460. Колебания и волны
.pdf
11
электромагнитном контуре и влиянием некоторых его параметров на этот процесс.
2. Основные понятия
2.1. Исходя из второго закона Кирхгофа, можно записать
следующее уравнение для падений напряжения |
в замкнутом |
контуре, состоящем из индуктивности L, ёмкости С и |
активного |
сопротивления R (рис. 1): |
|
Рис. 1
|
|
|
q |
dq |
= -L |
d 2q |
|
||
|
|
|
|
+ R |
|
|
, |
(1) |
|
|
|
C |
dt |
dt 2 |
|||||
где q |
- |
величина заряда |
на |
емкости; dq/dt = i - |
сила тока; |
||||
-Ldi/dt |
- |
ЭДС самоиндукции. |
Введя, как обычно: |
β = R/2L - |
|||||
коэффициент затухания; ω0 = 1 
LC - круговую частоту собственных
незатухающих колебаний , получим из (1) дифференциальное уравнение в виде
&& |
& |
2 |
& |
dq |
(2) |
|
|
|
|
||||
q |
+ 2bq + w0 q = 0, |
(q ЃЯ ) . |
||||
|
|
|
|
dt |
|
|
Решения этого уравнения опишут возможные процессы, |
||||||
происходящие в контуре при различных условиях. |
|
|||||
При малом затухании(β < ω0) |
получаем решение |
в виде |
||||
затухающих колебаний |
|
|
|
|
|
|
q (t ) = A0 e - bt cos( |
w 02 - b 2 t + a ) . |
(3) |
|
При критическом затухании (ω0 = β) решение имеет вид |
|||
q ( t ) |
= a 1 e - b t |
+ a 2 te - b t . |
(4) |
При затухании |
больше критического(β > ω0) |
зависимость |
|
апериодическая
12 |
|
|
|
|
q(t) = b e(-b + b 2 -w02 )t |
+ b e(-b- b 2 -w02 )t |
. |
(5) |
|
1 |
|
2 |
||
В формулах (3),(4),(5) A0, φ, |
a1, a2, b1, b2 |
- |
константы, |
|
зависящие от начальных условий q(0) и i(0). |
|
|
||
Хотя функции, описывающие |
|
q(t), различны, |
|
их графики |
непрерывно переходят один в другой при плавном изменении коэффициента затухания.
2.2. Для характеристики степени затухания в контуре, кроме величины β, используют логарифмический декремент затухания λ - он равен натуральному логарифму отношения двух последующих амплитуд (отличающихся по времени на период T) (рис. 2):
|
|
l |
= |
ln( |
|
A |
1 |
) . |
(6) |
|
|
A |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из формул (3) и (6) следует: |
|
|
|
|
||||||
l = |
1 |
ln( |
A1 |
|
) ; |
|
|
l = bT . |
(7) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
N |
A1+ N |
|
|
|
|
||||
Рис. 2 2.3. В процессе колебаний энергия электрического поля
конденсатора переходит в энергию магнитного поля катушки индуктивности и наоборот. Эти переходы сопровождаются потерями - выделяется тепло.
Удобно пользоваться понятием |
добротности |
контураQ, |
||
которая в радиотехнике вводится, как |
|
|
|
|
|
Q = p / l . |
|
|
(8) |
Можно показать, что при достаточно малом затухании (β <<ω0) |
||||
Q = 2p |
запасённая × энергия |
|
. |
(9) |
|
|
|||
|
потери × энергии × за × период |
|
||
2.4. В данной лабораторной работе нужно определить период затухающих колебаний, логарифмический декремент затухания,
|
|
13 |
|
|
|
рассчитать добротность, индуктивность и активное сопротивление |
|
||||
контура. |
|
|
|
|
|
2.5. Зарисовать осциллограммы колебаний. |
|
|
|||
3. Описание лабораторной установки |
|
|
|||
3.1. Обычно в |
курсах общей |
физики |
рассматривается |
|
|
следующая |
схема |
возбуждения |
собственных |
колебаний |
в |
электромагнитном контуре CRL (рис. 3).
