля ст. преподаватель Афанасьев Б.Л