Рис. 3
Сначала ёмкость C заряжается через замкнутый ключK1 от источника напряжения E, затем K1 размыкается, а K2 замыкается на катушку индуктивности RL, после чего возникают собственные колебания.
Однако можно обойтись одним ключом, который на некоторый
промежуток времени t будет подключать емкость C к источнику E, как показано на рис. 4.
Рис. 4 Поведение контура в этом случае можно узнать, решив
дифференциальное уравнение (2) (см. основные понятия)
q + |
& |
|
w |
2 |
= 0 |
|
|
|
2 b q + |
0 q |
|
|
|||||
&& |
& |
|
|
|
|
|
|
|
с начальными условиями |
q(0) = q0 = CE , |
|
|
|||||
|
|
|
||||||
& |
|
|
E |
|
|
-2 bt |
|
|
q (0) |
= i0 = - |
|
|
(1 - e |
|
) . |
(10) |
|
|
R |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14
Последние находятся независимо друг от друга, при условии достаточно малого сопротивления ключа в замкнутом состоянии, для ветвей EC и ERL, соответственно (см. приложение 1).
Решение дифференциального уравнения(2) для колебательного режима имеет вид (3)
|
q(t) = A e - bt |
cos( |
|
(w |
2 |
- b 2 )t + j) |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Начальная амплитуда напряжения на ёмкостиU0 |
= |
А0/C |
в |
|
||||||||||||||||||||||||||
случае малого затухания находится из начальных условий |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
U 0 = |
E |
|
1 |
+ |
|
|
L |
|
2 |
|
|
(1 - |
e - 2 bt |
) 2 . |
|
(11) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Видно, что она существенно зависит от токаi0, текущего в |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
катушке к моменту размыкания ключа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Так, при: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t ЃЁ 0 |
|
U 0 |
= |
E ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
t >> 1 / b |
|
|
U 0 |
= E |
1 + ( |
L |
|
2 ) . |
|
|
(12) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СR |
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что |
L |
( СR |
2 ) = |
Q |
2 |
, |
|
где Q - |
добротность контура, |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
получим следующие интересные результаты: при малом времени τ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
ёмкость успевает зарядиться до напряженияE, но ток в катушке |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
пренебрежимо |
мал; |
наоборот, |
|
при |
τ |
>> |
|
1/β ток |
|
успевает |
|
|||||||||||||||||||
установиться |
|
и |
|
|
|
затем |
|
его |
|
|
последующее |
прерывание |
при |
|||||||||||||||||
размыкании ключа приводит к ударному возбуждению колебаний с |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
начальной |
|
амплитудой, |
значительно |
|
|
большей |
|
напряжения |
|
|||||||||||||||||||||
источника |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U0 = E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1+ Q 2 |
ЎЦEQ . |
|
|
|
|
|
(13) |
|
|||||||||||||||||||
3.2. Для лабораторной работы были разработаны схемы |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
электронного ключа, реализующие эти два варианта. Для первого |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
варианта зададим в формуле (11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
(1 - e - 2 bt |
|
) 2 |
|
|
ЎЬ0 . 1 . |
|
|
|
|
|
(14) |
|
|||||||||
|
|
|
|
R 2 C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда U0 превысит E не более чем на 5%. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Преобразуя формулу (14), |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t 2 |
ЎЬ0 . 1 |
, |
|
|
t |
|
ЎЬ |
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
(15) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
LC |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где T - период колебаний контура. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Время |
|
наблюдения |
|
свободных |
|
|
колебаний |
на |
экране |
|||||||||||||||||||||
осциллографа обычно выбирают ~ |
10 T. Исходя из этого, |
следует |
|
|||||||||||||||||||||||||||
положить |
в |
основу |
|
|
схемы |
|
|
|
|
ключа |
|
генератор |
|
прямоугольных |
||||||||||||||||
15
импульсов с большой~200 скважностью (скважность - это отношение периода повторения импульсов к их длительности).
Для тех, кто не очень разбирается в радиотехнике, подробности электронных схем можно опустить.
Блок-схема электронного ключа представлена на рис. 5.
Рис. 5 Напряжение прямоугольной формы со скважностью 2 (меандр)
и периодом 100 мкс с генератора Г последовательно делится двумя декадными счётчиками СТ, что увеличивает его скважность до 200.
Генератор собран на ИМС К155ЛА8 и транзисторе КТ315Б. В
качестве |
счётчиков |
примененыИМС 155К ИЕ1, особенностью |
которых |
является |
то, что на их выходе появляются входные |
импульсы, задержанные по фазе. В качестве ключаK применен кремниевый транзистор средней мощностиКТ814В, работающий в режиме насыщения во время действия импульса отрицательной полярности и запертый остальное время (рис.6).
Рис. 6 3.3. Для второго варианта расчёт показывает, что ток в
катушке достигает ≈ 90% своего максимального значения, равного
E/R, за время t |
= T / λ = TQ / p. Это |
требование на практике |
заменяется на t |
≈(1…3) T. Блок-схема |
электронного ключа для |
этого случая показана на рис.7.
16
Рис. 7 Со вторичной обмотки трансформатора выпрямленное
диодами напряжение (с периодом 10 мс) поступает на триггер Шмитта ТШ (ИМС К155ТЛ3) , формирующий из него прямоугольное напряжение. Своим спадом оно запускает ждущий мультивибратор Г (ИМС К155АГ1), вырабатывающий импульс нужной длительности для управления работой ключаК на транзисторе КТ814В и диоде. Принципиальная схема приведена на рис.8.
Осциллограммы напряжений в точкахA, Б и В для первого варианта и A, Б, В и Г для второго варианта схем показаны на рис. 9 и
рис. 10.
Рис. 8
17
Рис. 9
Рис. 10
4. Техника безопасности
18
4.1.Перед началом работы убедитесь в наличии заземления корпуса осциллографа.
4.2.Выполнять работу при наблюдении преподавателя или лаборанта.
4.3.Подключение электронного блока к осциллографу производить при выключенных приборах.
5. Порядок выполнения работы
5.1. В модернизированном варианте лабораторной работы
применяется осциллограф С1-117, который позволяет с |
большой |
||||
точностью |
измерять |
интервалы |
времени, показываемые |
на |
|
встроенном цифровом табло. Рассмотрим более подробно, как это |
|||||
делается. |
|
|
|
|
|
5.1.1. |
Допустим, |
нам нужно измерить по осциллограмме |
|||
период затухающих |
колебаний, рис.11,(А). Тогда, зная |
период |
|||
работы ключа, равный 10 мс, и измерив на экранеl0 и l4T , можно |
|||||
рассчитать |
|
T = 10 l4T / (4 l0) мс. |
|
(16) |
|
|
|
|
|||
Рис. 11
19
5.1.2. Ту же операцию можно осуществить электронным способом, используя возможности осциллографа. Вместе с началом развертки, синхронизированной с работой ключа, запускается ждущий мультивибратор с регулируемой длительностью импульса t1 рис.11,(Б), который в свою очередь задним фронтом запускает аналогичный мультивибратор, тем самым формируя«временные ворота» с длительностью t2 рис.11,(В).
Последние обеспечивают подсветку выбранной части осциллограммы рис.11,(Г), а цифровое измерение её длительности t
= t2, высвечиваемое на индикаторах, даёт значение для периода:
T=t /4 (на рис.11).
5.2. Осциллограф С1-117 позволяет также в цифровом виде измерять абсолютные значения напряжений. Однако этой возможностью пользоваться не будем, так как для вычисления логарифмического декремента затухания λ нам нужно рассчитать отношение размахов колебаний S1/S1+N, которые проще измерить прямо на экране (рис.12).
λ = βT =(1 / N) ln ( S1 / S1+N ), N = 1, 2, 3, 4 ... . |
(17) |
Рис. 12
20
5.3. Блок-схема лабораторной работы показана на рис.13.
Рис. 13
5.3.1. Напряжение с конденсатора колебательного контура, к которому можно добавить ёмкость из магазина С , подаётся на вход Y канала Б вертикального отклонения осциллографа. Контур и электронный ключ K находятся в отдельном блоке, к которому также можно подсоединять добавочное сопротивление из магазинаR
(рис.13).